中考数学一轮突破 基础过关 第26讲尺规作图

第26讲　尺规作图

一、尺规作图

尺规作图的基本工具是______________________和________．作图时不能利用直尺的刻度、三角板现有的角度和量角器．

二、五种基本作图

1. 作一条线段等于已知线段．

2. 作一个角等于已知角．

3. 作已知线段的垂直平分线．

4. 作已知角的平分线．

5. 作已知直线的垂线，包括以下两种情形：

(1)过直线上一点作一条直线与已知直线垂直；

(2)过直线外一点作一条直线与已知直线垂直.

作已知角的平分线；作已知直线的垂线

(贵港，第20小题，5分)如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上．

(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F.

(2)由(1)得：BF与边AC的位置关系是________．

【思路点拨】本题主要考查较复杂的尺规作图题，(1)①利用角平分线的作法得出BM；②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；(2)利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质即可得出．

(贵港，第20小题，5分)

尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所示)．

(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；

(2)作∠AOB的平分线；

(3)过点M作OB的垂线．

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与尺规作图有关的计算题和证明题

(百色，第18小题，3分)

如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：

(1)作出半径OF的中点H；

(2)以H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G；

(3)AG长即为正五边形的边长，依次作出各等分点B、C、D、E.已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝________(结果保留根号)．

【思路点拨】∵R＝2，H是半径OF的中点，∴OH＝1.

∵OA⊥MF，OA＝2，∴在Rt△AOH中，HA＝＝，由作图知HA＝HG＝，

OG＝HG－OH＝－1.如图，连接AG.

在Rt△AOG中，AG2＝OA2＋OG2＝22＋＝10－2，由作图知AB＝AG，∴AB2＝10－2 .

(北部湾经济区，第7小题，3分)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(　　)

A．40°  B．45°  C．50°  D．60°

(河池，第21小题，3分)

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．

(1)尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；

(2)探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．

(玉林，第21小题，6分)

如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝30°.

(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑)；

(2)求证：△BCD是等腰三角形．

1. (北部湾经济区)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为(　　)

A．60°　 　　  B．65°  C．70°   D．75°

2. (柳州)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是(　　)

3. (河池) 观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是(　　)

4. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，

大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为(　　)

A．7  B．14  C．17  D．20

5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是(　　)

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．梯形

6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为(　　)

A．36°  B．54°  C．72°  D．73°

,第6题图)　　　　,第7题图)

7. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是(　　)

A．以点C为圆心，OD为半径的弧

B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧

D．以点E为圆心，DM为半径的弧

8. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

甲：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．

(2)连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形．

乙：(1)以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

(2)连接AB，BC，CA.△ABC即为所求的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)

A．甲、乙均正确  B．甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误  D．甲错误、乙正确

9. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于________．

10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC的度数为________．

11. 尺规作图：如图，已知△ABC.

求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.

(作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹)

已知：

求作：

12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点；(保留作图痕迹，不写作法)．

(2)若AC＝6，AB＝10，连接CD，求DE，CD的长．

13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

第26讲　尺规作图

【基础梳理】

一、没有刻度的直尺　圆规

【重点突破】

[例1]解：(1)①如图所示，

BM即为所求；

②如图所示，AF即为所求；

(2)∵AB＝BC，

∴∠CAB＝∠C.

∵∠C＋∠CAB＝∠CBD，∠CBM＝∠MBD，

∴∠C＝∠CBM.

∴BF∥AC.

[变式1]解：(1)点P为所求作；

(2)OC为所求作；

(3)MD为所求作．

[例2]10－2　[变式2]C

[变式3]解：(1)如图所示．

(2)OE∥AC，OE＝AC.

证明：∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO.

由(1)知AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠OAD.

∴∠CAD＝∠ADO.

∴OE∥AC.

从而得＝＝，即OE＝AC.

[变式4](1)解：如图所示．

(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

∵∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝×(180°－36°)＝72°.

∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝36°.

∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°.

∴∠BDC＝∠C.

∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形．

【达标检测】

1．B　2.B　3.B　4.C　5.A　6.C　7.D　8.A　

9.　10.65°

11．解：已知：△ABC.

求作：△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.

12．(1)如图，DE即为所求．

(2)DE＝3，CD＝5.

　,第13题图)

13．解：(1)如图所示．

(2)∵BD平分∠ABC，∠ABC＝72°，

∴∠ABD＝∠ABC＝36°.

∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝72°.

∴∠A＝36°，

∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.