2024高考数学一轮总复习（导与练）第四章第3节　三角恒等变换

第3节　三角恒等变换

[选题明细表]

1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°等于(　B　)

A.1 B.    C.  D.-

解析:sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+

(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=.

2.已知α,β为锐角,tan α=,则cos 2α等于(　B　)

A. B.-  C.   D.-

解析:因为tan α==,

所以sin α=cos α,

因为sin2α+cos2α=1,

所以cos2α=,

所以cos 2α=2cos2α-1=-.

3.tan 18°+tan 12°+tan 18°tan 12°等于(　D　)

A.   B. C.  D.

解析:因为tan 30°=tan(18°+12°)==,

所以tan 18°+tan 12°=(1-tan 18°tan 12°),所以原式=.

4.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β等于(　C　)

A.    B.或

C.      D.2kπ+(k∈Z)

解析:由sin α=,cos β=,

且α,β为锐角,可知cos α=,sin β=,

故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,

又0<α+β<π,故α+β=.

5.等于(　B　)

A.1 B.    C.    D.

解析:====.

6.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+

)sin β,则(　C　)

A.tan(α-β)=1  B.tan(α+β)=1

C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1

解析:由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-

sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,

整理得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=0,

即sin (α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.

7.(多选题)下列四个选项中,化简正确的是(　BCD　)

A.cos(-15°)=

B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=0

C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=

D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=

解析:对于A,原式=cos(30°-45°)=cos 30°·cos 45°+

sin 30°sin 45°=×+×=,A错误;

对于B,原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0,B正确;

对于C,原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,

C正确;

对于D,原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=

cos 60°=,D正确.

8.(2022·北京卷)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,

则A=　　 　;f()=　　　. 

解析:依题意,得f()=A·-×=0,

解得A=1,

所以f(x)=sin x-cos x=2sin(x-),

所以f()=2sin(-)=-.

答案:1　-

9.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是(　A　)

A.    B.

C.或 D.或

解析:因为α∈[,π],所以2α∈[,2π],

因为sin 2α=>0,所以2α∈[,π],

所以α∈[,],且cos 2α=-.

又因为sin(β-α)=,β∈[π,],

所以β-α∈[,],所以cos(β-α)=-,

所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]

=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α

=(-)×(-)-×=,

又因为α+β∈[,2π],所以α+β=.

10.已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ等于(　D　)

A.或 B.或

C.或 D.或

解析:因为3π≤θ≤4π,所以≤≤2π.

因为cos θ=2cos2 -1=1-2sin2 ,

所以+

=|cos |+|sin |

=cos -sin

=cos(+)=,

所以cos(+)=.

因为≤≤2π,所以≤+≤,

所以+=或+=,

所以θ=或.

11.若α,β均为锐角且cos α=,cos(α+β)=-,则sin(+2β)=

　　　　      . 

解析:因为α,β均为锐角且cos α=,

cos(α+β)=-,

所以sin α===,

sin(α+β)===,

所以cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=

(-)×+×=,

所以sin(+2β)=-cos 2β=1-2cos2β=1-2×()2=.

答案:

12.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为　　　　. 

解析:由sin αcos β-cos αsin β=1,得sin(α-β)=1,又α,

β∈[0,π],所以-π≤α-β≤π,所以α-β=,

所以即≤α≤π,

所以sin(2α-β)+sin(α-2β)

=sin(2α-α+)+sin(α-2α+π)

=cos α+sin α

=sin(α+).

因为≤α≤π,所以≤α+≤,

所以-1≤sin(α+)≤1,

即sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为[-1,1].

答案:[-1,1]

13.已知向量a=(cos +sin ,2sin ),b=(cos -sin ,cos ),函数f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合;

(2)若α,β为锐角,cos(α+β)=,f(β)=,求f(α+)的值.

解:(1)f(x)=cos2-sin2 +2sincos =cos x+sin x=2sin(x+),

令x+=+2kπ(k∈Z),

得x=+2kπ,k∈Z,

所以f(x)的最大值为2,此时x的取值集合为{x|x=+2kπ,k∈Z}.

(2)由α,β为锐角,cos(α+β)=,

得sin(α+β)=,

因为0<β<,所以<β+<,

又f(β)=2sin(β+)=,

所以sin(β+)=∈(,),

所以<β+<,

所以cos(β+)=,

所以cos(α-)=cos[(α+β)-(β+)]

=cos(α+β)cos(β+)+sin(α+β)sin(β+)=,

所以f(α+)=2sin(α+)

=2sin(+α-)

=2cos(α-)=.

14.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为(,-),∠AOC=α.若|BC|=1,则 cos2-sincos-的值为　　　　. 

解析:由题意,得|OB|=|OC|=|BC|=1,

从而△OBC为等边三角形,

所以sin∠AOB=sin(-α)=,

所以cos2-sincos-

=·--

=-sin α+cos α

=-sin(α-)=sin(-α)=.

答案: