2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第2节　函数的单调性与最值

第2节　函数的单调性与最值

 [选题明细表]

1.(2023·吉林模拟)下列函数在其定义域上单调递增的是(　A　)

A.y=2x-2-x    B.y=x-3

C.y=tan x D.y=lox

解析:对于A,y=2x-2-x,其定义域为R,导数y′=(2x+2-x)ln 2,则y′=

(2x+2-x)ln 2>0,则该函数在其定义域上为增函数,符合题意;对于B,y=x-3,为幂函数,在其定义域上不是单调函数,不符合题意;对于C,y=tan x,是正切函数,在其定义域上不是单调函数,不符合题意;对于D,y=lox,是对数函数,在其定义域上为减函数,不符合题意.

2.函数y=的单调递减区间为(　D　)

A.(-∞,-] B.[-,+∞)

C.[0,+∞) D.(-∞,-3]

解析:由题意,x2+3x≥0,可得x≤-3或x≥0,函数y=的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞).令t=x2+3x,则外层函数y= 在[0,+∞)上单调递增,内层函数t=x2+3x在(-∞,-3]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=的单调递减区间为(-∞,-3].

3.若函数f()=-+1,则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为(　D　)

A.-1 B.-2 

C.-3 D.-4

解析:由f()=-+1可得,f(1-)=1-+=(1-)2,

所以f(x)=x2(x≠1).

所以g(x)=x2-4x=(x-2)2-4,当x=2时,g(x)取得最小值,

且最小值为-4.

4.(2022·黑龙江大庆月考)已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(1-3x),则x的取值范围是(　A　)

A.[0,) B.(0,)

C.(,1] D.(1,+∞)

解析:由题意,函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,因为f(x-1)<

f(1-3x),

可得解得0≤x<,所以x的取值范围是[0,).

5.已知函数f(x)=若a=50.01,b=log32,c=log20.9,则有(　A　)

A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c)

C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(c)>f(a)>f(b)

解析:f(x)=ex-e-x在(0,+∞)上单调递增,且此时f(x)>0.f(x)=-x2在(-∞,0]上单调递增,

所以f(x)在R上单调递增.

c=log20.9<0,又b=log32,

所以0<b<1,a=50.01>1,

即a>b>c,

所以f(a)>f(b)>f(c).

6.已知函数f(x)=若f(x)存在最小值,则实数a的取值范围是(　A　)

A.a≤-1 B.-1≤a<0

C.a≤- D.-≤a<0

解析:当x≥a时,f(x)=2x,f(x)单调递增,函数有最小值2a,x<a时,

f(x)=-x,f(x)单调递减,函数无最小值.由2x=-x,得2x+x=0,令g(x)=2x+x,该函数为增函数,

又g(-1)=2-1-=0,可得2x=-x有唯一根x=-1,所以若f(x)存在最小值,

则实数a的取值范围是a≤-1.

7.函数f(x)满足f(-x)-f(x+2)=0,且在(-∞,0)上单调递增,请写出一个符合条件的函数f(x)=　　　　　　　　. 

解析:因为f(-x)-f(x+2)=0,

所以f(2-x)=f(x),即函数的图象关于x=1对称,因为函数f(x)在

(-∞,0)上单调递增,则符合条件的一个函数解析式为f(x)=-x2+2x-1答案不唯一)

答案:-x2+2x-1(答案不唯一)

8.函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为　　　　　　,单调递减区间为　　　　　　. 

解析:由于y=

即y=

画出函数的图象如图所示,

单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为(-1,0)和

(1,+∞).

答案:(-∞,-1]和[0,1]　(-1,0)和(1,+∞)

9.函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:设t=x2-ax+3a,则y=lot在定义域上为减函数,则若f(x)在区间[2,+∞)上是减函数,则满足t=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上是增函数且t>0恒成立,即

得得-4<a≤4,即实数a的取值范围是(-4,4],

答案:(-4,4]

10.(多选题)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　BC　)

A.f(x)在R上为增函数

B.f(e)>f(2)

C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0

D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]

解析:易知f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增,A错误,B正确;

若f(x)在(a,a+1)上单调递增,

则a≥0或a+1≤0,

即a≤-1或a≥0,故C正确;

当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],

当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],

故x∈[-1,1]时,f(x)∈(-∞,2],

故D不正确.

11.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是(　A　)

A.[,+∞)

B.(-∞,]∪[3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,)∪(,+∞)

解析:因为∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)max,因为f(x)=x+在[,1]上单调递减,所以f(x)max=f()=;因为g(x)=2x+a在[2,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=8+a,所以8+a≥,解得a≥,即实数a的取值范围为[,+∞).

12.(多选题)(2022·山东威海高三期中)函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=,则下列命题正确的是(　BCD　)

A.f(x)是R上的减函数

B.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2

C.f(-x)=-f(x)

D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[0,+∞)

解析:取x=0,y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.

令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),C正确;

令x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,因为当x<0时,f(x)<0,

所以f(x1-x2)<0,

则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)是R上的增函数,A错误;

因为函数f(x)是R上的增函数,

所以函数f(x)在[-6,6]上的最小值为f(-6),

f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3),f(-3)=-f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+

f(1)+f(1)=3×=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在[-6,6]上的最小值为-2,B正确;

f(x)+f(x-3)≥-1,即f(2x-3)≥f(-3),因为函数f(x)是R上的增

函数,

所以2x-3≥-3,解得x≥0,所以实数x的取值范围为[0,+∞),D正确.

13.已知函数若f(0)是函数f(x)的最小值,则实数a的取值范围为　　   　　. 

解析:当x≤0时,若a<0,由二次函数的性质可得f(0)不是f(x)的最小值,当a≥0,f(0)=a2为f(x)在(-∞,0]上的最小值.

当x>0时,f(x)=x++a≥2+a=2+a,当且仅当x=1时,等号成立,

所以a2≤a+2,解得-1≤a≤2,所以0≤a≤2.

所以实数a的取值范围是[0,2].

答案:[0,2]

14.(2022·重庆高一联考)已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1,其中x∈R.则f(x)-的最小值为　　　　. 

解析:由2f(x)-f(-x)=x2-3x+1可知2f(-x)-f(x)=x2+3x+1,与已知联立可解得f(x)=x2-x+1=(x-)2+≥,

令t=f(x),则g(t)=t-,t≥.

易知函数g(t)在[,+∞)上单调递增,

所以g(t)min=g()=-,

即所求最小值为-.

答案:-

15.已知定义在R上的函数f(x)为增函数,当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是(　D　)

A.(-∞,0)  B.(0,)

C.(,1)     D.(1,+∞)

解析:若f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1),

则f(x1)-f(x2)>f(1)-f(0).

又由x1+x2=1,

则有f(x1)-f(1-x1)>f(1)-f(0).①

令g(x)=f(x)-f(1-x),又f(x)为增函数,

所以g(x)为增函数,①式即g(x1)>g(1),

所以x1>1.

16.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x>1时恒有f(x)<2,则下列结论正确的是(　A　)

A.f(x)在(0,+∞)上是减函数　

B.f(x)在(0,+∞)上是增函数

C.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数

D.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数

解析:设任意0<x1<x2,则>1,

f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()-2<0,

即f(x2)<f(x1),所以函数为减函数.