四川省眉山市仁寿县第一中学校2021-2022学年高一下学期期中模拟考试数学试题

这是一份四川省眉山市仁寿县第一中学校2021-2022学年高一下学期期中模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高2021级高一下学期期中考试模拟试卷一、选择题1、不等式x23x4＜0的解集为（　　）A．{x|1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜1}    C．{x|x＞1或x＜4}     D．{x|4＜x＜1}2、若角α的终边过点（1，2），则cos2α的值为（　　）A． B． C． D．3、已知{an}为等差数列，且a72a4＝1，a3＝0，则公差d＝（　　）A．﹣2 B． C． D．24、若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（　　）A．若a＞b，则ac2＞bc2  B．若a＜b＜0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则5、△ABC中，，则△ABC的面积等于（　　）A． B． C．或 D．6、定义，若函数，则将f（x）的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是（　　）         A．                     B．                    C．                    D．x＝π7、设函数f（x）满足f（n1）＝f（n）（n∈N*）且f （1）＝2，则f （20）为（　　）A．95 B．97 C．105 D．1928、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，则△ABC的形状为（　　）A．等边三角形     B．等腰三角形 C．等腰直角三角形       D．直角三角形9、若不等式x2a≤（a1）x的解集是[3，2]的子集，则a的取值范围是（　　）A．[3，1] B．[2，2） C．[3，2] D．[1，2]10、已知M是△ABC内的一点，且•，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值为（　　）A．20 B．18 C．16 D．911、在O点测量到远处有一物体在作等速直线运动，开始时该物位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan2∠OPQ等于（　　）A． B． C． D．12、已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则不能使得为整数的n是（　　）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题13、已知等比数列{an}中，有a2a14＝8a8，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且a8＝b8，则S15＝           14、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，b＝4，cosC，则sinB＝　       　．15、设α为锐角，若cos（α），则sin（2α）的值为　       　．16、已知数列{an} 满足a1＝1，a2＝2，an+2＝（1cos2ansin2，则该数列的前20项的和为　    　．三、解答题17、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东60°，B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？        18、为改善实体店经营状况，某童装专卖店拟在 2017 年举行促销活动，经调查，该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足 x＝4，已知每年该专卖店的固定投入为 7 万元，每件童装进价为12 元，销售价格定为元．（Ⅰ）将该专卖店2017年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（Ⅱ）该专卖店2017年的年促销费用投入多少万元时，利润最大？      19、已知a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边，（Ⅰ）求出角A；（Ⅱ）若 a＝2，sin（BC）sinA＝sin2C，求△ABC 的面积．            20、设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．              21、已知函数f（x）＝2sin2（x）2sin（x）cos（x）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且角A满足f（A）1，若a＝3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S．           22、已知数列{an}中，a1＝3，前n项和Sn（n1）（an1）1．①求证：数列{an}是等差数列②求数列{an}的通项公式③设数列{}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．  
高2021级高一下学期期中考试模拟试卷                     2022-4-20一、选择题1、【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选：B．2、【解答】解：∴cosα，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝21，故选：B．3、【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d，故选：B．4、【解答】解：注意考查所给选项：若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，选项A说法错误；若a＜b＜0，则a2＞b2，选项B的说法正确；利用反比例函数的单调性，若a＜b＜0，则 ，选项C的说法错误；若a＜b＜0，则，故 ，选项D的说法错误；故选：B．5、【解答】解：△ABC中，∵c，b＝1，∠C＝60°，∴由正弦定理得：，∴sinB，又c＞b，∠C＝60°，∴B＝30°，∴A＝90°，即△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积Sbcsin90°．故选：D．6、【解答】解：∵函数sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），将f（x）的图象向右平移个单位所得曲线的解析式为y＝sin[2（x）]sin（2x）．令2xkπ，可得 xπ，k∈z，故所得曲线的一条对称轴方程为 x，故选：A．7、【解答】解：函数f（x）满足f（n+1）＝f（n）（n∈N*），f （1）＝2，f（2）＝f（1），f（3）＝f（2），f（4）＝f（3），…f（20）＝f（19），把以上20个式子相加，可得：f（20）＝2＝2，＝97．故选：B．8、【解答】解：因为，则，所以，由余弦定理可得，，化简可得a2＝b2+c2，则△ABC为直角三角形．故选：D．9、【解答】解：不等式x2+a≤（a+1）x可化为x2﹣（a+1）x+a≤0，即（x﹣a）（x﹣1）≤0，因为关于x的不等式x2+a≤（a+1）x的解集是[﹣3，2]的子集，①当a＜1时，不等式的解集[a，1]⊂[﹣3，2]，所以a≥﹣3，解得﹣3≤a＜1；②当a＝1时，不等式的解集{1}⊂[﹣3，2]，满足题意；③当a＞1时，不等式的解集[1，a]⊂[﹣3，2]，所以a≤3，解得1＜a≤2；综上知，a的取值范围是[﹣3，2]．故选：C．10、【解答】解：△ABC中，•，∴cbcos30°＝4，化为bc＝8；∴S△ABCbcsin30°bc＝2，∴1+x+y＝2，即x+y＝1，且x＞0，y＞0；∴（）•（x+y）＝55+25+4＝9，当且仅当，即y＝2x时取等号，∴的最小值是9．故选：D．11、【解答】解：设PQ＝x，则QR＝x，∵∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，∴∠OPQ+∠R＝60°，即∠R＝60°﹣∠OPQ，在△ORQ中，由正弦定理得：，即OQ＝2x•sin（60°﹣∠OPQ）；在△OPQ中，同理可求得：OQ＝xsin∠OPQ，∴2x•sin（60°﹣∠OPQ）＝x•sin∠OPQ，①，由于x＝PQ＞0，将①整理可得，cos∠OPQ﹣sin∠OPQ＝sin∠OPQ，即2sin∠OPQcos∠OPQ，∴tan∠OPQ．∴tan2∠OPQ；故选：B．12、【解答】解：由{an}，{bn}均为等差数列，得7，所以当n＝1，2，3，5，11时，为整数，即当n＝1，2，3，5，11时，为整数，故选：D．二、填空题13、 【解答】解：等比数列{an}中，有a2a14＝8a8，可得a82＝8a8，解得a8＝8，数列{bn}是等差数列，设公差为d，其前n项和为Sn，由a8＝b8＝8，可得b1+7d＝8，则S15＝15b115×14d＝15（b1+7d）＝15×8＝120．14、【解答】解：∵a＝2，b＝4，cosC，∴c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+16﹣12＝8，即c＝2，sinC，∴由正弦定理得：sinB．故答案为：15、【解答】解：设β＝α，∴sinβ，sin2β＝2sinβcosβ，cos2β＝2cos2β﹣1，∴sin（2α）＝sin（2α）＝sin（2β）＝sin2βcoscos2βsin．故答案为：．16、【解答】4082．三、解答题17、【解答】解：在△ABD中，AB＝5（3）海里，∠ADB＝60°+45°＝105°，由正弦定理：，即，∴2BD，即BD＝5，连接CD，在△CBD中，BC＝15，BD＝5，∠CBD＝15°+45°＝60°，由余弦定理：CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BDcos60°＝（15）2+（5）2﹣2×155cos60°＝1350+150﹣450＝1050，∴CD＝5（海里），∴t（小时）．答：救援船到达D点需要的时间为小时．18、【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，结合均值不等式的结论：，当且仅当t＝2.5时等号成立．则 ，即t＝2.5时，y与最大值22．19、【解答】解：（Ⅰ）由，由正弦定理可得：sinCsinAsinC﹣sinCcosA；0＜C＜π，sinC≠0；可得：1sinA﹣cosA．即1＝2sin（A）．0＜A＜π，∴A．（Ⅱ）由a＝2，sin（B﹣C）+sinA＝sin2C，A．可得：sin（）sin2C．即（cos2C+1）sin2C，∴2cos2C＝2sinCcosC，可得cosC＝0或tanC．∵0＜C＜π，∴C＝90°或C＝60°．当C＝90°时，a＝2，A，b，△ABC 的面积S．当C＝60°时，a＝2，A，b＝2，△ABC 的面积SabsinC．故：△ABC 的面积为．20、【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a2a14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得d＝0（舍去），或d＝2．∴an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）已知，，n∈N*，当n＝1时，；当n≥2时，1（1）．∴，n∈N*．由（Ⅰ），知an＝2n﹣1，n∈N*，∴bn，n∈N*．又Tn，则Tn．两式相减，得Tn（），∴Tn＝3．21、【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin2（x）+2sin（x）cos（x）＝2sin（2x）＝sin（2x）cos（2x）＝2sin（2x）＝2sin（2x），∴由2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．（2）由f（A）1，A∈（0，π），得2sin（2A）1，可得：sin（2A），∵A∈（0，π），∴2A∈（，），可得2A，∴A；如图，在△ABC中，设BC中点为D，∠ADB＝α，则∠ADC＝π﹣α，则BC2＝AC2+AB2﹣2AB•ACcos，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcosα，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DCcos（π﹣α），又AD＝3，BD＝DC，联立以上各式求得：AB•AC．∴S△ABCAB•ACsin．22、【解答】解：①∵Sn（n+1）（an+1）﹣1，∴，∴an+1＝Sn+1﹣Sn，整理得，nan+1＝（n+1）an﹣1…（1）∴（n+1）an+2＝（n+2）an+1﹣1…（2）（2）﹣（1），得（n+1）an+2﹣nan+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，∴2（n+1）an+1＝（n+1）（an+2+an），∴2an+1＝an+2+an，∴数列{an}为等差数列．②由①，nan+1＝（n+1）an﹣1，得a2＝2a1﹣1＝5，又a1＝3，∴a2﹣a1＝2，即公差为2，an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；③∵（），∴，又当n∈N*时，，要使得Tn≤M对一切正整数n恒成立，只要M，∴存在实数M使得Tn≤M对一切正整数n都成立，M的最小值为．