2024高考数学一轮总复习（导与练）第四章 第4节　三角函数的图象与性质

第4节　三角函数的图象与性质

[选题明细表]

1.函数y=|2sin x|的最小正周期为(　A　)

A.π B.2π 

C.  D.

解析:作出函数y=|2sin x|的大致图象,由图象知T=π.

2.函数y=lg(tan 2x)的定义域是(　D　)

A.(kπ,kπ+)(k∈Z)

B.(2kπ,2kπ+)(k∈Z)

C.(kπ,kπ+)(k∈Z)

D.(kπ,kπ+)(k∈Z)

解析:由函数y=lg(tan 2x)有意义得tan 2x>0,所以kπ<2x<kπ+,

k∈Z,所以<x<+,k∈Z,所以函数y=lg(tan 2x)的定义域是(,+)(k∈Z).

3.函数y=-sin 的单调递减区间是(　C　)

A.[kπ-,kπ+](k∈Z)

B.[kπ+,kπ+](k∈Z)

C.[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)

D.[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)

解析:求函数y=-sin 的单调递减区间,

即求函数y=sin 的单调递增区间.

由-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),

可得4kπ-π≤x≤4kπ+π(k∈Z).

4.若0<α<β<,a=sin(α+),b=sin(β+),则(　A　)

A.a<b  B.a>b

C.ab<1 D.ab>

解析:因为0<α<β<,

所以<α+<β+<,

而正弦函数y=sin x在[0,]上为增函数,

所以sin(α+)<sin(β+),即a<b.

5.函数f(x)=sin2x+cos x(x∈[0,])的最大值为(　B　)

A.1 B.  C.  D.2

解析:因为f(x)=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+1=-(cos x-)2+,

由x∈[0,]得cos x∈[0,1],所以当cos x=时,f(x)max=.

6.已知α∈[0,],则y=sin α-cos α+sin αcos α的最大值为　　　　. 

解析:令t=sin α-cos α=sin(α-),

则由α∈[0,]知-≤α-≤,

故-1≤t≤1.

由t=sin α-cos α知,sin αcos α=(1-t2),

因此y=t+(1-t2)=-(t2-2t-1).

由函数y在区间[-1,1]上是增函数知t=1时,函数有最大值1.

答案:1

7.若是函数f(x)=sin(ωx-)(x∈R)的一个零点,且0<ω<10,则函数f(x)的最小正周期为　　　　. 

解析:依题意知f()=sin(-)=0,

即-=kπ,k∈Z,

整理得ω=8k+2,k∈Z.

又因为0<ω<10,所以0<8k+2<10,

得-<k<1.而k∈Z,所以k=0,ω=2,

所以f(x)=sin(2x-),最小正周期为π.

答案:π

8.当=　　　　时,函数f(x)=2sin(2x+)在区间[,]上单调(写出一个值即可). 

解析:因为x∈[,],

所以2x+∈[+,+].

得k∈Z,

k∈Z,即=-+kπ,k∈Z,

取k=1,得=.

答案:(答案不唯一)

9.请写出一个函数f(x)=　　　　,使之同时具有如下性质: 

①∀x∈R,f(x)=f(4-x),

②∀x∈R,f(x+4)=f(x).

解析:f(x)关于直线x=2对称,周期为4,可取f(x)=cosx.

答案:cosx(答案不唯一)

10.(多选题)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列叙述正确的是(　AC　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在区间(,π)上单调递增

C.f(x)的最大值为2

D.f(x)在[-π,π]上有4个零点

解析:f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),

f(x)是偶函数,A正确;

当x∈(,π)时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,单调递减,B错误;

f(x)=sin|x|+|sin x|≤1+1=2,

且f()=2,C正确;

在[-π,π]上,当-π<x<0时,

f(x)=sin(-x)+(-sin x)=-2sin x>0,

当0<x<π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x>0,

f(x)的零点有π,0,-π,共3个,D错误.

11.(多选题)对于函数f(x)=

下列说法正确的是(　ACD　)

A.f(x)是以2π为最小正周期的周期函数

B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值1

C.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最小值-

D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0

解析:函数y=f(x)的图象如图中的实线部分所示.

由图象知选项A,C,D正确.

12.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是,则ω=

　　　　,若f(x)在[0,]上为增函数,则ω的取值范围是　　　　.

解析:因为0≤x≤,且0<ω<1,

所以0≤ωx≤<.

因为f(x)max=2sin =,

所以sin =,=,

则ω=.

由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,

得-≤x≤+,k∈Z,

令k=0,得-≤x≤,

即f(x)在[-,]上为增函数,

又f(x)在[0,]上为增函数,

所以≤,

即0<ω≤.

又0<ω<1,

所以0<ω<1.

答案:　(0,1)

13.已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0,||<)的最小正周期为4π,且∀x∈R有f(x)≤f()成立,则f(x)图象的对称中心是　　　　　　,对称轴方程是　　　　　. 

解析:由f(x)=cos(ωx+)的最小正周期为4π,得ω=,

因为f(x)≤f()恒成立,所以f(x)max=f(),

即×+=2kπ(k∈Z),

又因为||<,所以=-,

故f(x)=cos(x-),

令x-=+kπ(k∈Z),

得x=+2kπ(k∈Z),

故f(x)图象的对称中心为(2kπ+,0),k∈Z.

令x-=kπ(k∈Z),

得x=2kπ+(k∈Z),

故f(x)图象的对称轴方程是x=2kπ+,k∈Z.

答案:(2kπ+,0),k∈Z　x=2kπ+,k∈Z

14.已知函数f(x)=2sin(2x+)+a+1.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;

(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1,且x∈[-π,π]的x的取值集合.

解:(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

(2)因为当x=时,f(x)取得最大值4,

即f()=2sin+a+1=a+3=4,解得a=1.

(3)由f(x)=2sin(2x+)+2=1,

可得sin(2x+)=-,

则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,

即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,

又x∈[-π,π],

可解得x=-,-,,,

所以x的取值集合为{-,-,,}.

15.已知函数f(x)=a(2cos2+sin x)+b.

(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.

解:f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin(x+)+a+b.

(1)当a=-1时,f(x)=-sin(x+)+b-1,

由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),

得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).

(2)因为0≤x≤π,

所以≤x+≤,

所以-≤sin(x+)≤1.

依题意知a≠0,

①当a>0时,

所以a=3-3,b=5;

②当a<0时,

所以a=3-3,b=8.

综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.

16.函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值与最小值之和等于(　C　)

A. B. C.2π  D.4π

解析:如图,当x∈[a1,b]时,值域为[-1,],且b-a最大;

当x∈[a2,b]时,值域为[-1,],且b-a最小,

所以b-a的最大值与最小值之和为(b-a1)+(b-a2)=2b-(a1+a2)=2×-

(--)=2π.