2023年上海市长宁区高三二模数学试卷含答案

2022学年第二学期高三数学教学质量调研试卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知集合，，则      .

2. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为      .

3. 已知事件与事件相互独立，如果，，那么      .

4. 当时，幂函数的图像总在的图像上方，则的取值范围为      .

5. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为      .

6. 若函数为奇函数，则实数的值为      .

7. 设随机变量服从正态分布，若，则     .

8. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图. 则至少需要       米栅栏.

9. 已知函数，满足，

若，则   .                        

10. 若对任意，均有，则实数的取值范围为         .

11.已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为         .

12.已知是双曲线的左、右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于点.若双曲线的离心率为，则      .

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）

A.平均数          B.众数           C.百分位数        D.标准差

14.设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（　）

A.第一象限       B.第二象限       C. 第三象限    D.第四象限

15.已知正方体，点在直线上，为线段的中点.则下列说法不正确的是（  ）

A. 存在点，使得；

B. 存在点，使得；  

C. 直线始终与直线异面；

D. 直线始终与直线异面.   

16.设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和，

对于方程①，②，③.

下列判断正确的是（ ）

A.若①有实根，②有实根，则③有实根；    B.若①有实根，②无实根，则③有实根；

C.若①无实根，②有实根，则③无实根      D.若①无实根，②无实根，则③无实根

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

 盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品. 现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个.

（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：；

（2）用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布和期望．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且,求二面角的大小.

19．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型，其中为自统计之日起,经过年后该地新能源汽车保有量，和为增长系数，为饱和量. 

下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：

假设该地新能源汽车饱和量万辆.

（1）若，假定2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；

（2）设，则与线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和的值（精确到0.01）.

附: 线性回归方程中回归系数计算公式如下:

,

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

已知抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、.

（1）求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；

（2）若，求线段的中点到轴的距离；

（3）设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；

（2） 若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围；

（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.

参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.      2.      3.     4.    5.     6. 1

7.     8. 4     9. 3     10.    11.3     12.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. D   14. A    15. C    16.B.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．解：（1）记“第一次摸出的小球是正品”为事件，

，，          …….2分

，，      ………4分

因为，所以.      ………6分

（2），，，  ……3分

所以的分布为，            ……..5分

.            …….8分

18．解：（1）由已知，且，

所以为平行四边形，，       ……….2分

因为分别为棱中点，

所以，                           ………...4分

所以平面平面.                  ………..6分

（2）因为平面平面，且，

所以平面，                                 ……….2分

所以即是直线与平面所成的角，即，      ………..4

因为平面，所以，又因为，

所以即是二面角的平面角，              ………..6分

因为，所以，

因为，，所以，

所以，

得，即二面角的大小为.        ……….8分

19．解：（1）因为，所以      ………3分

因为，             

所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为万辆   ……..6分

（2）设，则

     ……2分

，，                             ……4分

，

所以                             ……6分

，所以       ………8分

20．解：，             ……1分

设椭圆方程为，半焦距为，

则，，       ……2分

所以，，    ……3分

所以椭圆的标准方程为.    ……4分

（2）设，，

因为，所以，      ……2分

设直线的方程为，

将直线方程代入抛物线方程得，

所以，得，                        ……4分

设线段的中点，则，

所以线段的中点到轴的距离为1                    ……6分

（3）准线方程，            ……1分

设，，，，，

直线的斜率为，直线的斜率为，

直线的方程为，

直线的方程为，          

所以， ，    ……4分

设直线的方程为，

代入抛物线方程得，

所以，                                      ……6分

所以

得为常数.                ……8分

21．解:（1）

所以振幅为，周期为，初相为为.    ……..4分

（2），             …….2分

设，则，

当时，取得极大值，                ……..4分

由题意，方程在区间上有唯一解，

所以，得.             ……..6分

解法二：         ……2分

令，得，列表

                                                                ……4分

函数在区间上有唯一的极大值点时，    ……6分

（3），             ……2分

当时，

因为，所以，

进而，，

此时，在区间上是严格增函数.     ……4分

当时，，不是严格增函数；         ……5分

当时，设，则

，进而，，

此时，在区间上是严格减函数.    ……7分

综上，若函数在区间上是严格增函数，则.    ……8分