2024高考数学一轮总复习（导与练）第一章 第2节（常用逻辑用语）课时作业

第2节　常用逻辑用语

 [选题明细表]

1.命题p:“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　C　)

A.有些三角形不是等腰三角形

B.有些三角形可能是等腰三角形

C.所有三角形不是等腰三角形

D.所有三角形是等腰三角形

解析:命题p:“∃x∈A,使P(x)成立”,

﹁p为“对∀x∈A,有P(x)不成立”.

故命题p:“有些三角形是等腰三角形”,

则﹁p是“所有三角形不是等腰三角形”.

2.已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则a=-1是|z|=1的(　A　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由|z|=1,可得=1,解得a=-1或0,

所以a=-1是|z|=1的充分不必要条件.

3.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是(　D　)

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2

解析:∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2”.

4.(多选题)下列命题是真命题的有(　ABD　)

A.∃x∈R,log2x=0

B.∃x∈R,cos x=1

C.∀x∈R,x2>0

D.∀x∈R,2x>0

解析:因为log21=0,cos 0=1,所以选项A,B均为真命题;02=0,选项C为假命题;2x>0,选项D为真命题.

5.(2023·山东青岛模拟)“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是(　D　)

A.-1<x<-   B.x>0

C.-1<x<0   D.x<0

解析:ln(x+1)<0等价于0<x+1<1,即-1<x<0,因为-1<x<0可以推出x<0,而x<0不能推出-1<x<0,所以x<0是-1<x<0的必要不充分条件,所以“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”.

6.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则(　B　)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析:当a1<0,q>1时,an=a1qn-1<0,此时数列{Sn}递减,所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时,有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,若a1>0,则qn>0

(n∈N*),即q>0;若a1<0,则qn<0(n∈N*),不存在.所以甲是乙的必要

条件.

7.命题“∃x∈(1,+∞),x2+x≤2”的否定为　          . 

答案:∀x∈(1,+∞),x2+x>2

8.(2023·湖南衡阳模拟)使得“2x>4x”成立的一个充分条件是　　　.

解析:由于4x=,故2x>等价于x>2x,解得x<0,

使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可.

答案:x<-1(答案不唯一)

9.若x,y∈R,则x2>y2是>1成立的　　　　条件. 

解析:由于>1⇔>0⇔y(x-y)>0⇔或所以x2>y2,反之不成立,例如x=2,y=-1,满足x2>y2,而>1不成立,所以x2>y2是>1成立的必要不充分条件.

答案:必要不充分

10.已知命题p:“∀x∈[1,+∞),x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+

2-a=0”,若命题p,q均为真命题,则实数a的取值范围为　    .

解析:由命题p为真命题,得∀x∈[1,+∞),x2≥a恒成立,(x2)min=1,得

a≤1;

由命题q为真命题,知Δ=4a2-4(2-a)≥0成立,得a≤-2或a≥1,

所以实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.

答案:{a|a≤-2或a=1}

11.(多选题)(2022·江苏南京调研)下列说法正确的是(　BC　)

A.“ac=bc”是“a=b”的充分不必要条件

B.“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件

C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B

D.“a>b>0”是“an>bn(n∈N,n≥2)”的充要条件

解析:A项,ac=bc不能推出a=b,比如a=1,b=2,c=0,而a=b可以推出ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件,故错误;

B项,>不能推出a<b,比如>-,但是2>-3;a<b不能推出>,比如-2<3,-<,所以“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件,故正确;

C项,因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以x∈A可以推出x∈B,即A⊆B,故正确;

D项,an>bn(n∈N,n≥2)不能推出a>b>0,比如a=1,b=0,1n>0n(n∈N,

n≥2)满足,但是a>b>0不满足,所以必要性不满足,故错误.

12.(2022·浙江杭州月考)已知命题p:x2-3x+2≤0,命题q:x2-4x+4-

m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(　D　)

A.(-∞,0] B.[1,+∞)

C.{0}       D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:由x2-3x+2≤0,得1≤x≤2,

由x2-4x+4-m2≤0,得2-|m|≤x≤2+|m|,

若p是q的充分不必要条件,则或解得|m|≥1,所以m≤-1或m≥1.

13.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　D　)

A.>    B.ea>eb

C.ab>ba D.ln a>ln b>0

解析:若a<0,b>0,则满足>,但由>不能得出a>b>0,所以>不是a>b>0的充分不必要条件,故A错误;若ea>eb,则a>b,但不能得出a>b>0,所以ea>eb不是a>b>0的充分不必要条件,故B错误;若a=1,b=-1,则满足ab>ba,但不能由ab>ba得出a>b>0,所以ab>ba不是a>b>0的充分不必要条件,故C错误;由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>

ln 1,则a>b>1,能推出a>b>0,反之不能推出,所以ln a>ln b>0是a>b>0的充分不必要条件,故D正确.

14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,设命题p:∃c∈N*,C为钝角,关于命题p有以下四个判断:

①p为真命题;

②﹁p为“∀c∈N*,C不是钝角”;

③p为假命题;

④﹁p为“∃c∈N*,C不是钝角”.

其中判断正确的序号是(　A　)

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析:在△ABC中由C为钝角,结合a=3,b=5及余弦定理可知,当c=6或7时cos C=<0,则p为真命题,故①正确,③错误;因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以﹁p为“∀c∈N*,C不是钝角”,故②正确,④错误.

15.(2023·江苏苏州模拟)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为|x-1|≤2,

所以-1≤x≤3,

即p:-1≤x≤3.

因为x2-2x+1-a2≥0(a>0),

所以x≤1-a或x≥1+a,

所以﹁q:1-a<x<1+a,

因为p是﹁q的必要不充分条件,

所以

解得0<a≤2,

所以实数a的取值范围是(0,2].

答案:(0,2]

16.f(x)=-x2-6x-3,记max{p,q}表示p,q两者中较大的一个,函数g(x)=max{()x-2,log2(x+3)},若m<-2,且∀x1∈[m,-2],∃x2∈[0,+∞),使f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为　　　　. 

解析:y=()x-2为减函数,

y=log2(x+3)为增函数,

观察尝试可知当且仅当x=1时,()x-2=log2(x+3).

由题意得,g(x)=

所以在[0,+∞)上,g(x)min=g(1)=2,g(x)的值域为[2,+∞),

f(x)=-(x+3)2+6≤6.“∀x1∈[m,-2],∃x2∈[0,+∞),

使f(x1)=g(x2)成立”等价于f(x)在[m,-2]上的函数值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集,作函数y=f(x),y=g(x)的图象,如图所示,

令f(x)=-x2-6x-3=2,

解得x=-5或x=-1,

则m的最小值为-5.

答案:-5