历年高考数学真题精选25 等比数列

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题25 等比数列（学生版） 一．选择题（共6小题）1．（2014•全国）等比数列，，的公比为　　A． B． C． D．2．（2014•大纲版）设等比数列的前项和为．若，，则　　A．31 B．32 C．63 D．643．（2014•重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是　　A．，，成等比数列 B．，，成等比数列 C．，，成等比数列 D．，，成等比数列4．（2014•上海）如果数列是一个以为公比的等比数列，，那么数列是　　A．以为公比的等比数列 B．以为公比的等比数列 C．以为公比的等比数列 D．以为公比的等比数列5．（2013•福建）已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是　　A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等比数列，公比为 C．数列为等比数列，公比为 D．数列为等比数列，公比为6．（2012•北京）已知为等比数列，下面结论中正确的是　　A． B． C．若，则 D．若，则二．填空题（共7小题）7．（2015•安徽）已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于　 　．8．（2014•广东）等比数列的各项均为正数，且，则　　．9．（2012•辽宁）已知等比数列为递增数列．若，且，则数列的公比　 　．10．（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　 　．11．（2012•江西）等比数列的前项和为，公比不为1．若，且对任意的都有，则　 　．12．（2011•上海）若为等比数列的前项的和，，则　 　．13．（2011•北京）在等比数列中，，，则公比　 　；　 　．三．解答题（共2小题）14．（2015•江苏）设，，．是各项为正数且公差为的等差数列．（1）证明：，，，依次构成等比数列；（2）是否存在，，使得，，，依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列？并说明理由．15．（2014•江西）已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任意的，都存在，使得，，成等比数列．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题25 等比数列（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2014•全国）等比数列，，的公比为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】等比数列，，，，解得，等比数列，，的公比为．故选：．2．（2014•大纲版）设等比数列的前项和为．若，，则　　A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【解析】，，，所以，，成等比数列，即3，12，成等比数列，可得，解得  故选：．3．（2014•重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是　　A．，，成等比数列 B．，，成等比数列 C．，，成等比数列 D．，，成等比数列【答案】D【解析】项中，，，故项说法错误，项中，故项说法错误，项中，故项说法错误，项中，故项说法正确，故选：．4．（2014•上海）如果数列是一个以为公比的等比数列，，那么数列是　　A．以为公比的等比数列 B．以为公比的等比数列 C．以为公比的等比数列 D．以为公比的等比数列【答案】A【解析】，，所以，数列是以为公比的等比数列．5．（2013•福建）已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是　　A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等比数列，公比为 C．数列为等比数列，公比为 D．数列为等比数列，公比为【答案】C【解析】①，当时，，，此时是常数列，选项不正确，选项正确；当时，，，此时，选项不正确，又，不是常数，故选项不正确，②等比数列的公比为，，，，故正确不正确．综上可知：只有正确．6．（2012•北京）已知为等比数列，下面结论中正确的是　　A． B． C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，当且仅当，同为正时，成立，故不正确；，，故正确；若，则，，，或，故不正确；若，则，，其正负由的符号确定，故不正确二．填空题（共7小题）7．（2015•安徽）已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于　　．【答案】【解析】数列是递增的等比数列，，，可得，解得，，，，数列的前项和为：．8．（2014•广东）等比数列的各项均为正数，且，则　　．【答案】5【解析】．又等比数列中，，即．故．故答案为：5．9．（2012•辽宁）已知等比数列为递增数列．若，且，则数列的公比　　．【答案】2【解析】为递增数列且，10．（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　　．【答案】【解析】由题意成等比数列的10个数为：1，，，其中小于8的项有：1，，，，，共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是11．（2012•江西）等比数列的前项和为，公比不为1．若，且对任意的都有，则　　．【答案】11【解析】等比数列的前项和为，，且对任意的都有，，即，解得，或（舍去）．，故答案为 11．12．（2011•上海）若为等比数列的前项的和，，则　　．【答案】【解析】由，得到 13．（2011•北京）在等比数列中，，，则公比　　；　 　．【答案】，【解析】，三．解答题（共2小题）14．（2015•江苏）设，，．是各项为正数且公差为的等差数列．（1）证明：，，，依次构成等比数列；（2）是否存在，，使得，，，依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列？并说明理由．解：（1）证明：，，2，3，是同一个常数，，，，依次构成等比数列，，2，3，；（2）令，则，，，分别为，，，，，假设存在，使得，，，依次构成等比数列，则，且，令，则，且，，，化简得，且，将代入式，，则，显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，则，且，分别在两个等式的两边同除以，，并令，，，则，且，将上述两个等式取对数，得，且，化简得，，且，再将这两式相除，化简得，，令，则，令，则，令，则，令，则，由，，知，，，在，和上均单调，故只有唯一的零点，即方程只有唯一解，故假设不成立，所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．15．（2014•江西）已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任意的，都存在，使得，，成等比数列．（1）解：，．当时，，当时，．因此当时，也成立．数列的通项公式．（2）证明：对任意的，假设都存在，使得，，成等比数列．则，，化为，，，因此对任意的，都存在，使得，，成等比数列．