2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节　函数的奇偶性与周期性

 [选题明细表]

1.(多选题)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(　AC　)

A.y=x2       B.y=|x-1|

C.y=|x|-1 D.y=2x

解析:选项A,C中的函数为偶函数且在(0,+∞)上单调递增;选项B,D中的函数均为非奇非偶函数.

2.已知函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-1,则f(-2)等于(　D　)

A.1 B.- 

C.3 D.-3

解析:根据题意,当x≥0时,f(x)=2x-1,

则f(2)=22-1=3,

又由f(x)为奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.

3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,

f(x)=16x,则f(-)+f(1)等于(　B　)

A.-8 B.-4 

C.12 D.20

解析:函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,

可得f(-1)=f(1)=-f(1),

则f(1)=0;

当0<x<1时,f(x)=16x,

则f(-)=f(2-)=f(-)=-f()=-1=-4,

所以f(-)+f(1)=-4.

4.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　B　)

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

解析:选项A,因为函数f(x)=,所以f(x-1)-1=-1=-1=-2,当x=1,-1时,函数f(x-1)-1的值分别为0,-4,据此,结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性;

选项B,因为函数f(x)=,所以f(x-1)+1=+1=+1=,据此,结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数;

选项C,因为函数f(x)=,所以f(x+1)-1=-1=--1=-,当x=1,-1时,函数f(x+1)-1的值分别为-,0,据此,结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性;

选项D,因为函数f(x)=,所以f(x+1)+1=+1=-+1=,当x=1,-1时,函数f(x+1)+1的值分别为,2,据此,结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性.

5.已知函数f(x)=,则函数f(x)(　C　)

A.既是奇函数也是偶函数

B.既不是奇函数也不是偶函数

C.是奇函数,但不是偶函数

D.是偶函数,但不是奇函数

解析:由9-x2≥0且|6-x|-6≠0,

解得-3≤x≤3且x≠0,

可得函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤3且x≠0},

关于原点对称,所以f(x)===,

又f(-x)==-=-f(x),

所以f(x)是奇函数,但不是偶函数.

6.(多选题)已知f(x)为R上的偶函数,且f(x+2)是奇函数,则(　AD　)

A.f(x)的图象关于点(2,0)对称

B.f(x)的图象关于直线x=2对称

C.f(x)的周期为4

D.f(x)的周期为8

解析:因为f(x)为偶函数,

所以f(x)的图象关于y轴对称,f(-x)=f(x),

又因为f(x+2)是奇函数,

所以f(-x+2)=-f(x+2),

所以f(x-2)+f(x+2)=0,

所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),

所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,f(x)为周期函数且周期为8.

7.已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 021)=　　　　. 

解析:由题意知f(2 021)=f(3×674-1)=f(-1),而f(-1)=2f(10)+3,

所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,则3f(-1)=3,

所以f(-1)=1,故f(2 021)=1.

答案:1

8.已知函数f(x),对∀x∈R满足f(1-x)=f(1+x),f(x+2)=-f(x),且f(0)=1,则f(26)=　　　　. 

解析:因为f(x+2)=-f(x),

所以f(x)的周期为4,所以f(26)=f(2).

因为对∀x∈R有f(1-x)=f(1+x),

所以f(x)的图象关于直线x=1对称,

所以f(2)=f(0)=1,即f(26)=1.

答案:1

9.已知定义在R上的函数y=f(x+1)是偶函数,且在(1,+∞)上单调递增,则满足f(2x)>f(x+2)的x的取值范围为　　　　. 

解析:由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上单调递增,又f(2x)>f(x+2),所以|2x-1|>|x+2-1|,平方并化简,得x2>2x,解得x>2或x<0.

答案:(-∞,0)∪(2,+∞)

10.(多选题)已知函数f(x)为R上的奇函数,g(x)=f(x+1)为偶函数,下列说法正确的有(　ABD　)

A.f(x)图象关于直线x=-1对称

B.g(2 023)=0

C.g(x)的最小正周期为4

D.对任意x∈R都有f(2-x)=f(x)

解析:因为函数f(x)为R上的奇函数,g(x)=f(x+1)为偶函数,

所以函数f(x)的图象关于原点对称,关于直线x=1对称,

即f(2-x)=f(x),D正确.

又f(2+x)=f(-x)=-f(x),

所以f(4+x)=f(x),即f(x)的最小正周期T=4,但不能说明g(x)的最小正周期为4,C错误;

因为f(-2-x)=f(2-x)=f(x),

所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,A正确;

所以f(-2)=f(2)=-f(2),

所以f(2)=0,

所以g(2 023)=f(2 022)=f(2)=0,B正确.

11.(2023·湖南质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=

-f(x),且在区间[1,2]上单调递减,令a=ln 2,b=(),c=lo2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是(　C　)

A.f(b)<f(c)<f(a)

B.f(a)<f(c)<f(b)

C.f(c)<f(b)<f(a)

D.f(c)<f(a)<f(b)

解析:依题意,定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(x+2)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(0)=0.

又f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(1)>0.

由0<a=ln 2<1,

得f(a)>f(0)=0,

b=()==2,

则f(b)=f(2)=f(0)=0,

c=lo2=-1,

则f(c)=f(-1)=-f(1)<0,

所以f(c)<f(b)<f(a).

12.(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,

f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()等于(　D　)

A.- B.- 

C.    D.

解析:由于f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(1)+f(2-1)=0,得f(1)=0,即a+b=0,①

由于f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,即有f(x)-f(4-x)=0,所以f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6,②

根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点(1,0)对称,可得函数f(x)的周期为4,所以f()=f()=-f()=2×()2-2=.

13.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,则(　A　)

A.f(x+3)是偶函数 B.f(x)=f(x+3)

C.f(3)=0          D.f(0)=0

解析:由题意,f(x+1)是奇函数,

则有f(x+1)=-f(-x+1),

又由f(x-1)是偶函数,

则有f(x-1)=f(-x-1),

故f(x+1)=f(-x-3),变形可得-f(-x+1)=f(-x-3),

则有f(x)+f(x+4)=0,

进而可得f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 

即函数f(x)是周期为8的周期函数,

由此分析选项:

对于A,由于f(x)+f(x+4)=0,则有f(x+5)=-f(x+1)=f(-x+1),

即f(x+3)=f(-x+3),即f(x+3)是偶函数,A正确.

对于B,函数f(x)是周期为8的周期函数,B错误;

对于C,由于f(x)+f(x+4)=0,则f(3)=-f(-1),不能得到f(3)的值,

C错误;

对于D,f(0)=f(-2)=-f(2)=-f(4),不能得到f(0)的值,D错误.

14.设f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,满足>0,若f(2)=4,则不等式f(x)->0的解集为　　　　. 

解析:令F(x)=xf(x),由f(x)是定义在R上的奇函数,可得F(x)是定义在R上的偶函数,由对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,满足>0,可得F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(2)=4,可得F(2)=8,所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,且F(-2)=8,不等式f(x)->0,即为>0,即>0,可得或即或解得x>2或-2<x<0.

答案:(-2,0)∪(2,+∞)

15.函数y=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,

[2.1]=2.对于函数f(x)=|x-[x]|,有下列说法:①f(x)的值域为[0,1);②f(x)是以1为周期的周期函数;③f(x)是偶函数;④f(x)在区间[1,2)上是单调递增函数.其中,正确的命题序号为　　　　. 

解析:当x∈[n,n+1)时,[x]=n,f(x)=|x-n|=x-n,所以f(x)∈[0,1),故①④正确;当x∈[n,n+1)时,则x+1∈[n+1,n+2),[x+1]=n+1,

f(x+1)=|x+1-[x+1]|=|x+1-(n+1)|=|x-n|=f(x),故②正确;f(-)=

|--[-]|=,f()=|-[]|=,所以③错误.

答案:①②④