2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 培优课(一)　抽象函数的性质

这是一份2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 培优课(一)　抽象函数的性质，共4页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。
培优课(一)　抽象函数的性质1.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为(　C　)A.(-2,0)    B.(-2,2)C.(0,2)    D.(-,0)解析:由题意得所以所以0<x<2,所以函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为(0,2).2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2 022)等于(　B　)A.-3 B.0 C.1 D.3解析:用-x替代x,得到f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以T=6,所以f(2 022)=f(337×6)=f(0).因为f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,所以f(2 022)=0.3.函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x-2)的图象关于直线x=2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≥1的x的取值范围是(　D　)A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[0,4]解析:因为y=f(x-2)的图象向左平移2个单位长度可得到y=f(x)的图象,所以由f(x-2)的图象关于直线x=2对称可知y=f(x)的图象关于y轴对称,为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(-2)=f(2)=1,所以f(x-2)≥1只需-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4.4.已知函数y=f(x-2)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,且f(0)-f(6)=4,则f(2 022)=　　　　. 解析:根据题意,函数y=f(x-2)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,则有f(-4+x)=-f(-x),因为y=f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则有f(x+2)=f(-x),故有f(x+2)=-f(x-4),即f(x+6)=-f(x),变形可得f(x+12)=-f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为12的周期函数,f(0)-f(6)=4,变形有-2f(6)=4,则有f(6)=-2,f(2 022)=f(6+168×12)=f(6)=-2.答案:-25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为　　 　　. 解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),因为f(x+4)=f(x)+f(2),令x=-2,可得f(2)=f(-2)+f(2),则f(-2)=0,则f(-2)=f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(10)=f(6)=f(2)=0,因为f(1)=4,所以f(3)=f(-1)=f(1)=4,则f(3)+f(10)=4+0=4.答案:46.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y);②对任意x∈[0,1),f(x)>0.(1)求f(0);(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(3)若f(1)=0,直接写出f(x)的所有零点(不需要证明).解:(1)令x=0,y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),可得f(0)[f(0)-1]=0,因为对任意x∈[0,1),f(x)>0,所以f(0)=1.(2)f(x)是偶函数,证明如下:令x=0,y为任意实数,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数.(3)若f(1)=0,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=0,即f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又f(-1)=f(1)=0,所以f(x)的所有零点为2n+1,n∈Z.