2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

[选题明细表]

1.已知直线y=x+m与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切,则m的值为(　A　)

A.3或-1    B.1或-3

C.0或4   D.-4或0

解析:圆(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为(2,3),半径为 ,由题意知点(2,3)到直线x-y+m=0的距离为d==,整理得|m-1|=2,解得m=3或m=-1.

2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于(　B　)

A.-8    B.-19    C.-5    D.6

解析:由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=,r2=,

|C1C2|==3,根据两圆内切得|C1C2|=-=3,

解得m=-19.

3.(2022·江西新余二模)已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:x2+y2=4有且仅有两条公切线,则正数a的取值范围为(　C　)

A.(0,1) B.(0,3)

C.(1,3) D.(3,+∞)

解析:圆O1与圆O2有且仅有两条公切线,

所以两个圆相交,圆O1的圆心为(a,0),半径为1,

所以1<<3,又a>0,解得a∈(1,3).

4.(2022·江西南昌三模)若直线x-y+a=0与圆x2+y2=4相交于A,B

两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则|a|等于(　B　)

A.1    B.    C.2    D.2

解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则在等腰△AOB中,

易求|AB|=2,所以圆心到直线的距离为=1,则=1,

即|a|=.

5.(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　B　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.

设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,

因为(1-3)2+22<9,

所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|==2,

所以|BD|min=2=2=2,即弦的长度的最小值为2.

6.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为(　D　)

A.5    B.2    C.2    D.2

解析:由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,

可得两圆公共弦的方程为2x-6y=4-R2,

又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=3,

两圆的公共弦的弦长为6,

则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,

则有2×0-6×4=4-R2,

解得R2=28,

则圆D的半径为2.

7.直线l与圆x2+y2+kx+2y+4=0相交于M,N两点,且直线l过圆心,

若点M,N关于直线x-y+1=0对称,则直线l的方程是　        .

解析:由题知直线x-y+1=0过圆心(-,-1),即-+1+1=0,所以k=4.

因此圆心坐标是(-2,-1),由于直线l与x-y+1=0垂直,因此直线l的斜率为k=-1,故直线l的方程是y+1=-(x+2),即x+y+3=0.

答案:x+y+3=0

8.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　     .

解析:法一　由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为

A′(-2,2a-3),

所以kA′B=,

所以直线A′B的方程为y=x+a,

即(3-a)x-2y+2a=0.

由题意知,直线A′B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,

易知圆心为(-3,-2),

半径为1,所以≤1,

整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是[,].

法二　易知(x+3)2+(y+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,

由题意知该对称圆与直线AB有公共点.

直线AB的方程为y=x+a,

即(a-3)x-2y+2a=0,

又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,

所以≤1,

整理得6a2-11a+3≤0,

解得≤a≤,

所以实数a的取值范围是[,].

答案:[,]

9.(2022·天津一模)已知圆M与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆M的标准方程为　　　　　　. 

解析:圆C:x2+y2+10x+10y=0,即(x+5)2+(y+5)2=50,故圆心C(-5,-5).根据两圆相切于原点,所求的圆的圆心为M,可得M,O,C共线,故圆心M在直线y=x上,设所求的圆的圆心为M(a,a),又所求的圆过点A(0,-6),故圆心M还在直线y=-3上,故M(-3,-3),半径为|AM|=3,故所求的圆的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.

答案:(x+3)2+(y+3)2=18

10.若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是(　C　)

A.(1,3)            B.[1,3]

C.(-3,-1)∪(1,3)   D.[-3,-1]∪[1,3]

解析:由到原点的距离为1的点的轨迹为圆C1:x2+y2=1,

因此,圆C:x2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离均为1,

转化为圆C1:x2+y2=1与圆C:x2+(y-a)2=4有两个交点,因为两圆的圆心和半径分别为C1(0,0),r1=1,C(0,a),r=2,

所以r-r1<|C1C|<r1+r,

所以1<|a|<3,

解得实数a的取值范围是(-3,-1)∪(1,3).

11.已知☉P经过点(4,0),半径为1.若直线kx-y+k=0是☉P的一条对称轴,则k的最大值为(　D　)

A.0 B.

C. D.

解析:设圆心P的坐标为(a,b),

因为☉P经过点(4,0),半径为1,

故点(a,b)在圆(x-4)2+y2=1上.

又直线kx-y+k=0是☉P的一条对称轴,所以点(a,b)在直线kx-y+k=0上.所以圆(x-4)2+y2=1与直线kx-y+k=0有交点,所以≤1,所以k2≤,所以-≤k≤,所以k的最大值为.

12.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(　B　)

A.    B.2    C.2    D.2

解析:因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,

当点P与圆心的距离最小时,切线长PC,PD最小,此时四边形OCPD的面积最小,

圆心到直线3x+4y=15的距离d==3,

所以|PC|=|PD|==2,

所以四边形OCPD的面积S=2×|PC|r=2.

13.(多选题)(2022·江苏江阴高三检测)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　BD　)

A.直线AB的方程为y=2x+2

B.两圆有两条公切线

C.线段AB的长为

D.圆O上一动点E,圆M上一动点F,则|EF|的最大值为 +3

解析:圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,

即y=2x+4,故A错误;因为两圆相交于A,B两点,所以两圆有两条公切线,

故B正确;

圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2,

则圆心O到直线AB的距离d==,故AB=2=,故C错误;

圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1),半径为1,圆O上点E,圆M上点F,

则|EF|的最大值为|MO|+1+2=+3,故D正确.

14.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　　　. 

解析:法一　如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,

圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称,易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由

得由对称性可知公切线l2过点(-1,-),设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-

(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.

法二　根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.

答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)

15.已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx-2.

(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;

(2)若k=,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC,PD,切点为C,D,探究:直线CD是否过定点.

解:(1)因为直线l与圆O相交,

所以圆心O到直线l的距离d=<,

解得k>1或k<-1.

又θ=∠AOB为锐角,

所以cos >,即>,解得-<k<.综上,

k的取值范围为(-,-1)∪(1,). 

(2)由题意知O,P,C,D四点均在以OP为直径的圆上.设P(t,t-2),以OP为直径的圆的方程为x(x-t)+y(y-t+2)=0,即x2-tx+y2-(t-2)y=0,又C,D在圆O:x2+y2=2上,两圆的方程作差得lCD:tx+(t-2)y-2=0,

即(x+)t-2y-2=0,由得

所以直线CD过定点(,-1).