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2023届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三二模数学试题含解析
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这是一份2023届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三二模数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可推得，代入即可解得，代入即可得出答案.
【详解】由题意可知，，即，所以，
所以，.
故选：D.
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解.
【详解】设，，
所以，所以，
解得：，
所以.
故选：C
3．已知向量，，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：B.
4．有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中集训营安排5人，集训营与集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ）
A．18B．22C．30D．36
【答案】B
【分析】利用特殊元素优先考虑及分类加法计数原理即可求解.
【详解】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第2类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第3类：2个女生分别去，5个男生去了，有种；
根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为种.
故选：B.
5．两条直线和分别与抛物线交于异于原点的､两点，且直线过点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的坐标，由两点斜率可得的值．
【详解】联立，由于，可得，，即，
同理可得，
由直线经过,所以 ，化简得，
由于 所以，
故选：C
6．如图，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案.
【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.
取圆台的轴截面
由题意知，球心一定在线段或的延长线上
如图1，当球心在线段上时.
过点作于点，则，，
所以，.
设球的半径为，，，
则由勾股定理可得，，即，
整理可得，解得（舍去）；
如图2，当球心在的延长线上时.
过点作于点，则，，
所以，.
设球的半径为，，则，
则由勾股定理可得，，即，
整理可得，解得.
所以，，
所以，圆台外接球的表面积为.
故选：D.
7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）
A．6B．12C．30D．56
【答案】C
【分析】利用函数是上奇函数且满足，得出函数是周期为4的周期函数，且关于直线对称，利用周期性和对称性，讨论出函数在一个周期内的单调性，从而判断出方程在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程在区间上所有实数根之和.
【详解】因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，
考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，
故当时，，当，，
当时，，当时，，
因为方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，方程在区间和区间上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数在区间上恰好3个周期，所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间上所有实数根之和为,
故选：C.
8．已知三个互异的正数，，满足，，则关于，，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把变形为，构造函数，求导，得，或，，然后构造，利用函数单调性比较即可.
【详解】因为，所以，设，
则，令得，令得，
所以函数在递减，函数在递增，所以，
（1）当，时，，
设，易知在上单调递减，
且，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，所以；
（2）当，时，，设，
易知在上单调递减，且，
所以，以，所以，
又，所以，所以，所以所以；
综上可得：成立.
故选：D
二、多选题
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期是
C．在单调递增D．的最小值为
【答案】AD
【分析】利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB；求出在的单调性即可判断C；讨论去绝对值再利用三角函数的性质可得函数的最小值可判断选项D.
【详解】对于A，，因为，所以是偶函数，故选项A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期不是，故B错误；
对于C，当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，，且，
所以，；
当时，，且，
所以，，
所以在上值域为，
又，
所以是的周期，
所以在上值域为，故函数的最小值为，故D正确.
故选：AD.
10．金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美､营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲､乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲､乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为.乙生产线统计数据的均值为，方差为，下列说法正确的是（ ）
A．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82
B．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775
C．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值
D．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定
【答案】ACD
【分析】AB选项，根据百分位数定义求解出上四分位数；C计算出甲生产线数据平均数，从而得到结论；D选项，由两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差大小得到结论.
【详解】AB选项，，则从小到大排列，第8个数为上四分位数，
即0.82，A正确，B错误；
C选项，甲生产线数据平均数为，
故两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量为，
因为，所以C正确；
D选项，甲、乙生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差分别为，，
因为，所以甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定，D正确.
故选：ACD
11．已知正方体的棱长为，点，是棱，的中点，点是侧面内运动（包含边界），且与面所成角的正切值为，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．存在点，使得
C．存在点，使得平面D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为
【答案】ACD
【分析】由正方体的性质得为与面所成角，且，进而得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知，在正方体中，平面，
所以，为与面所成角，且，
因为正方体的棱长为，与面所成角的正切值为
所以，解得，
所以，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，如图.
此时.
对于A选项，有，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最小值为，正确；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
假设存在点，使得，则，平面
由于平面，故有，
另一方面，在侧面中，取棱的中点，
由点是棱的中点，进而结合平面几何知识易得，
故要使，则点与点重合，
由于，，显然不重合，故错误；
对于C选项，如图，设，则易知为中点，连接，
因为点，是棱，的中点，
所以，在中，，，
所以，四边形为平行四边形，即，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为，所以平面平面，
所以，当为与弧的交点时，平面，故平面，正确；
对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段形成的曲面是以为顶点，点为底面圆心，底面半径为的圆锥的部分侧面，
所以，其所在的圆锥的母线长为，
因为，，
所以，，
所以，弧的长为，
所以，结合扇形面积公式，所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故正确.
故选：ACD
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．对任意，，函数有且只有两个极值点
B．存在，，曲线有经过原点的切线
C．对于任意，且，均满足
D．当时，恒成立
【答案】BCD
【分析】根据当时，，研究函数的极值点与过原点的切线问题判断AB；证明当时，函数为凹函数即可判断C；分，同奇数或同偶数时和，是一奇，一偶数时讨论判断D.
【详解】对于A选项，当时，，，解得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数只有一个极小值点，故A选项错误；
对于B选项，由A选项知，当时，，，
假设其存在过原点知切线，则可设切点为，斜率为
所以，其切线方程为：
又因为其过坐标原点，则，整理解方程得，
故该曲线存在过原点的切线，B选项正确；
对于C选项，对于，，
故当时，有解，即为，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以当时，函数为凹函数，
所以对于任意，且，均满足，故C选项正确；
对于D选项，当时，，
当，同为奇数时，函数为奇函数，，则，故，即成立；
当，同为偶数时，函数为偶函数，，则，故，即成立；
当为奇数，为偶数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为奇数，为偶数时，成立；
当为偶数，为奇数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为偶数，为奇数时，成立；
综上，当时，恒成立.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题C选项解题的关键在于证明当时，函数为凹函数，D选项的关键在于对，的奇偶性分类讨论，并比较大小即可.
三、填空题
13．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
【答案】
【分析】根据题意解方程即可得解.
【详解】由题意可知：，解得，
所以.
故答案为：.
14．曲线围成的图形的面积是___________.
【答案】##
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，
因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
∴，
故围成的图形的面积为：.
故答案为：.
15．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于､两点，若是线段的中点，且，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【分析】设出直线，与双曲线渐近线方程联立，得到点坐标，进而得到中点的坐标，利用，列出方程，得到，从而求出离心率.
【详解】设直线为，
双曲线的渐近线方程为，
联立可得，，，不妨令，
同理可得，
设，则，，
故，
故，
解得，方程两边同时除以得，
，令，
可得，解得或1（舍去），
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
16．､､､､五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若队2胜2负，队得8分，队得9分，队胜了队，则队得分为___________.
【答案】1
【分析】根据队得8分，队得9分，可得队2胜2平，队3胜1负，先分析队的的情况，在分析队的情况，再分析队的情况，即可得出答案.
【详解】由题意每个队伍都进行了四场比赛，
因为队得8分，队得9分，
所以队2胜2平，队3胜1负，
又因队2胜2负，
则队只能和､是平局，所以队胜了､两队，
因此队负的一场，输给队，即队胜了三队，
所以队赢､两队，
又因为队胜了队，
所以队负了三场，平了一场，赢了零场，
所以队得分为1分.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：完成本题的关键是抓住“队2胜2负，队得8分，队得9分”这三个条件，以此为突破口，根据赛制与得分之间的逻辑关系进行推理分析，进而得出结论.
四、解答题
17．记的内角､､的对边分别为､､，已知.
(1)证明：；
(2)若，，角的内角平分线与边交于点，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，
所以；
（2）由余弦定理得：，，
又，
所以，，
由角平分线定理可得，，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
18．调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？
【答案】(1)，375人
(2)（i）；（ii）至少要访谈48位业主
【分析】（1）根据红球与白球的个数比例以及问卷调查的情况，通过比例求解即可；
（2）（i）由每位代表投赞同票的概率均为，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可；
（ii）由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使满意度提高到80%，可设设至少要访谈位业主，列出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）记：事件“业主对物业工作表示满意”，则，
所以，（人），
故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；
（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为，
方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以，
故某个问题能够被解决的概率；
（ii）设至少要访谈位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，
要使业主满意的比例提高到80%，则有
，
故至少要访谈48位业主．
19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：等腰梯形中，，，
作交于，如图，则是菱形，，
是等边三角形，则，，，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，又，
所以，而由（1）知，因此，
建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，，则，
又，，所以，
设（），，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，取平面的法向量，
，则（负值舍去），
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，直线与平面所成的角正弦值为.
【点睛】20．已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”.
(1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.
【答案】(1)不是“梦想数列”，理由见解析
(2)是“梦想数列”，理由见解析
(3)“梦想数列”是等差数列，理由见解析
【分析】（1）分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数､､，验证不满足，则不是“梦想数列”；
（2）由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”；
（3）先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证.
【详解】（1）
，所以，
当时，，，
所以，不是“梦想数列”
（2），，，
，
所以，是“梦想数列”
（3）①令，，，
所以，，即：､､成等差数列，
②令，，，
，
化简为：，
两式相减得：
所以，，当时也成立.
综上可得，“梦想数列”是等差数列.
21．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为.
(1)求､的方程；
(2)设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点､，直线､分别与相交与､.
（i）设直线､的斜率分别为､，求的值；
（ii）记､的面积分别是､，求的最小值.
【答案】(1)，；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）解，即可得出轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；
（2）联立直线与抛物线的方程，得到，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出的值；联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式，然后根据基本不等式即可得出最小值.
【详解】（1）解，可得，
所以，轴被抛物线截得的线段长为.
由已知可得，，解得，.
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）（i）由（1）知，.
设直线的方程为，，.
联立直线与抛物线的方程，
可得，
则.
又，，
所以.
（ii）联立直线与抛物线的方程，
可得，则.
同理：.
设，.
联立直线与椭圆的方程，
可得，
则，
同理可得，.
由图象知，，，，
所以，
，当且仅当时，取等号
所以，的最小值为.
【点睛】方法点睛：联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式.
22．已知函数.
(1)当时，求过原点且与相切的直线方程；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点坐标，则切线方程为：，再把点带入切线可得参数即可得切线；
（2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为.
【详解】（1）的定义域为，，
设切点坐标，则切线方程为：，
把点带入切线得：，，得，
所以的切线方程为：.
（2）有两个不同零点，
则，
构造函数，，
所以为增函数，且，
即有两个不等实根，则，
令，，则，，
所以，则，，
故，
而两边取对数，可转化为，即，，
【方法一】：含参讨论单调性
由，可得，，即，
设，
则，
因为，根据对勾函数在上单调递减，易知，，所以，
①当，即时，，故当时，，符合题意；
②当，即时，显然存在，使得，即
当时，，当时，，
故，不符合题意，
综上，的取值范围为.
【方法二】：单调性求最值+洛必达法则
设，则在上恒成立，，
设，，
在递增，，则在递减，
所以的最小值接近极限值，
所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
一、单选题
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可推得，代入即可解得，代入即可得出答案.
【详解】由题意可知，，即，所以，
所以，.
故选：D.
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解.
【详解】设，，
所以，所以，
解得：，
所以.
故选：C
3．已知向量，，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：B.
4．有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中集训营安排5人，集训营与集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ）
A．18B．22C．30D．36
【答案】B
【分析】利用特殊元素优先考虑及分类加法计数原理即可求解.
【详解】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第2类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第3类：2个女生分别去，5个男生去了，有种；
根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为种.
故选：B.
5．两条直线和分别与抛物线交于异于原点的､两点，且直线过点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的坐标，由两点斜率可得的值．
【详解】联立，由于，可得，，即，
同理可得，
由直线经过,所以 ，化简得，
由于 所以，
故选：C
6．如图，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案.
【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.
取圆台的轴截面
由题意知，球心一定在线段或的延长线上
如图1，当球心在线段上时.
过点作于点，则，，
所以，.
设球的半径为，，，
则由勾股定理可得，，即，
整理可得，解得（舍去）；
如图2，当球心在的延长线上时.
过点作于点，则，，
所以，.
设球的半径为，，则，
则由勾股定理可得，，即，
整理可得，解得.
所以，，
所以，圆台外接球的表面积为.
故选：D.
7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）
A．6B．12C．30D．56
【答案】C
【分析】利用函数是上奇函数且满足，得出函数是周期为4的周期函数，且关于直线对称，利用周期性和对称性，讨论出函数在一个周期内的单调性，从而判断出方程在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程在区间上所有实数根之和.
【详解】因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，
考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，
故当时，，当，，
当时，，当时，，
因为方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，方程在区间和区间上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数在区间上恰好3个周期，所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间上所有实数根之和为,
故选：C.
8．已知三个互异的正数，，满足，，则关于，，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把变形为，构造函数，求导，得，或，，然后构造，利用函数单调性比较即可.
【详解】因为，所以，设，
则，令得，令得，
所以函数在递减，函数在递增，所以，
（1）当，时，，
设，易知在上单调递减，
且，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，所以；
（2）当，时，，设，
易知在上单调递减，且，
所以，以，所以，
又，所以，所以，所以所以；
综上可得：成立.
故选：D
二、多选题
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期是
C．在单调递增D．的最小值为
【答案】AD
【分析】利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB；求出在的单调性即可判断C；讨论去绝对值再利用三角函数的性质可得函数的最小值可判断选项D.
【详解】对于A，，因为，所以是偶函数，故选项A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期不是，故B错误；
对于C，当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，，且，
所以，；
当时，，且，
所以，，
所以在上值域为，
又，
所以是的周期，
所以在上值域为，故函数的最小值为，故D正确.
故选：AD.
10．金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美､营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲､乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲､乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为.乙生产线统计数据的均值为，方差为，下列说法正确的是（ ）
A．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82
B．甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775
C．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值
D．由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定
【答案】ACD
【分析】AB选项，根据百分位数定义求解出上四分位数；C计算出甲生产线数据平均数，从而得到结论；D选项，由两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差大小得到结论.
【详解】AB选项，，则从小到大排列，第8个数为上四分位数，
即0.82，A正确，B错误；
C选项，甲生产线数据平均数为，
故两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量为，
因为，所以C正确；
D选项，甲、乙生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差分别为，，
因为，所以甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定，D正确.
故选：ACD
11．已知正方体的棱长为，点，是棱，的中点，点是侧面内运动（包含边界），且与面所成角的正切值为，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．存在点，使得
C．存在点，使得平面D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为
【答案】ACD
【分析】由正方体的性质得为与面所成角，且，进而得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知，在正方体中，平面，
所以，为与面所成角，且，
因为正方体的棱长为，与面所成角的正切值为
所以，解得，
所以，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的弧，如图.
此时.
对于A选项，有，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最小值为，正确；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
假设存在点，使得，则，平面
由于平面，故有，
另一方面，在侧面中，取棱的中点，
由点是棱的中点，进而结合平面几何知识易得，
故要使，则点与点重合，
由于，，显然不重合，故错误；
对于C选项，如图，设，则易知为中点，连接，
因为点，是棱，的中点，
所以，在中，，，
所以，四边形为平行四边形，即，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为，所以平面平面，
所以，当为与弧的交点时，平面，故平面，正确；
对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段形成的曲面是以为顶点，点为底面圆心，底面半径为的圆锥的部分侧面，
所以，其所在的圆锥的母线长为，
因为，，
所以，，
所以，弧的长为，
所以，结合扇形面积公式，所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故正确.
故选：ACD
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．对任意，，函数有且只有两个极值点
B．存在，，曲线有经过原点的切线
C．对于任意，且，均满足
D．当时，恒成立
【答案】BCD
【分析】根据当时，，研究函数的极值点与过原点的切线问题判断AB；证明当时，函数为凹函数即可判断C；分，同奇数或同偶数时和，是一奇，一偶数时讨论判断D.
【详解】对于A选项，当时，，，解得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数只有一个极小值点，故A选项错误；
对于B选项，由A选项知，当时，，，
假设其存在过原点知切线，则可设切点为，斜率为
所以，其切线方程为：
又因为其过坐标原点，则，整理解方程得，
故该曲线存在过原点的切线，B选项正确；
对于C选项，对于，，
故当时，有解，即为，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以当时，函数为凹函数，
所以对于任意，且，均满足，故C选项正确；
对于D选项，当时，，
当，同为奇数时，函数为奇函数，，则，故，即成立；
当，同为偶数时，函数为偶函数，，则，故，即成立；
当为奇数，为偶数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为奇数，为偶数时，成立；
当为偶数，为奇数时，时，，
当时，，即；
当时，，即；
故为偶数，为奇数时，成立；
综上，当时，恒成立.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题C选项解题的关键在于证明当时，函数为凹函数，D选项的关键在于对，的奇偶性分类讨论，并比较大小即可.
三、填空题
13．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
【答案】
【分析】根据题意解方程即可得解.
【详解】由题意可知：，解得，
所以.
故答案为：.
14．曲线围成的图形的面积是___________.
【答案】##
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，
因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
∴，
故围成的图形的面积为：.
故答案为：.
15．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于､两点，若是线段的中点，且，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【分析】设出直线，与双曲线渐近线方程联立，得到点坐标，进而得到中点的坐标，利用，列出方程，得到，从而求出离心率.
【详解】设直线为，
双曲线的渐近线方程为，
联立可得，，，不妨令，
同理可得，
设，则，，
故，
故，
解得，方程两边同时除以得，
，令，
可得，解得或1（舍去），
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
16．､､､､五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若队2胜2负，队得8分，队得9分，队胜了队，则队得分为___________.
【答案】1
【分析】根据队得8分，队得9分，可得队2胜2平，队3胜1负，先分析队的的情况，在分析队的情况，再分析队的情况，即可得出答案.
【详解】由题意每个队伍都进行了四场比赛，
因为队得8分，队得9分，
所以队2胜2平，队3胜1负，
又因队2胜2负，
则队只能和､是平局，所以队胜了､两队，
因此队负的一场，输给队，即队胜了三队，
所以队赢､两队，
又因为队胜了队，
所以队负了三场，平了一场，赢了零场，
所以队得分为1分.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：完成本题的关键是抓住“队2胜2负，队得8分，队得9分”这三个条件，以此为突破口，根据赛制与得分之间的逻辑关系进行推理分析，进而得出结论.
四、解答题
17．记的内角､､的对边分别为､､，已知.
(1)证明：；
(2)若，，角的内角平分线与边交于点，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，
所以；
（2）由余弦定理得：，，
又，
所以，，
由角平分线定理可得，，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
18．调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？
【答案】(1)，375人
(2)（i）；（ii）至少要访谈48位业主
【分析】（1）根据红球与白球的个数比例以及问卷调查的情况，通过比例求解即可；
（2）（i）由每位代表投赞同票的概率均为，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可；
（ii）由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使满意度提高到80%，可设设至少要访谈位业主，列出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）记：事件“业主对物业工作表示满意”，则，
所以，（人），
故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；
（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为，
方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以，
故某个问题能够被解决的概率；
（ii）设至少要访谈位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，
要使业主满意的比例提高到80%，则有
，
故至少要访谈48位业主．
19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：等腰梯形中，，，
作交于，如图，则是菱形，，
是等边三角形，则，，，
所以，即，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，又，
所以，而由（1）知，因此，
建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，，则，
又，，所以，
设（），，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，取平面的法向量，
，则（负值舍去），
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，直线与平面所成的角正弦值为.
【点睛】20．已知数列，设，若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数､､，都有，则称数列为“梦想数列”.
(1)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
(3)判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.
【答案】(1)不是“梦想数列”，理由见解析
(2)是“梦想数列”，理由见解析
(3)“梦想数列”是等差数列，理由见解析
【分析】（1）分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数､､，验证不满足，则不是“梦想数列”；
（2）由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”；
（3）先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证.
【详解】（1）
，所以，
当时，，，
所以，不是“梦想数列”
（2），，，
，
所以，是“梦想数列”
（3）①令，，，
所以，，即：､､成等差数列，
②令，，，
，
化简为：，
两式相减得：
所以，，当时也成立.
综上可得，“梦想数列”是等差数列.
21．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为.
(1)求､的方程；
(2)设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点､，直线､分别与相交与､.
（i）设直线､的斜率分别为､，求的值；
（ii）记､的面积分别是､，求的最小值.
【答案】(1)，；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）解，即可得出轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；
（2）联立直线与抛物线的方程，得到，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出的值；联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式，然后根据基本不等式即可得出最小值.
【详解】（1）解，可得，
所以，轴被抛物线截得的线段长为.
由已知可得，，解得，.
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）（i）由（1）知，.
设直线的方程为，，.
联立直线与抛物线的方程，
可得，
则.
又，，
所以.
（ii）联立直线与抛物线的方程，
可得，则.
同理：.
设，.
联立直线与椭圆的方程，
可得，
则，
同理可得，.
由图象知，，，，
所以，
，当且仅当时，取等号
所以，的最小值为.
【点睛】方法点睛：联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式.
22．已知函数.
(1)当时，求过原点且与相切的直线方程；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点坐标，则切线方程为：，再把点带入切线可得参数即可得切线；
（2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为.
【详解】（1）的定义域为，，
设切点坐标，则切线方程为：，
把点带入切线得：，，得，
所以的切线方程为：.
（2）有两个不同零点，
则，
构造函数，，
所以为增函数，且，
即有两个不等实根，则，
令，，则，，
所以，则，，
故，
而两边取对数，可转化为，即，，
【方法一】：含参讨论单调性
由，可得，，即，
设，
则，
因为，根据对勾函数在上单调递减，易知，，所以，
①当，即时，，故当时，，符合题意；
②当，即时，显然存在，使得，即
当时，，当时，，
故，不符合题意，
综上，的取值范围为.
【方法二】：单调性求最值+洛必达法则
设，则在上恒成立，，
设，，
在递增，，则在递减，
所以的最小值接近极限值，
所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
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