2022-2023学年江苏省徐州市第七中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省徐州市第七中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．若向量，，则向量与的夹角为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.

【详解】设向量与的夹角为，且，

所以，，

所以，

故选：D

2．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（     ）

A． 种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，根据分步计算原理即可得解.

【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.

故选：A.

3．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算即可求解.

【详解】

.

故选：D

4．被9除所得的余数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由于，所以将其展开后可求出结果

【详解】

,

因为能被9整除，

所以被9除所得的余数等于被9除的余数，

因为除以9余2，

所以被9除所得的余数是2，

故选：C

5．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)

A．－2 B．2 C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：

【解析】平面向量数量积的运算

6．疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个老师的课有（    ）种排法.

A．3 B．6 C．12 D．18

【答案】C

【分析】使用插空法，先排3个班的网课，然后在两个空位中插入一节课.

【详解】将该教师的3节课排成一列，共有种排法，再在3节课产生的两个空位中插入一节课有2种方法，所以该老师的课共有种排法.

故选：C

7．已知是所在平面外一点，是中点，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.

【详解】因为M是PC中点，

，又，

，

∴.

故选：A.

8．设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（    ）

A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08

【答案】C

【分析】由全概率公式计算．

【详解】依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是，

所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为，

故选：C．

二、多选题

9．从装有个红球和个蓝球的袋中（均不小于2），每次不放回地随机摸出一球. 记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为，“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法中正确的是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】对AC，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解判断；对BD，利用条件概率公式求解判断.

【详解】由题意可知，，，，

，

从而，故AC正确；

又因为，，

故，故D正确；

，

故，故B错误.

故选：ACD.

10．若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（　　）

A． B．a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1

C．a1+a3+a5＝16 D．

【答案】BD

【分析】运用赋值法，结合导数的运算逐一判断即可.

【详解】在x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5中，

令，得，故选项A不正确；

令，得，而，

所以，所以选项B正确；

令，得，

，得，因此选项C不正确；

对x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5左右两边求导，得

，

令，得，而，

所以，因此选项D正确，

故选：BD

11．现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（    ）

A．若甲乙丙顺序固定，共有种站法

B．若甲乙必须站在一起，共有种站法

C．若甲乙不站在一起，共有种站法

D．若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法

【答案】ABC

【分析】根据选项当中的情况，逐个选项采用合理的排列方法进行求解即可.

【详解】对于A，对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所以，共有种站法，所以，A正确；

对于B，某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须站在一起，共有种站法，所以，B正确；

对于C，某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有种站法，所以，C正确；

对于D，若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法，所以，D错误.

故选：ABC

12．在棱长为1的正方体中，点满足，，则以下说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，线段长度的范围是

C．当时，直线与平面所成角的最大值为

D．当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为

【答案】ABD

【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．

【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

由得，即，

选项A，时，，，，，A正确；

选项B，，，

，所以，，B正确；

选项C，平面的一个法向量是，

，

设直线与平面所成角为，则，由选项B得，，

，，C错误；

选项D，，，，，

，，

又，∴，即点唯一，D正确，

故选：ABD．

.

三、填空题

13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______．

【答案】

【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.

【详解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，

所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，

而，，故.

故答案为：

14．现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有______种放法.（用数字作答）

【答案】10

【分析】利用隔板法求解，问题相当于6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分即可

【详解】由题意可得，6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分，

则共有种放法，

故答案为：10

四、双空题

15．已知，的展开式中含项的系数为13，则当________，含项的系数取得最小值，最小值为_________．

【答案】     6或7/7或6     36

【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出，分当中有一个为1和当都大于或等于2进行讨论，从而得出答案.

【详解】展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，

展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，

由题意可得，

当中有一个为1时，不妨设，则，则的展开式中含的项的系数为，

当都大于或等于2时，则的展开式中含的项的系数为，

，

由于，当或时，此时含的项的系数取最小值36，

综上，当或时，含的项的系数取最小值为36.

五、填空题

16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．

【答案】/

【分析】平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，当点P，M，N和共线时周长最小，计算得到，，，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据距离公式计算得到答案.

【详解】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，

延长DC至，使得，

于是点N在线段的垂直平分线上，所以，

因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小，

易得，即得，即，

所以，，，

以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，由题意可得，，，

则，，

设是平面PMN的一个法向量，则. 即得，

令，得，，，，

所以点Q到平面PMN的距离．

故答案为：．

六、解答题

17．计算:

(1)求的值；

(2)若，求n的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由组合数性质求解即可；

（2）由，化简解方程即可得出答案.

【详解】（1）

.

（2），

，解正整数.

故正整数的值为.

18．在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．

(1)现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率；

(2)现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及方差．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，直接求出

，，由概率乘法公式得；

（2）先分析出，直接求出概率，写出分布列，套公式求出方差.

【详解】（1）解：记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，则

，，由概率乘法公式得

即第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为．

（2）由题意分析.

所以，，

，.

分布列为：

.

19．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．

(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？

(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？

(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

【答案】(1)64；

(2)128；

(3)51.

【分析】（1）利用分步原理即得；

（2）利用先选后排可求；

（3）先分类再分步即得

【详解】（1）利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的的选法；

（2）先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的的选法；

（3）先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，

则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.

20．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面．

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理证得，再结合线面垂直的性质和判定推理作答.

（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦计算作答.

【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：

，则，即，有，

因平面，平面，则，而，平面，

于是得平面，又平面，

所以．

（2）因为平面，平面，则，由（1）知，射线两两垂直，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设为平面的一个法向量，则，令，得，

设是平面的一个法向量，则，令，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的正弦值为．

21．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.

(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)证明见解析

(2)第二项和第三项

【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.

②假设第r+1项系数最大，根据和，解出的范围，进而可求解.

【详解】（1）证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，

（舍）或.

二项展开式中第项，令，

所以展开式中没有常数项得证.

（2）由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，

又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项.

22．李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.

（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

【答案】（1）（2）（3）选择路线上班最好.

【详解】【试题分析】（1）走线路相当于次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生次和恰好发生次的概率，相加即可.（2）走线路，则遇到红灯次数的可能取值为，按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）线路是二项分布，利用公式计算出期望，由于的期望小，故选线路.

【试题解析】（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，

则　　，　　　　　  

所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为.　　　  

（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　 　　

. 

随机变量的分布列为：

所以.　　　　　　  

（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布～，所以.    因为，所以选择路线上班最好.

【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都为，所以可以看成是次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了.