2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，， 则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据并集概念求解即可.

【详解】因为集合，

故选：A

2．设命题，则为 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案.

【详解】根据特称命题的否定是全称命题,

为

故选：C.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】由题意，但的正负不确定，故推不出；

当时，由于为增函数，故可推出，则成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

4．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数幂运算与对数运算性质运算求解即可.

【详解】解：.

故选：B.

5．已知，，试比较，，的大小为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将､､与0､1相比较，即可得到结论.

【详解】解：∵，

，

，

∴，

故选：B.

6．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项.

【详解】对于，故其图象的渐近线为，，

而，结合图象可得，故A不符合；

对于，故其图象的渐近线为，，

而，结合图象可知D符合；

对于，因为，故其图象的渐近线为，，

结合图象可知B不符合；

对于，因为，故其图象的渐近线为，，

结合图象可知C不符合；

故选：D.

7．定义，如．则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出函数的图象，数形结合可得出函数的最小值.

【详解】当时，，此时；

当时，，此时，；

当时，，此时，.

所以，，作出函数的图象如下图所示（实线部分）：

因为，，因此，.

故选：A.

8．函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”．若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.

【详解】因为为上的“有偶函数”，故存在非零实数，使得，

若，则，故方程有解，

故在上有解，而，

而，故的值域为，故.

若，则，故方程有解，

故在上有解，而，

而，故的值域为，故.

故选：D.

二、多选题

9．设集合，若满足，则实数可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据，建立条件关系即可求实数的值．

【详解】解：由题意：集合，，，

当时，满足题意，此时无解，可得．

当时，则方程有解，即，

要使，则需要满足：或，

解得：或，

所以的值为：0或或．

故选：．

【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，注意并集、子集定义的合理运用，属于基础题．

10．下列命题是真命题的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．

C．若集合，则

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】选项A根据充要条件和对数不等式即可判断，B选项当时，不成立，C选项对集合间的关系符号运用错误，D选项根据从充分条件与必要条件的关系即可.

【详解】对于A选项当时可以推出，同时，可得，故A正确；

对于B选项，当时，，故B错误；

对于C选项，集合与集合之间不能用属于符号，故C错误；

对于D选项，不能推出，可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：AD

11．下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ）

A． B．

C．  D．（为自变量）

【答案】BD

【分析】根据函数的定义，判断每个选项的函数的定义域和对应关系与是否相同，可得答案.

【详解】函数的定义域为，

的定义域为，与不是同一函数，A错误；

的定义域为，化简后，

与是同一函数，B正确；

的定义域为，化简后为，

与不是同一函数，C错误；

（为自变量）的定义域为,对应关系与相同，

与是同一函数，D正确；

故选：BD.

12．已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（    ）

A．，  B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】将函数解析式变形为，结合反比例函数的性质可得，，可得的关系，分析选项可得答案.

【详解】由题意知，不等式对任意的恒成立.

①当时，在区间上单调递增，则，解得；

②当时，由，可得，则，解得，

则，

由于该函数在区间上单调递增，，，

A.当时，合乎题意；B.当时，恒成立，合乎题意；

D.当时，恒成立，合乎题意；

③当时，则，函数在没有定义，C选项不合乎题意.

故选：ABD.

【点睛】本题考查分式函数在某区间的单调性，考查反比例函数的性质，属于基础题.

三、填空题

13．函数的定义域为____．

【答案】

【分析】根据解析式有意义可求函数的定义域.

【详解】由函数的解析式可得，故，

故函数的定义域为，

故答案为：.

14．函数的零点个数为____．

【答案】2

【详解】求出分段函数每一段的零点即可.

【点睛】令，得或（舍去）

令，得，

故函数函数的零点个数为2

故答案为：2

15．一件商品成本为30元，售价为40元时每天能卖出500件．若售价每提高1元，每天销量就减少10件，问商家提价____元时，每天的利润最大．

【答案】20

【分析】设商家定价为x元时，每天的利润最大，可得利润的表达式，利用二次函数的性质即可得出答案．

【详解】设商家定价为x元时，每天的利润最大，

则，

可得：时即提价20元时，函数取得最大值，

因此商家提价20元时，每天的利润最大，

故答案为：20.

16．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为____．

【答案】

【分析】先根据条件构造，确定其单调性，将不等式转化，即，再利用单调性解即可.

【详解】，

不妨设，则，即，

故函数在上单调递减，

由以及得，

即，根据单调性可得

即不等式的解集为

故答案为：

四、解答题

17．设全集，集合，或．

(1)求集合；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解指数不等式即可；

（2）直接根据补集和交集的概念即可得答案.

【详解】（1）因为，即

所以

所以

（2）因为，或

所以

所以

18．设全集，集合，集合．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)设，若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围.

（2）根据以及是的充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）由于，所以，解得，

所以的取值范围是.

（2）由于且是的充分不必要条件，

所以，解得，

所以的取值范围是.

19．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．

(1)试求关于的函数；

(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；

(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？

【答案】(1)

(2)立方米

(3)元

【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解.

【详解】（1）因为某户该月用水立方米，

按收费标准可知，当时，；

当时，；

当时，．

所以

（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，

所以， 解得．

所以该月的用水量为立方米．

（3）因为，

所以．

当时，，此时．

所以此时两户一共需要支付的水费是元．

20．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）用定义证明：在上为减函数.

【答案】（1），（2）证明见解析

【解析】根据奇函数定义，利用且，列出关于a、b的方程组并解之得； 

根据函数单调性的定义，任取实数x1、x2，通过作差因式分解可证出,当时，,即得函数在上为减函数；

【详解】为R上的奇函数，

，

解得：．

又，

解得．

经检验，符合题意．

证明：任取，，且，

则

．

，

，

又

，

在上为减函数．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查了利用定义证明函数的单调性，属于中档题．

21．已知函数．

(1)若，求函数的值域；

(2)若，判断并证明函数的奇偶性；

(3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)函数为偶函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）利用换元法求出真数部分的二次函数的值域后可求原函数的值域；

（2）利用偶函数的定义可判断并证明函数为偶函数；

（3）根据复合函数的单调性可得真数部分对应的函数的性质，从而可求参数的取值范围.

【详解】（1）当时，   ．

令，解得．           ．

所以．所以，

所以函数的值域为                   ．

（2）当时，            ．

所以由可得定义域为            ．

因为

所以函数为偶函数．

（3）因为函数在上单调递减，故在上单调递减，

且，故，解得．

22．已知函数．

(1)当时，写出的单调区间（无需证明）；

(2)当时，的最大值为，求实数的取值范围．

【答案】(1)增区间是和；减区间是；

(2).

【分析】（1）把代入，并将函数写成分段函数，结合二次函数单调性求解作答.

（2）把函数写成分段函数，按结合二次函数性质探讨在上的最大值，即可求解作答.

【详解】（1）当时，，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

所以函数的增区间是，；减区间是.

（2）函数，

当时，函数在上单调递增，即在上单调递增，，而，解得，

当时，函数在上单调递增，即在上单调递增，，解得，

当时，，若，函数在上单调递增，在上单调递减，

，因此，

若，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因的最大值为，而，因此，解得或，则有，

综上得或，

所以实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：二次函数在闭区间上的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取得.