2023届陕西省西安市第三十八中学高三上学期第一次模拟数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省西安市第三十八中学高三上学期第一次模拟数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省西安市第三十八中学高三上学期第一次模拟数学（理）试题 一、单选题1．定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【分析】根据集合新定义求解即可.【详解】根据题意，因为，，所以.故选：C.2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的加法运算求解.【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点，易知，所以．故选：D3．抛物线的准线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线的几何性质即可求得抛物线的准线方程.【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为．故选：C4．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比数列前项和公式求解即可.【详解】表示以为首项，为公比的前项和，所以.故选：A5．函数的零点为（    ）A．4 B．4或5 C．5 D．或5【答案】C【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为，令，得，则，解得或，又∵，所以．故选：C.6．一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，该正四棱柱的体对角线为球的直径，进而计算体对角线长度，并计算体积即可.【详解】解：设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，设球的半径为，所以，，即，所以，球的体积为．故选：B7．现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为．故选：A8．若，则（    ）A．3 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据正切两角差公式，凑角得的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含的式子，代入求值即可.【详解】解：因为，所以．故选：A.9．若从区间内，任意选取一个实数a，则曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线的倾斜角大于对应的实数a的取值范围，再利用几何概型就求得其对应的概率.【详解】因为，所以当时，．若曲线在点处的切线的倾斜角大于，则或，解得或．由几何概型可知曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为．故选：B10．将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像．若在上单调，则的值不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，进而得，故有或或，再解不等式求解即可.【详解】解：由题知，，因为，所以．因为，所以，又在上单调，所以或或，所以的取值范围是．所以，的值不可能为故选：B11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.【详解】不妨设，，因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．因为Q在C的左支上，所以，即，解得，则．因为，所以，即，故，故．故选：A12．已知，设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的形式构造函数，利用导数的性质判断其单调性，再结合差比法进行判断即可.【详解】．令，则，．当时，，则在上单调递增，所以，即．因为，所以．故．故选：D【点睛】关键点睛：根据的形式构造函数是解题的关键, 二、填空题13．复数的实部为___________．【答案】7【分析】直接利用复数的乘方和复数乘法的运算法则计算即可.【详解】．故实部为7，故答案为：7.14．若满足约束条件，则的取值范围为___________．【答案】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的范围.【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示，要求的取值范围，即求在轴上的截距的取值范围，数形结合可知当直线过点时在轴上的截距最大，即最小，过时在轴上的截距最小，即最大，所以，，故的取值范围为，故答案为：15．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为__________.【答案】【分析】判断出阳马中，相互垂直的直线的对数，结合组合数的计算以及古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】不妨设底面，由于平面，所以，底面矩形有：由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于，所以.同理可证得，所以，在阳马中，相互垂直的直线有对，故所求概率为.故答案为：16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．【答案】52【分析】由题知数列构成首项为10，公差为的等差数列，进而得，进而根据基本不等式求解即可.【详解】解：由题知，被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：10，22，34，46，58...构成首项为10，公差为的等差数列，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，的最小值为52．故答案为：52 三、解答题17．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理，结合等比中项的性质进行求解即可.【详解】（1）根据正弦定理，由，因为，所以，于是由，因为，所以；（2）因为c是a，b的等比中项，所以，因为的周长为6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圆的半径为.18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在内的该产品的数量为X，求X的分布列与期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为，，所以该产品这一质量指数的中位数在内．设该产品这一质量指数的中位数为m，则，解得．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在内的有8件，这一质量指数在内的有4件．由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4．，，，，，X的分布列为X01234P ．19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．(1)证明：平面PAB．(2)若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据条件证明平面平面PAB即可；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量即可算出答案.【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为平面，平面，所以平面，因为底面ABCD为矩形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面PAB，又平面CDE，所以平面PAB．（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．因为在上的投影为3，所以F的坐标为．设平面ACF的法向量为，，，则，即令，得．设平面ACE的法向量为，，，则，即，令，得．由，得平面ACF和平面ACE所成锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆的左，右顶点分别为，左焦点为，．(1)求的方程；(2)设直线与交于不同于的两点，且，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用椭圆的标准方程和定义求解即可；（2）设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和向量垂直的坐标表示可得，又，故求的最大值即可.【详解】（1）设的半焦距为，由，可得，解得，因为，所以C的方程为．（2）由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为，联立消去得，，化简整理得，设，则，因为，所以,因为，所以，得，将代入上式，得，得，解得或（舍去）．所以直线的方程为，则直线恒过点，所以．设，则，，易知在上单调递增，所以当时，取得最大值．又，所以．21．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若函数恰有两个零点，求正数a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间是，无递增区间(2) 【分析】（1），再次求导证明恒成立，从而知在定义域上的单调性；（2）分类讨论的单调性，结合极值的正负确定有两个零点满足的条件.【详解】（1）由题意可得．设，则．由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，从而，故的单调递减区间是，无递增区间．（2）由题意可得．①当，即时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增．所以要使要有两个零点，首先要求，解得．下面证明时，确实存在两个零点：所以，且,故在内存在一个零点.，因为，所以，故在内存在一个零点.所以时，存在两个零点．②当，即时，，解得，因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意．③当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．显然，下面证明当时恒成立，设，则．由（1）可知在上单调递减，则，即成立.所以时不可能有两个零点．综上，恰有两个零点时正数a的取值范围是．【点睛】在解决函数零点问题时，（1）如果采取分离函数的方法，往往分离出一条直线一条曲线，或是常数和一个可讨论的函数，数形结合讨论两个函数图象交点的个数； （2）如果不分离就要分类讨论，可能要麻烦很多，要灵活运用函数的单调性、极值和零点存在性定理，数形结合寻找满足零点个数的条件.22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【详解】（1）由（t为参数），得，故曲线C的普通方程为．由，得，故直线l的直角坐标方程为．（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应的参数分别是，则，从而，故．23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，得到，然后分， ， 求解；（2）由的解集包含，转化为时，恒成立求解．【详解】（1）解：当时，，当时，可化为，解得，此时；当时，可化为，解得，此时；当时，可化为，得，不成立，此时无解．综上：不等式的解集为．（2）因为的解集包含，所以当时，恒成立．当时，可化为，即，即，则，由，得，所以，解得．综上：a的取值范围为．