历年高考数学真题精选42 样本的数字特征

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题42 样本的数字特征（学生版）

1．（2019•新课标Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　

A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差

2．（2012•山东）在某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则，两样本的下列数字特征对应相同的是　　

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差

3．（2012•江西）样本，，的平均数为，样本，，，的平均数为．若样本，，，，，，的平均数，其中，则，的大小关系为　　

A． B． C． D．不能确定

4．（2009•四川）设矩形的长为，宽为，其比满足，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是　　

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近 

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近 

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

5．（2009•上海）有专业机构认为甲型流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　　

A．甲地：总体均值为3，中位数为4 

B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 

C．丙地：中位数为2，众数为3 

D．丁地：总体均值为5，总体方差为12

6．（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量（单位：分别是，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是　　

A．，，，的平均数 B．，，，的标准差 

C．，，，的最大值 D．，，，的中位数

7．（2015•安徽）若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为　　

A．8 B．15 C．16 D．32

8．（2010•陕西）如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为，，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

二．填空题

三．解答题（共5小题）

9．（2019•新课标Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表．

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到

附：．

10．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品”的规定？

11．（2012•安徽）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：，将所得数据分组，得到如下频率分布表：

（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间，内的概率；

（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．

12．（2015•北京），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组；12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．

（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

13．（2013•新课标Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为药，药）的疗效，随机地选取20位患者服用药，20位患者服用药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：实验的观测结果如下：

服用药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题42 样本的数字特征（教师版）

一．选择题（共8小题）

1．（2019•新课标Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　

A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差

【答案】A

【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变

2．（2012•山东）在某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则，两样本的下列数字特征对应相同的是　　

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差

【答案】D

【解析】样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．

样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90

众数分别为88，90，不相等，错．

平均数86，88不相等，错．

中位数分别为86，88，不相等，错

样本方差，

样本方差，正确

3．（2012•江西）样本，，的平均数为，样本，，，的平均数为．若样本，，，，，，的平均数，其中，则，的大小关系为　　

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【解析】不妨令，，设样本，，的平均数为，

样本，，，的平均数为，

所以样本，，，，，，的平均数

，解得，满足题意．

4．（2009•四川）设矩形的长为，宽为，其比满足，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是　　

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近 

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近 

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

【答案】A

【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613．

故甲批次的总体平均数与标准值更接近

5．（2009•上海）有专业机构认为甲型流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　　

A．甲地：总体均值为3，中位数为4 

B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 

C．丙地：中位数为2，众数为3 

D．丁地：总体均值为5，总体方差为12

【答案】D

【解析】假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为，，，．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有，说明丁地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．

6．（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量（单位：分别是，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是　　

A．，，，的平均数 B．，，，的标准差 

C．，，，的最大值 D．，，，的中位数

【答案】B

【解析】在中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，

故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在中，最大值是一组数据最大的量，故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，

故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．

7．（2015•安徽）若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为　　

A．8 B．15 C．16 D．32

【答案】C

【解析】样本数据，，，的标准差为8，，即，

数据，，，的方差为，

则对应的标准差为

8．（2010•陕西）如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为，，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

【答案】B

【解析】样本的数据均不大于10，而样本的数据均不小于10，

显然，由图可知中数据波动程度较大，中数据较稳定，．

9．（2019•新课标Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表．

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到

附：．

解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于的企业为：，产值负增长的企业频率为：，

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为；

（2）企业产值增长率的平均数

，

产值增长率的方差

，

产值增长率的标准差，

这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．

10．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品”的规定？

解：（1）频率分布直方图如图所示：

质量指标的样本平均数为

，

质量指标的样本的方差为

，

这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品”的规定．

11．（2012•安徽）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：，将所得数据分组，得到如下频率分布表：

（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间，内的概率；

（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．

解：（Ⅰ）根据题意，，，，，，，故可填表格：

（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间，内的概率为；

（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为．

12．（2015•北京），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组；12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．

（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，

由题意可知，，2，，7

（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是组的第5或第6或第7个人”

甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，

则，

（C）

（Ⅲ）当为11或18时，，两组病人康复时间的方差相等．

13．（2013•新课标Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为药，药）的疗效，随机地选取20位患者服用药，20位患者服用药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：实验的观测结果如下：

服用药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：（Ⅰ）设药观测数据的平均数据的平均数为，设药观测数据的平均数据的平均数为，

则．

．

由以上计算结果可知：．由此可看出药的效果更好．

（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而药疗效的试验结果有的叶集中在0，1上．由此可看出药的疗效更好．