2022-2023学年福建省厦门第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年福建省厦门第一中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数定义可知，即可得答案.

【详解】，，

则.

故选：C

2．在等差数列中，若，，则等于（    ）

A．20 B．18 C．16 D．

【答案】B

【分析】设等差数列为，公差为d，由，，可得，即可得答案.

【详解】设等差数列为，公差为d，因，，

则，故.

故选：B

3．已知抛物线焦点为，是上一点，为坐标原点，若的面积为，则（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】A

【分析】首先求出焦点坐标，设，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得.

【详解】由已知抛物线焦点为，

设，则，所以，

则，解得，于是.

故选：A

4．已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出和，根据投影向量的定义，即可求得答案.

【详解】由向量，可得，

，

故在上的投影向量为，

故选：A

5．著名数学加华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数的图象大致是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用的奇偶性和在上的符号可选出答案.

【详解】因为的定义域是

所以是奇函数，排除A、B

因为当时，，排除D

故选：C

6．已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据一般方程表示圆以及两圆相交可得出关于的不等式组，求出直线的方程，分析可知直线经过圆心，将圆心的坐标代入直线的方程，可求得实数的值，再进行检验即可.

【详解】对于圆，有，可得，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，且，

因为两圆有两个公共点、，则，

即，

将两圆方程作差可得，

因为，则直线过圆心，所以，，解得，

满足.

因此，.

故选：C.

7．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大时，直线OA和夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设为xm，则由题设可得正六棱锥底面边长，底面正六边形的面积，帐篷体积为，对体积求导分析其单调性，即可得到帐篷的体积最大时，直线OA和夹角的余弦值.

【详解】设为xm，.则由题设可得正六棱锥底面边长为.底面正六边形的面积为，

帐篷体积为.

∴，

求导得，

令，解得（不合题意，舍去），.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

∴当时，最大，将平移至AD，则即为直线OA和的夹角，

∵，∴正六棱锥底面边长为，∴，∴.

故选：B.

8．已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求导后可知时不合题意；当时，可确定极值点为；分别在、和的情况下，根据在上恰好有一个整数解可确定整数解，由此可构造方程组求得的范围.

【详解】，

当时，恒成立，在上单调递增，不存在极值点，不合题意；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

的极小值点为，无极大值点；

在上存在极值点，在上恰好有唯一整数解，又，

则当，即时，，不合题意；

当时，则的唯一整数解为，

，，，解得：；

当时，则的唯一整数解为，

，，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过对于极值点位置的讨论，确定时的整数解，从而确定整数解及其两侧的整数对应的函数值的符号，由此构造不等式组求得参数范围.

二、多选题

9．如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ）

A．当x=﹣1时，取得极小值

B． 在[﹣2，1]上是增函数

C．当x=1时，取得极大值

D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数

【答案】AD

【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.

【详解】解：导函数的图象可知，

当﹣2<x<﹣1时， <0，则单调递减，

当x=﹣1时， =0，

当﹣1<x<2时， >0，则单调递增，

当x=2时，=0，

当2<x<4时，<0，则单调递减，

当x=4时，=0，

当x>4时，>0，则单调递增，

所以当x=﹣1时，取得极小值，故选项A正确；

在[﹣2，1]上是有减有增函数，故选项B错误；

当x=2时，取得极大值，故选项C错误；

在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故选项D正确.

故选：AD.

10．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分別为，，交准线于点（为坐标原点），则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．直线轴 D．的最小值是16

【答案】ACD

【分析】先求出抛物线的焦点和准线方程. 设直线AB的方程为，利用“设而不求法”判断选项ABC,利用焦半径公式判断选项D.

【详解】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点，准线方程为.

设直线AB的方程为，联立，得，∴，.

∴，∴.故A正确；

∵，∴.故B错误；

又∵，，三点共线，

∴，∴，又∵，∴，∴直线轴.故C正确；

设直线AB的倾斜角为，根据抛物线的焦半径公式得，，

∴，当且仅当轴时等号成立，∴D正确.

故选：ACD

11．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．不存在点G，使得平面EFG

C．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为

D．点F到直线EG距离的最小值为

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据平行得到，A正确，当时，平面EFG，B错误，计算的最小值为，C错误，计算投影最大为，计算得到D正确，得到答案.

【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，，，.

对选项A：由正方体以及面面平行的性质可得，平面，线段上的G到面距离为，

故，.

则为定值，正确；

对选项B：若存在点G，使平面EFG，设，

，，，，

则.

，，，故，

又由，平面EFG，故平面EFG，存在点G满足要求，不正确；

对选项C：过F作，垂足为，则平面，

则即为所求线面角，当时，所求角最大，此时最小，

，，，错误；

对选项D：，，

故在方向上投影长度为，

当时，投影最大为，又，

所以点F到直线EG距离的最小值为，正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：本题考查了三棱锥的体积，线面垂直，线面夹角，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的关系转化为向量运算，是解题的关键.

12．意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个典例.记斐波那契数列为，，则下列结论正确的有（    ）

A．单调递增 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A特殊值即可判断；

对于B分别用表示和即可判断；

对于C用换底公式换底之后即可判断；

对于D利用转换的数学思想，即可判断；

【详解】，故非单调，A错误；

由数列通项公式，

，

而

，两式相等，B正确；

∵

，C正确；

注意到

∴单调递增，，其分母大于零，

，而递减，

∴，∴，，，∴∴，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知曲线在处的切线的斜率为，则______.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求解.

【详解】因为，

所以，当时，，

因为曲线在点处的切线的斜率为，

所以，解得，

故答案为：

14．已知数列满足，则__________.

【答案】

【分析】由，可得当，时，，

及.据此可写出数列前5项，继而可得答案.

【详解】因.

则当，时，，与相减得：.又由，

则.故，则.

故答案为：.

15．已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可.

【详解】设，，

因为当时，，所以，为增函数.

又因为，所以.

所以， 即为偶函数.

所以在为减函数，在为增函数.

因为

，

所以，解得或.

故答案为：.

16．直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为_________.

【答案】/

【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.

【详解】设，，，则，

两式相减得，即，

所以，因为是垂直平分线，有，

所以，即，化简得，

∵，∴.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求在上的最大值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可知，和，求，的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，先求，再求 ，利用的正负，分析的单调性，并求的最小值，并判断的单调性，求函数的最大值.

【详解】（Ⅰ），

由题设得，，

解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，所以.

【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数的正负，分析的单调性，

18．已知数列满足，（）.

（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）数列满足：（），求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；(2).

【分析】(1)将给定等式变形为，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；

(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.

【详解】(1)因数列满足，，

则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，

所以数列是等比数列，，；

(2)由(1)知，

则

于是得， ，

所以数列的前项和.

19．如图，平面，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），证明即得证；

（2）设，解方程即得解.

【详解】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得．设，则．

（1）依题意，是平面的法向量，

又，可得，

又因为直线平面，所以平面．

（2）设为平面的法向量，

则，即

不妨令，可得．

同理可求得平面的法向量

由题意，有，

解得．经检验，符合题意．

所以，线段的长为．

【点睛】方法点睛：二面角的求法

方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）

方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）

20．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)交点的个数为1，理由见解析

【分析】（1）由导数法求单调递增区间；

（2）将两线交点转化成零点个数问题，由导数法讨论零点个数即可

【详解】（1）函数的定义域为.

.           

令，解得.

所以函数的单调递增区间为.

（2）由（1）得，

曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.

于是有，即，

设，.

设，.

此时，，，变化情况如下：

于是有，，.

由零点存在定理可知在存在唯一零点.

设零点为，则在，，单调递增；在，，单调递减.

因为，，，所以在上存在唯一零点，

即曲线与直线在区间上交点的个数为1.

【点睛】不含参函数零点个数问题，

（1）利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；

（2）当导数的符号不易判断时，可将导数作为新的函数，再做一次（1）的过程来判断符号

21．已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围．

【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，，

则，得，

则，

所以双曲线的方程为；

（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；

②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为，

联立，消并整理得，

则，

化简得，即，

化成关于的一元二次方程，

设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即，

又点在直线上，所以直线与圆有交点，

所以，即，即，

故的取值范围为．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根据的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可．

22．已知，.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，，是的极值点，若，使得恒成立，求实数的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)3

【分析】（1）求导，分和，讨论求解；

（2）易得是的极大值点，若有两个零点，则需，得到，令，由，得到，将恒成立，转化为，恒成立求解.

【详解】（1）的定义域是，，

①时，，在单调递增，

②时，，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

综上：时，在单调递增，时，在递减，在递增；

（2）由（1）知，当时，在单调递增，显然不可能有两零点；

当时，在上单调递减，上单调递增，

而要使有两个零点，则满足，即，可得，

因为，，令，由，

即，而，

即，由，，只需使，恒成立即可，

令，则，注意到，，

①若，即，则在处递减，存在，使得时，，递减，此时，不符合要求；

②若，即时，因为，

所以只需证明，恒成立即可，

令，设，

则，故在上递增，，

故在上递增，；所以最小值为3，此时.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是明确是函数的极大值点，关键有两个零点，由，得到，然后令，根据，得到，将，转化为 ，恒成立而得解.