八年级数学竞赛培优专题及答案 18 直角三角形

这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 18 直角三角形，共31页。
专题18 直角三角形(吴梅录入)

阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：

其中，是自然数，，，一奇一偶.
17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.
1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.

直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：
角的关系：两锐角互余；
边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；
边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.
这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.
在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.
熟悉以下基本图形基本结论：


例题与求解
【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.
（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.

（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.

【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（ ）
A.120° B.135° C.150° D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.


【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.

【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.

（上海市竞赛试题）
解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.

【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：

（北京市竞赛试题）
解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.

【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.
斯特瓦尔特定理：
如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.

解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.

能力训练
A级
1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.
如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.

2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.

3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.

（上海市竞赛试题）

4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.

（湖北省预赛试题）

5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.不能确定
（山东省竞赛试题）

6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（ ）
A. B. C. D.

（福州市中考试题）

7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）
A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米

8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（ ）
A.1 B. 2 C. D.

9. 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.

（北京市竞赛试题）

10. 如图，△ABC中，AB＝AC.
（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：
（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.


11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.


12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.

（山西省中考试题）

B级

1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_____________.

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，则∠CPA＝_____________.


3. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A. CF＞GB B. CF＝GB C. CF＜GB D. 无法确定


5. 在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（ ）
A. 8＜AC＜10 B. 8＜AC＜14 C. 2＜AC＜14 D. 10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）

6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
（浙江省竞赛试题）

7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.

（四川省联赛试题）

8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：

（江苏省竞赛试题）

9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.
（全国联赛试题）

10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.

（天津市竞赛试题）

11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.


12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.
（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（天津市中考试题）




专题18 直角三角形
例1 （1）12或30；6或30； 提示：，得；由，得，
（2） 提示：作DE⊥AB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，
得．
例2 B 提示：过B作BD⊥AC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠BCD=45°，故∠BCA=135°．
例3 ∠ACB=75° 提示：过C作CQ⊥AP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ．
例4 提示：过E作EG⊥AB于G，先证明Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△DFA．
例5 连接AC
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，DC=CA=AD，
以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，
则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
连接AE，则，
易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故．
例6 过A作AE⊥BC于E，
设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则
，
故，，
消去x得，即．
A级
1．14 2．3 3．135°
4． 提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则∠BAD=90°，
5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°．
10．（1）（2）略 （3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是
11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：； 12．10．
B级
1． 2．135° 提示：将△PAC绕A点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。
4．B 5．D
6．C 提示：设直角三角形两直角边长为a，b（a≤b），则（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，∴或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．
7． 提示：连接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，．
8．提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG．
9．解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：

由①②得：2