湖北省黄冈市浠水县部分学校2022-2023学年八年级下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖北省黄冈市浠水县部分学校2022-2023学年八年级下学期4月期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省黄冈市部分学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≠5 C．x≥5 D．x≤5
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝0.6，b＝0.8，c＝1
C．a＝，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝2，c＝
4．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
5．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（　　）

A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
6．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为（　　）
A．24 B．47 C．48 D．96
7．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝（　　）时，则四边形AECF是正方形．

A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2，…，依此法继续作下去，得OP2023＝（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．比较大小：　 　．（填“＞、＜、或＝”）
10．在实数范围内分解因式：a3﹣7a＝　 　．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝　 　．

12．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC+BD＝　 　．

13．直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　 　．

15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB＝AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是　 　（只填写序号）．

16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　．

三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知＝，且x为奇数，求（1+x）•的值．
19．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

20．在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

22．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

23．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

24．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
25．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≠5 C．x≥5 D．x≤5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子有意义，
∴x﹣5≥0，解得x≥5．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的性质对A选项和C选项进行判断；根据二次根式的加减法对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．
解：A． ＝4，所以A选项不符合题意；
B． 与不能合并，所以B选项不符合题意；
C． （）2＝4，所以C选项符合题意；
D． ＝＝×，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
3．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝0.6，b＝0.8，c＝1
C．a＝，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝2，c＝
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断出各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
解：∵32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵0.62+0.82＝12，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵（）2+22≠32，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵12+22＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
4．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
【分析】设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴x＝＝12，
∴S＝×5×12＝30．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（　　）

A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
【分析】由三角形中位线定理和直角三角形的性质可知，DE＝AC＝HF．
解：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE＝AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF＝AC，
∴FH＝DE＝5cm．
故选：A．
【点评】本题利用了三角形中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的性质．
6．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为（　　）
A．24 B．47 C．48 D．96
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可得菱形两条对角线的一半与边长在同一个直角三角形中，根据勾股定理可得另一条对角线的一半的长度，根据菱形的面积为对角线乘积的一半，可得答案．
解：如图，由题意可设，AD＝10，AC＝12，AO＝，
在Rt△AOD中，，
则BD＝2×8＝16，
故菱形的面积为＝96，
故选：D．


【点评】本题考查菱形的性质、菱形的面积计算、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝（　　）时，则四边形AECF是正方形．

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．
解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF＝90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC＝∠ECH，
∵∠ECH＝∠ECO，
∴∠FEC＝∠ECO，
∴OE＝OC．
同理OC＝OF，
∴OE＝OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB＝90°，则CE＝CF，
∴四边形AECF为正方形．
故选：D．

【点评】本题考查正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于中考常考题型．
8．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2，…，依此法继续作下去，得OP2023＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】从数字找规律，即可解答．
解：∵OP＝1＝，OP1＝，OP2＝，OP3＝2＝，
…
∴OP2023＝，
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．比较大小：　＜　．（填“＞、＜、或＝”）
【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
解：∵（）2＝12，（3）2＝18，
而12＜18，
∴2＜3．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
10．在实数范围内分解因式：a3﹣7a＝　a（a+）（a﹣）　．
【分析】利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可．
解：原式＝a（a2﹣7）
＝a（a+）（a﹣）．
故答案为：a（a+）（a﹣）．
【点评】本题主要考查了在实数范围内因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝　1　．

【分析】根据同角的余角相等知，∠BCD＝∠A＝30°，所以分别在△ABC和△BDC中利用30°锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD．
解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，且CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵AB＝4，
∴BC＝AB＝4×＝2，
∴BD＝BC＝2×＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了同角的余角相等和30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC+BD＝　22　．

【分析】求出OA+OB＝11，根据平行四边形的性质，即可求解．
解：∵△ABO的周长为17，AB＝6，
∴OA+OB＝11，
∴AC+BD＝22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
13．直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是　45°或135°　．
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，即为两角平分线的夹角．
解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠AOB＝135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
故答案为：45°或135°

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　2.4　．

【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故答案为：2.4．

【点评】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB＝AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是　②　（只填写序号）．

【分析】根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE＝DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
解：∵BD＝CD，DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB＝AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE＝CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
【点评】本题考查了菱形的判定方法，菱形的判别常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．

【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，根据勾股定理求出BD，求出AO、DO、根据三角形面积公式求出即可．
解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
∴AO＝OD＝5，
∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，
∴×AO×PE+×DO×PF＝12，
∴5PE+5PF＝24，
PE+PF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，等底等高的三角形面积相等．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法和零指数幂，再算减法即可；
（2）先算乘除法，再化简，然后计算加减法即可．
解：（1）
＝﹣×1
＝2﹣
＝；
（2）
＝2+1﹣+
＝2+1﹣3+2
＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．已知＝，且x为奇数，求（1+x）•的值．
【分析】先根据二次根式的乘除法则求出x的值，再把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．
解：∵＝，
∴，
解得6≤x＜9．
又∵x是奇数，∴x＝7．
∴（1+x）•
＝（1+x）
＝（1+x）
∴当x＝7时，
原式＝（1+7）
＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【分析】根据路程＝速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
解：根据题意，得
PQ＝16×1.5＝24（海里），
PR＝12×1.5＝18（海里），
QR＝30（海里），
∵242+182＝302，
即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
【点评】本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出AF＝CE，根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DF＝BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．
22．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

【分析】根据矩形的性质得DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42＝（8﹣x）2，然后解方程即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴EC的长为3cm．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
23．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

【分析】（1）由矩形的性质：OB＝OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
24．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
【分析】（1）按照规律写猜想并证明；
（2）按规律写出第一个数换为n，第二个数换为（n+1），第三个数换为（n+2）的等式．
解：（1）答案不唯一，如：，，
证明：＝；
（2）＝，
证明：＝＝＝．
【点评】本题考查了算术平方根的计算和等式证明，认真阅读条件式子再根据规律猜想和证明是解题关键．
25．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB＝3，BP＝2PC，求QM的长；
（3）当BP＝m，PC＝n时，求AM的长．

【分析】（1）要证AP＝BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．易得DC∥AB，从而有∠CQB＝∠QBA．由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．
解：（1）AP＝BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP＝BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴BP＝2，PC＝1，
∴BQ＝AP＝＝＝，
∴BH＝＝＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA．
由折叠可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，
解得x＝．
∴QM的长为；

（3）∵四边形ABCD是正方形，BP＝m，PC＝n，
∴QH＝BC＝AB＝m+n．
∴BQ2＝AP2＝AB2+PB2，
∴BH2＝BQ2﹣QH2＝AB2+PB2﹣AB2＝PB2，
∴BH＝PB＝m．
设QM＝x，则有MB＝QM＝x，MH＝x﹣m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2＝（x﹣m）2+（m+n）2，
解得x＝m+n+，
∴AM＝MB﹣AB＝m+n+﹣m﹣n＝．
∴AM的长为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．