2023年上海市闵行区高三二模数学试卷含答案

2022学年第二学期高三年级学业质量调研

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．

2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．设全集，集合，则__________．

2．若实数、满足、，则__________．

3．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_________．

4．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________．

5．已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值

为__________．

6．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 __________．

7．今年春季流感爆发期间，某医院准备将名医生和名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗. 若每所学校分配名医生和名护士，则不同的分配方法数为__________．

8．__________．

9． 若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是____．

10．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则__________．

11．已知抛物线,圆，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是__________．

12．平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足，则称是向量组的平衡向量. 已知，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为__________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（     ）

（A）      （B）       （C）        （D）

14．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为分）作为样本进行统计，样本容量为．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在内的人数为，则下列结论正确的是（     ）                   

（A）样本容量

（B）图中

（C）估计全体学生该学科成绩的平均分为分

（D）若将该学科成绩由高到低排序，前的学生该学科成绩为A等，则成绩为分的学生该学科成绩肯定不是A等

15．已知，若存在正整数，使函数在区间内有2023个零点，则实数所有可能的值为（     ）  

（A）       （B）        （C）        （D）或

16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（    ）

（A）存在等差数列，使得是的“M数列”     

（B）存在等比数列，使得是的“M数列”

（C）存在等差数列，使得是的“M数列”

（D）存在等比数列，使得是的“M数列”

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

    在中，角、、所对的边分别为,已知，，．

（1）求的值；

（2）求的面积．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病. 设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病. 据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为.（下列两小题计算结果中的概率值精确到）

（1）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；

（2）对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于、两点，线段的中点为．

（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；

（2）若直线经过曲线上的点，且为正整数，求的值；

（3）若直线与曲线相交于、两点，且直线经过线段中点，求证：．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． 

（1）当时，求实数的值； 

（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；

（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．

参考答案

一.  填空题 1．； 2．.； 3．；  4．；  5．； 6．；

7．；8．；9．； 10．； 11．；12．.  

二.  选择题  13．D；   14．C；  15．B；   16．C．

三.   解答题

17． [解] （1）在中，由已知得，………………………2分

由正弦定理得，    ………………………………………4分

而，，所以； ……………………………………6分

（2）在中，由余弦定理得，………………………8分

即，而，解得，       ………………………10分

因为，则，               ………………………12分

，

所以的面积为.   ……………………………………………14分

18．[解] （1）设与相交于点，

因为平面，平面，

所以，………………………………………2分

由，，得，

因此，，

可得，………………………………4分

因为，所以，即，

又因为，，

所以平面；………………………………………6分

（2）如图，建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，……………8分

设平面的一个法向量，

则    即

令，则，，于是，……10分

平面的一个法向量为，

则，…………12分

由图形可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值是. ……………………14分

19．[解](1)由题意可得，；……6分

(2)设，则，

，

，        ………………………8分

，

． ……            …………………10分

的分布为，…………………12分

．    …………………………14分

20．[解] （1）由条件知 ，曲线的半焦距，

所以曲线的离心率，…………2分

渐近线方程为； ……………………4分

（2）联立方程组，

得，

所以，，

故直线的方程为，依题意直线经过点，

代入得，                  …………………………6分

因为直线与曲线的左支相交于两点，故，

得          ………………………………………………8分

又曲线和有公共点，所以，

且为正整数，根据，得，

所以；              ………………………………………10分

 【供参考：因为直线与曲线的左支相交于、两点，

所以，又，为正整数，所以】

（3）由（2）可得，……………………………12分

同理，联立直线与曲线，

可得，        ……………………………………………14分

因为，所以，…………………………………16分

又因为，

所以，

即．         ……………………………………………18分

21．[解] （1）由题设，函数定义域为，且，………………2分

由 ，则；       ……………………………………………4分

（2） 当时，，则，   ………………………6分

即的斜率，假设存在，则的斜率，

则有解，即在上有解，  ………………………8分

该方程化简为，解得或，符合要求，

因此该函数存在另外一条与垂直的切线；  ……………………………………10分

（3），

当时，严格减；当时，严格增；………………10分

【供参考：令，则，当时，严格减；当时，严格增. 】

设曲线的另一条切线的斜率为.

1°当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；                          ……………………………………12分

2°当时，，且，

趋近于0或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，

所以在上各有一个零点，

故当或时，都有，

当时，故必存在，

即曲线存在相互垂直的两条切线，所以.…………………14分

因为，由2°知，曲线存在相互垂直的两条切线，

不妨设，

满足，，

，

所以，

故（当且仅当时等号成立），

由，解得，       …………………16分

，

因为，，

所以.

综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．        ……………………………………18分

【供参考：对任意，曲线都不存在与垂直的切线，

有恒成立，

解得，

综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．】