江苏省苏州市吴中区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份江苏省苏州市吴中区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市吴中区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣6x＝x（x﹣6）
B．（x+3）2＝x2+6x+9
C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
D．8a2b4＝2ab2•4ab2
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
4．（3分）如图，下列条件不能判断l∥m的是（　　）

A．∠4＝∠5 B．∠1+∠5＝180° C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠2
5．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长度可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．11cm
6．（3分）若a＝（﹣）﹣2，b＝（﹣）0，c＝（）2，则a，b，c数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（3分）若3x＝5，3y＝4，则32x﹣y的值为（　　）
A．100 B． C． D．
8．（3分）若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．（3分）如图，点D、E分别是△ABC边BC、AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD、BE交于点F，若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝18°，则∠DFB的度数为（　　）

A．40° B．44° C．50° D．54°
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000065平方毫米，数据0.00000065用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）已知多边形的内角和比它的外角和大540°，则多边形的边数为　 　．
13．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝﹣3，则a2﹣b2＝　 　．
14．（3分）如果多项式x2+mx+25是一个二项式的完全平方式，则m的值为 　 　．
15．（3分）＝　 　．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝130°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　 　°．

17．（3分）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为 　 　．

18．（3分）如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，AE⊥EF，∠EGA﹣∠AEC＝60°，则∠F+∠A＝　 　度．

三、解答题：本大题共9题，共76分。把答案写在答题卷相应位置上。
19．（12分）计算：
（1）；
（2）（﹣2x）2（2x2y﹣4xy2）+x4y；
（3）（x﹣1）（4﹣x）﹣5x（x﹣3）．
20．（16分）分解因式：
（1）m2（a﹣3）+4（3﹣a）；
（2）2x2y﹣8xy+8y；
（3）3x2﹣15x+18；
（4）3a3b﹣81b4．
21．（6分）已知x2﹣x＝6，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'．图中标出了点C的对应点C′．（利用网格与无刻度直尺画图）
（1）画出平移后的△A'B'C'；
（2）利用格点，过点C画一条直线CM，将△ABC分成面积相等的两个三角形；（画出直线CM经过的格点）
（3）在整个平移过程中，线段BC扫过的面积是　 　．

23．（6分）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．

24．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

25．（6分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．
26．（8分）在图1和图2中，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC．
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，若∠BMN＝140°，∠MND＝120°，那么∠BPD＝　 　°（只要直接填上答案即可）．
​
27．（10分）如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．

​（1）如图①，若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α+β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝50°，β＝160°时，∠BOC＝　 　°；
②若∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图③，若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝　 　．（用含α、β的代数式表示）

2022-2023学年江苏省苏州市吴中区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图形平移与翻折变换的性质解答即可．
【解答】解：由图可知，ABC利用图形的翻折变换得到，D利用图形的平移得到．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣6x＝x（x﹣6）
B．（x+3）2＝x2+6x+9
C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
D．8a2b4＝2ab2•4ab2
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x2﹣6x＝x（x﹣6），符合题意；
B、（x+3）2＝x2+6x+9，是多项式的乘法运算，故此选项不合题意；
C、x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
D、8a2b4≠2ab2•4ab2，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分解因式的定义，正确把握定义是解题关键．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、a8÷a2＝a6，故本选项不合题意；
C、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
D、（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）如图，下列条件不能判断l∥m的是（　　）

A．∠4＝∠5 B．∠1+∠5＝180° C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：A、∵∠4＝∠5，
∴l∥m，
故此选项不符合题意；
B、∵∠1＝∠6，∠1+∠5＝180°，
∴∠5+∠6＝180°，
∴l∥m，
故此选项不合题意；

C、∵∠2＝∠3，
∴l∥m，
故此选项不合题意；
D、∠1＝∠2不能判断l∥m，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
5．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长度可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．11cm
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，角形的两边差小于第三边，结合选项求解即可．
【解答】解：设三角形的第三条边为xcm，
∵5＜x＜11，
∴三角形的第三条边长可能是9cm，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6．（3分）若a＝（﹣）﹣2，b＝（﹣）0，c＝（）2，则a，b，c数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可．
【解答】解：a＝（﹣）﹣2＝，b＝（﹣）0＝1，c＝（）2＝，
∵＜1＜，
∴c＜b＜a，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
7．（3分）若3x＝5，3y＝4，则32x﹣y的值为（　　）
A．100 B． C． D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式化简得出答案．
【解答】解：∵3x＝5，3y＝4，
∴32x﹣y＝（3x）2÷3y
＝25÷4
＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
8．（3分）若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是12边形．
故选：C．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
9．（3分）如图，点D、E分别是△ABC边BC、AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD、BE交于点F，若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【解答】解：∵S△ABC＝BC•hBC＝AC•hAC＝12，
∴S△ABC＝（BD+CD）•hBC＝（AE+CE）•hAC＝12，
∵AE＝CE＝AC，S△AEB＝AE•hAC，S△BCE＝EC•hAC，
∴S△AEB＝S△CEB＝S△ABC＝×12＝6，
即S△AEF+S△ABF＝6①，
同理：∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD＝BC，S△ABD＝BD•hBC，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝8，
即S△BDF+S△ABF＝8②，
①﹣②得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝8﹣6＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的面积，掌握等积变换是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝18°，则∠DFB的度数为（　　）

A．40° B．44° C．50° D．54°
【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
【解答】解：如图：

∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+18，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+18＝x+y，
解得：y＝36°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣108°）＝36°，
∵AD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠DFB＝90°﹣∠2＝54°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000065平方毫米，数据0.00000065用科学记数法表示为 　6.5×10﹣7　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故答案为：6.5×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）已知多边形的内角和比它的外角和大540°，则多边形的边数为　7　．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝360°+540°，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
13．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝﹣3，则a2﹣b2＝　﹣12　．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），然后代入求解．
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×（﹣3）＝﹣12．
故答案是：﹣12．
【点评】本题考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．
14．（3分）如果多项式x2+mx+25是一个二项式的完全平方式，则m的值为 　±10　．
【分析】根据完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，求解即可．
【解答】解：∵多项式x2+mx+25是一个二项式的完全平方式，
∴m＝±2×1×5＝±10，
故答案为：±10．
【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
15．（3分）＝　　．
【分析】根据积的乘方公式进行简化运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝130°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　230　°．

【分析】由平行线的性质可得∠D＝50°，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得∠1+∠2＝230°．
【解答】解：如图，

∵AD∥BC，∠C＝130°，
∴∠D＝180°﹣130°＝50°，
∴∠A+∠B+∠C＝360°﹣50°＝310°，
∴∠1+∠2＝（5﹣2）×180°﹣310°＝230°．
故答案为：230．
【点评】本题考查了多边形的内角、平行线的性质及邻补角，熟练掌握多边形的内角和定理及邻补角定义是解题的关键．
17．（3分）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为 　3.5　．

【分析】用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积．
【解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，
把a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝×25﹣×6＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法．
18．（3分）如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，AE⊥EF，∠EGA﹣∠AEC＝60°，则∠F+∠A＝　105　度．

【分析】过F作FN∥AB，由平行线的性质，垂直的定义，可以推出∠EGA+∠MEG＝150°，求出∠EMG的度数，由角平分线，平行线的性质求出∠NFC的度数，而∠A+∠AGE＝90°，即可求出∠A+∠EFC的度数．
【解答】解：过F作FN∥AB，AG交CE于M，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，∠A+∠AGE＝90°
∴∠AEC＝90°﹣∠MEG，
∵∠EGA﹣∠AEC＝60°，
∴∠EGA﹣（90°﹣∠MEG）＝60°，
∴∠EGA+∠MEG＝150°，
∴∠EMG＝180°﹣（∠EGA+∠MEG）＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠MCD＝∠EMG＝30°，
∵CF平分∠ECD，
∴∠FCD＝∠ECD＝15°，
∵NF∥CD，
∴∠NFC＝∠FCD＝15°，
∵AB∥FN，
∴∠NFE＝∠AGE，
∵EFC+∠A＝∠NFC+∠EFN+∠A，
∴∠EFC+∠A＝15°+∠AGE+∠A＝15°+90°＝105°，
故答案为：105．

【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
三、解答题：本大题共9题，共76分。把答案写在答题卷相应位置上。
19．（12分）计算：
（1）；
（2）（﹣2x）2（2x2y﹣4xy2）+x4y；
（3）（x﹣1）（4﹣x）﹣5x（x﹣3）．
【分析】（1）先利用有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的意义化简，再进行加减运算即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；
（3）先根据多项式乘多项式以及单项式乘多项式的法则将括号展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+4﹣1
＝2；
（2）（﹣2x）2（2x2y﹣4xy2）+x4y
＝4x2（2x2y﹣4xy2）+x4y
＝8x4y﹣16x3y2+x4y
＝9x4y﹣16x3y2；
（3）（x﹣1）（4﹣x）﹣5x（x﹣3）
＝4x﹣x2﹣4+x﹣5x2+15x
＝﹣6x2+20x﹣4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
20．（16分）分解因式：
（1）m2（a﹣3）+4（3﹣a）；
（2）2x2y﹣8xy+8y；
（3）3x2﹣15x+18；
（4）3a3b﹣81b4．
【分析】（1）先提取公因式（a﹣3），再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式2y，再利用完全平方公式分解即可；
（3）先提取公因式3，再利用十字相乘法分解因式即可；
（4）先提取公因式3b，再利用公式分解即可．
【解答】解：（1）m2（a﹣3）+4（3﹣a）
＝m2（a﹣3）﹣4（a﹣3）
＝（a﹣3）（m2﹣4）
＝（a﹣3）（m+2）（m﹣2）；
（2）2x2y﹣8xy+8y
＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2；
（3）3x2﹣15x+18
＝3（x2﹣5x+6）
＝3（x﹣2）（x﹣3）；
（4）3a3b﹣81b4
＝3b（a3﹣27b3）
＝3b（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
21．（6分）已知x2﹣x＝6，求（2x+1）2﹣x（5+2x）+（2+x）（2﹣x）的值．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣5x﹣2x2+4﹣x2
＝x2﹣x+5，
当x2﹣x＝6时，
原式＝6+5
＝11．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'．图中标出了点C的对应点C′．（利用网格与无刻度直尺画图）
（1）画出平移后的△A'B'C'；
（2）利用格点，过点C画一条直线CM，将△ABC分成面积相等的两个三角形；（画出直线CM经过的格点）
（3）在整个平移过程中，线段BC扫过的面积是　26　．

【分析】（1）利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′、B′即可；
（2）取AB的中点D，则直线CD满足条件；
（3）求两个平行四边形的面积的和得到线段BC扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，CM为所作；

（3）线段BC扫过的面积＝4×5+2×3＝26．
故答案为26．
【点评】本他考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．（6分）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．

【分析】此题要注意由EF∥AD，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD＝180°，即可求解．
【解答】解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）；
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）；
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．

【点评】此题考查了平行线的性质与判定，解题时要注意数形结合的应用．
24．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；

（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．

【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
25．（6分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．
【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；
（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．
【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，
∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，
∴x+2y＝0，y+3＝0，
∴x＝6，y＝﹣3，
∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．
（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，
∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∵2﹣1＜c＜2+1，
∴1＜c＜3，
∵c为正整数，
∴c＝2．
【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．
26．（8分）在图1和图2中，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC．
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，若∠BMN＝140°，∠MND＝120°，那么∠BPD＝　40　°（只要直接填上答案即可）．
​
【分析】（1）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．
（2）连接BD，先求出∠MBD+∠NDB的度数，再求出∠PBM+∠PDN的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，

∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠ABE+∠EBD+∠EDB+∠CDE＝180°，
∵∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE，
同法可证，∠BPD＝∠ABP+∠CDP，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，
∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，
∴∠BPD＝（∠ABE+∠CDE），
∴∠BPD＝∠BED．
（2）如图2，连接BD，

∵∠BMN＝140°，∠MND＝120°，
∴∠MBD+∠NDB＝360°﹣（140°+120°）＝100°，
∵BP、DP分别平分∠ABM、∠NDC，
∴∠PBM＝∠ABM，∠PDN＝∠CDN，
∴∠PBM+∠PDN＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BPD＝180°﹣（∠MBD+∠NDB）﹣（∠PBM+∠PDN）＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形、四边形内角和定理，解题的关键是这些知识的灵活应用，学会添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形，属于中考常考题型．
27．（10分）如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．

​（1）如图①，若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α+β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝50°，β＝160°时，∠BOC＝　15　°；
②若∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图③，若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝　90°﹣　．（用含α、β的代数式表示）
【分析】（1）由α+β＝180°先判断AB∥CD，根据平行线的性质得出∠DCE＝∠ABC，再由角平分线的性质证得结论；
（2）①根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD，根据角平分线的性质可知，∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，利用外角表示∠BOC即可；
②根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD＝180°﹣（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，利用外角表示∠BOC即可；
（3）根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD＝180°﹣（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，利用外角表示∠BOC即可．
【解答】解：（1）CN∥BM，
理由如下：
∵α+β＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN＝∠CBM，
∴CN∥BM；
（2）①∵α＝50°，β＝160°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣50°﹣160°＝150°，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，
设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，
∵∠ECN＝∠BOC+∠CBM，
∴x＝∠BOC+y，
∴∠BOC＝x﹣y，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴2x+150°﹣2y＝180°，
∴x﹣y＝15°，
∴∠BOC＝15°．
故答案为：15；
②∠BOC＝（α+β）﹣90°，
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，
设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，
∵∠ECN＝∠BOC+∠CBM，
∴x＝∠BOC+y，
∴∠BOC＝x﹣y，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴2x+360°﹣（α+β）﹣2y＝180°，
∴x﹣y＝﹣90°，
∴∠BOC＝（α+β）﹣90°；
（3）∠BOC＝90°﹣（α+β），
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN＝∠DCN，∠CBM＝∠ABM，
设∠ECN＝∠DCN＝x，∠CBM＝∠ABM＝y，
∵∠CBM＝∠BOC+∠BCO，∠ECN＝∠BCO，
∴y＝∠BOC+x，
∴∠BOC＝y﹣x，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴2x+360°﹣（α+β）﹣2y＝180°，
∴y﹣x＝90°﹣，
∴∠BOC＝90°﹣（α+β）．
故答案为：∠BOC＝90°﹣（α+β）．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．