几何模型1.2 与“中点”有关的模型②（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT

这是一份几何模型1.2 与“中点”有关的模型②（平分模型）-2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）课件PPT，共30页。PPT课件主要包含了垂直平分线性质，中线倍长构造全等，圆+弦或弧的中点，构造中位线，等腰三角形三线合一，三角形中位线模型，∴BF2ED8，∵CE13CD，∴AB6，∴∠CED60º等内容，欢迎下载使用。
2.一边的垂线过这边中点
1.中线或与中点有关线段
垂径定理或圆周角定理．
6.多个中点或平行+中点
4.直角三角形+斜边中点
5.等腰三角形+底边中点
直角三角形斜边中线性质；
直角三角形斜边中线模型
等腰三角形三线合一模型
【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点,你想到了哪些学过的知识：___________________________________.
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
解：如图,∵BF∥DE,点D是AB的中点.
∴ED是△AFD的中位线.
∴ED=CE+CD=4.
∵∠ACB=90º,D为AB的中点.
∴CD=0.5AB.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90º,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠BCE的度数是( ) A.60ºB.45º C.30º D.75º
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD为AB边上的高, 点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点.
∴∠CED=∠A,CE=BE=AE.
∴∠ECA=∠A,∠B=∠BCE.
∴△ACE是等边三角形.
∴∠B=∠CED=30º．
【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点,你想到了哪些学过的知识：__________________________________________________.
【例4】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N.则MN的长为_____．
等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”
∵AB=AC=5,点M为BC的中点.
∵0.5AM×MC=0.5AC×MN.
如图,在矩形ABCD中,点E为AB边上一点,EC平分∠DEB,点F为CE的中点,连接AF,BF.过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.求证：(1)DE=DC；(2)AF⊥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠DCE=∠CEB.
∴∠DCE=∠DEC.
∵DE=DC,点F为CE的中点,
在矩形ABCD,AB=DC,∠ABC=90º,
∴BF=CF=EF=0.5EC
∴∠ABF=∠CEB.
∵∠DCE=∠CEB,
∴∠ABF=∠DCF.
在△ABF和△DCF中
∴△ABF≌△DCF(SAS)
∴∠AFB=∠DFC=90º
“角平分线,中点,垂直”只要出现了两个条件,考虑补全为等腰三角形三线合一模型.
【思考】在一般三角形中看到中点,你想到了哪些学过的知识： _____________________________________________________________.
过中点作平行线可构造中位线,中位线平行于底边且等于底边的一半.
【例5】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8，MN=3.则AC的长为()A.3 B.7 C.8 D.14
∴AC=AD+DC=8+6=14.
解析：∵AN平分∠BAC.
∴∠BAN=∠DAN,AN=AN,∠ANB=∠AND=90º.
∴△ABN≌△AEN.
∴AD=AB=8,BN=ND.
∵M是△ABC的边BC的中点.
∴CD=2MN=2×3=6.
在△ABC中,CD平分∠ACB,AD⊥CD,E是AB中点,AC=15,BC=27,求DE的长.
等腰中,造三线,两个条件快补全.
【分析】本题中,点E已经是AB的中点,由CD平分∠ACB,AD⊥CD,想到可以构造等腰三角形,利用三线合一,使点D成为另一个中点,从而让ED变成“看得见”的中位线.
∴DE=0.5BF=0.5(BC-CF)=0.5(BC-AC)=6.
解：延长AD交BC于F.
∵CD平分∠ACB,AD⊥CD
∴∠ACD=∠FCD,∠ADC=∠FDC=90º,
∴AC=CF,AD=FD
∵E是AB的中点，D是FA的中点.
∴DE是△ABF的中位线，
1.如图,点M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16,则MN=____.2.如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE平分∠CAD,交CD于点E,F是BC的中点,若BD=16,则EF的长为____．3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD,AE分别是其角平分线和中线,点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为____.
4.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=12,BD=8,CD=6,点E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是( ) A.14 B.18 C.20 D.225.如图,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是( ) A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=4,CE=10,求CD的长.
解：在Rt△ABC中∠ACB=90º,CE为AB边上的中线,CE=10,
∵CD为AB边上的高,
7.如图,在平行四边形ABCD中,AC⊥BC,点E,F分别在AB,BC上,且满足AC=AE=CF,连接CE,AF,EF. (1)若∠ABC=35°,求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF,求证：CE=2EF.
(1)解：∵AC⊥BC,AC=CF.
∴△ACF为等腰直角三角形，则∠AFC=45º.
∵∠AFC=∠B+∠EAF,∠B=35º.
(2)证明：如解图①,取CF的中点M,连接EM、AM.
∴EM=CM=FM=0.5CF.
∴AM为EC的中垂线.
∴∠CAM+∠ACE=90º.
∵∠ECF+∠ACE=90º.
∴∠CAM=∠FCE.
∵∠CEF=∠ACM=90º.
∴△ACM∽△CEF.
∵CF=AC=2CM.
∴AC:CM=CE:EF=2:1
∴AC:CM=CE:EF
1.如图,边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为_____.
取特值(图形或位置特殊化)的妙用!口诀:选填题,巧测量,排除代入特值上
解：如图,将正方形EFGH的位置特殊化,使点H与点A重合,过点M作MO⊥ED于点O,则MO是梯形FEDC的中位线.
∵点N、M分别是AD、FC的中点
∴MO=0.5(EF+CO)=2
∴ON=OD-ND=2-1.5=0.5
在Rt△MON中，MN2=OM2+ON2，即MN=
2.如图,在△ABC中,若∠B=2∠C,AD⊥BC,E为BC边中点,求证：AB=2DE.
EF为中位线,综合已知条件易得：DE=DF
3.已知Rt△ABC中,AC=BC,C=90º,D为AB边的中点,∠EDF=90º,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.(1)当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时(如图①)， 求证：S△DEF+S△CEF=0.5S△ABC；(2)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立?若成立,请给予证明；若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
(1)解：∵∠ABM=45º,AM⊥BM,
∴AM=BM=AB·cs 45º=
∴CM=BC-BM=5-3=2.
(2)证明：延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.
∵DM=MC,∠BMD=∠AMC=90º,BM=AM,
∴△BMD≌△AMC(SAS)
∴∠BDF=∠CEF.
∵BF=CF,∠BFG=∠CFE,FG=FE.
∴△BFG≌△CFE(SAS).
∴BG=CE,∠G=∠CEF.
∴∠BDG=∠G=∠CEF.
5.如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE于点G. (1)求证：DC=BE； (2)若∠AEC=66º,求∠BCE的度数.
(1)证明：连接DE.
∵DG⊥EC,点G是CE的中点.
(2)解:设∠BCE=x.
∴∠DEC=∠DCE=x.
∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x.
∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,
6.如图1,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,可以得到DE∥BC，且DE=0.5BC.(不需要证明)【探究】如图2,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明.
解：【探究】四边形EFGH为平行四边形.
证明：图2中,连接AC.
∵点E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,EF=0.5AC.
同理,HG∥AC,HG=0.5AC.
∴EF∥HG,EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形；
【应用】(1)在【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?你添加的条件是________；(只添加一个条件)(2)如图3,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,对角线AC,BD相交于点O.若AO=OC,四边形ABCD面积为5,则阴影部分图形的面积和为_______.
补全三线合一 + 中位线(角平分线+垂直=三线合一)
7.如图△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H. (1)求证：GH∥BC；(2)若AB=9,AC=14,BC=18,求GH.(3)若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B的平分线及∠C的外角平分线”(如图2所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图3所示),其余条件不变,求证：结论GH∥BC仍成立.
【分析】与上例类似,有角平分线,有垂直,延长构造等腰三角形,利用三线合一.
∴GH是△AMN的中位线,HG∥NN,HG∥BC.
(1)证明：分别延长AG,AH交BC于M,N,
∵BG平分∠ABM,BG⊥AM,
∴∠ABG=∠MBG,∠BGA=∠BGM=90º.
∴∠BAM=∠BMA,
∴BA=BM,G是AM的中点.
同理CA=CN,H是AN的中点,
(2)由(1)知,△ABG≌△MBG,△ACH≌△NCH,
∴AB=BM=9,AC=CN=14.
∴MN=BM+CN-BC=AB+AC-BC=9+14-18=5
8.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围. 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.请回答: