中考数学一轮突破 基础过关 第20讲直角三角形

这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第20讲直角三角形，共12页。学案主要包含了直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等内容，欢迎下载使用。
第20讲　直角三角形课标要求(1)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．(2)探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．(3)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.考情分析　　该内容主要是以选择题、填空题、证明题的形式来考查，分值为3～9分．主要考查的内容为：(1)直角三角形的性质；(2)勾股定理及其应用；(3)勾股定理的逆定理．这三个知识点几乎每年各地市都考．预测这几个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对直角三角形的性质和勾股定理的理解，多做练习加以巩固. 一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两锐角________；等腰直角三角形的两锐角都是________．2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．二、勾股定理直角三角形的两条________的平方和等于________的平方．设直角边分别为a，b，斜边为c，用代数式可表示为____________．三、勾股定理的逆定理如果三角形两边的________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形．四、直角三角形的判定1. 有一个角是________的三角形是直角三角形．2. 如果一个三角形一边上的______等于这边的______，那么这个三角形是直角三角形．3. 如果一个三角形两边的____________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形及勾股定理  (贺州，第10小题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为(　　)A．3  B．3C．6  D．6【思路点拨】由题意得到△ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC.∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，∴△ADE为等腰直角三角形．根据勾股定理得，AE＝＝3.在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，∴AE＝BC.∴BC＝2AE＝6.小结在直角三角形中求边长，首先考虑用勾股定理求解．当直角三角形中出现30°角时应想到30°角所对的直角边等于斜边的一半；当出现斜边上的中线时应想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．另外对于直角三角形中的线段或角度还可以利用锐角三角函数求解. (柳州，第18小题，3分)如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠DCA＝30°，AC＝，AD＝，则BC的长为________．    (柳州，第22小题，8分)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.(1)求BD和AD的长；(2)求tan∠C的值．      ,　　　　　　　　　　　　　　　勾股定理的逆定理  (桂林，第8小题，3分)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(　　)A．30，40，50  B．7，12，13C．5，9，12  D．3，4，6【思路点拨】本题主要考查对勾股定理的逆定理的理解和记忆，即如果a2＋b2＝c2，则这个三角形就是直角三角形．∵302＋402＝502，∴A选项能构成直角三角形；∵72＋122≠132，∴B选项不能构成直角三角形；同理C，D选项也不够构成直角三角形． (益阳)如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝________．  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　)A．3，4，5  B．6，8，10C.，2，  D．5，12，132. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，若将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE的度数是(　　)A．30°  B．40°  C．50°  D．55°,第2题图)　　　　,第3题图)3. 如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)A．40°  B．60°  C．70°  D．80°4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)A.  B.C.  D.5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是(　　)A．4  B．3  C．2  D．1 6. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为(　　)A. 米  B. 米C．(＋1)米  D．3米7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(　　)A．8米  B．10米  C．12米  D．14米8. (北部湾经济区) 如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　　)A．15　   B．20  C．25   D．309. 若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于________°.10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝________cm.11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.第11题图　　　　　第12题图    12. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________cm.13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上．若AB＝3，BC＝4，则BD＝________.第13题图　　　　　第14题图    14. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于________cm2.15. 已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为________cm2.16. 如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．17．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．         18. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．                  19. (桂林) 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E.(1)求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；(2)求证：CD平分∠ACB；(3)点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2＋OF2＝EF·BF.      第20讲　直角三角形【基础梳理】一、1.互余　45°　2.30°　3.一半二、直角边　斜边　a2＋b2＝c2三、平方和　平方四、1.直角　2.中线　一半　3.平方和　平方【重点突破】[例1]D　[变式1]2或5[变式2]解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3.(2)CD＝AC－AD＝5－3＝2，在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝.[例2]A　[变式3]【达标检测】1．C　2.C　3.C　4.A　5.A　6.C　7.B　8.B　9.70　10.8　11.2　12.2　13.　14.6　15．100＋50或100－50　16.517．解：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴△DBC是直角三角形．由勾股定理得DB＝＝＝3.(2)如图所示，过点A作AE⊥CB的延长线于点E，∵AE⊥CB，DB⊥CB，∴AE∥DB，又∵点D是AC的中点，∴DB是△ACE的中位线，∴AE＝2DB＝6，∴BC边上高的长为6.18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AD＝DB.又∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm，∴BD＝10 cm.∴BC＝5 cm，AB＝2BC＝10 cm.19．证明：(1)如图，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都是直角三角形，O是斜边AB的中点，∴OC＝OA＝OB＝OD.∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；(2)∵A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上， ∴∠DCB＝∠DAB＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°－45°＝45°.∴∠DCB＝∠ACD.∴CD平分∠ACB；(3)如图，∵△ABD是等腰直角三角形，∴OD⊥AB，∠DAB＝∠DBA＝45°.∴DO2＋OF2＝DF2  .∵BO＝DO，∴BO2＋OF2＝DO2＋OF2＝DF2.∵DF∥BC，∠FDC＝∠DCB＝∠DBA＝45°.又∵∠DFE＝∠DFB，∴△FDE∽△FBD.∴＝.∴DF2＝EF·BF.∴BO2＋OF2＝EF·BF.