2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷

这是一份2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A．8.0917×106 B．8.0917×105 C．8.0917×104 D．8.0917×103
3．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
4．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．5a﹣3a＝2 B．6a÷2a＝3a
C．a6÷a3＝a2 D．（2a2b3）3＝8a6b9
5．（3分）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
6．（3分）若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0
7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C． D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．2 B． C．1.5 D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　）

A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）分解因式：ab2﹣a＝　 　．
12．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝　 　．

13．（3分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　 　．
14．（3分）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　 　cm．

15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　 　（结果保留π）．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
18．（8分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

21．（10分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
22．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

23．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年山东省枣庄市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：D．
2．（3分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A．8.0917×106 B．8.0917×105 C．8.0917×104 D．8.0917×103
【解答】解：80917＝8.0917×104．
故选：C．
3．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
4．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．5a﹣3a＝2 B．6a÷2a＝3a
C．a6÷a3＝a2 D．（2a2b3）3＝8a6b9
【解答】解：A选项，原式＝2a，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝3，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝8a6b9，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
【解答】解：将这组数据从小到大排列为88，91，93，94，95，95，97，
所以这组数据的众数是95，中位数是94．
故选：D．
6．（3分）若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0
【解答】解：解方程＝1，得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程＝1的解是正数，
∴x＞0，
即﹣a﹣1＞0，
当x﹣1＝0时，x＝1，代入得：a＝﹣2．此为增根，
∴a≠﹣2，
解得：a＜﹣1．
则a的取值范围是：a＜﹣1且a≠﹣2．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C． D．
【解答】解：由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∴AF＝AD＝2，
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得AE＝．
故选：A．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故选：A．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．2 B． C．1.5 D．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．

∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四边形ADFT是平行四边形，
∴AD＝FT＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T关于AC对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值为2．
故选：A．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　）

A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．
11．（3分）分解因式：ab2﹣a＝　a（b+1）（b﹣1）　．
【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
12．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝　6　．

【解答】解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴OB•AB＝3，
即OB•AB＝6，
∴k＝6，
故答案为：6．
13．（3分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　3　．
【解答】解：根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，
则4k+3k+2k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，
∴S＝＝＝3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　（24﹣12）　cm．

【解答】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E'C'D'，过点C'作C'N⊥AD于点N，作C'M⊥AF于点M．

∵DE＝12cm，CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE＝6cm，
∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，
∴四边形AMC′N是矩形，
∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，
∴∠D′C′N＝∠E′C′M，
∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，
∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），
∴C′N＝C′M，
∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，
∴AC′平分∠BAF，
∴点C在射线AC′上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．
解法二：取D′E′的中点，连接AM，MC′．

∵∠D′AE′＝∠D′C′E′＝90°，D′M＝ME′，
∴AM＝C′M＝MD′＝ME′，
∴A，E′，C′，D′四点共圆，
∴∠C′AF＝∠C′D′E′＝45°，
∴点C在∠BAF的角平分线上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．
故答案为：（24﹣12）．
15．（3分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　2022π　（结果保留π）．

【解答】解：根据题意可得，
的半径AA1＝；
的半径BB1＝AB+AA1＝；
的半径CC1＝CB+BB1＝；
的半径DD1＝＝CD+CC1＝；
的半径AA2＝AD+DD1＝；
的半径BB2＝AB+AA2＝；
的半径CC2＝BC+BB2＝；
的半径DD2＝CD+CC2＝；
•••
以此类推可知，弧∁nDn的半径为＝2n，
即弧C2022D2022的半径为DD2022＝2n＝2×2022＝4044，
∴弧C2022D2022的长l＝＝＝2022π．
故答案为：2022π．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　2+1　．

【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．

三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵m为满足﹣1＜m＜4的整数，
∴m＝0，1，2，3，
当m＝0，1时，原式没有意义；
当m＝2时，原式＝；当m＝3时，原式＝＝．
18．（8分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝×100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝＝．


19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝（m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式y＝﹣．
∴OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；
（2）当x＜0时，不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0．
21．（10分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
，
解得，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
（2）设购买A种树苗a株，则购买B种树苗（100﹣a）株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∴﹣a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w＝﹣a+500，k＝﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
22．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
23．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；

（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝，AC＝2，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．

24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×（﹣5）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．