2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（文科）

展开

这是一份2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（文科），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M＝{y|y＝2x, x∈R}，集合N＝{x|y＝lg(3−x)}，则M∩N＝（）
A.{y|y≥3}B.{y|y≤0}C.{y|0
2. 设z＝1−2i（i是虚数单位），则||＝（）
A. B.2C. D.1

3. “lg3a”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π＝3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）
A.55B.50C.45D.40

5. 如图的茎叶图是甲、乙两位学生在学校举办的知识竞赛几轮比赛中的得分，则下列说法正确的是（）

A.甲的平均数大于乙的平均数B.甲的中位数大于乙的中位数
C.甲的方差大于乙的方差D.甲的方差小于乙的方差

6. 函数y＝ln|x|+的图象大致为（）
A.B.
C.D.

7. 已知菱形ABCD的边长为2，，∠ABC＝120∘，则的值为（）
A.B.C.D.

8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题中错误的是（）

A.直线PC1和平面AA1D1D所成的角为定值
B.点P到平面C1BD的距离为定值
C.异面直线C1P和CB1成的角为定值
D.直线CD和平面BPC1平行

9. 已知等差数列{an}中，a1+a3+2a8＝4，则2•2•2……•2＝（）
A.32B.256C.512D.1024

10. 已知双曲线C：＝1(a>0, b>0)满足条件：（1）虚轴长为4；（2）离心率为，求得双曲线方程为f(x, y)＝0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线方程仍为f(x, y)＝0，则下列四个条件中，符合添加的条件的个数为（）
①双曲线C上任意的点P到焦点F1，F2的距离都满||PF1|−|PF2||＝2；
②双曲线C的焦点为F1(0，- ），F2(0，）；
③双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0；
④双曲线C的一个顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合．
A.1B.2C.3D.4

11. 已知数列{an}满足a1＝1，anan+1＝2n(n∈N*)，则S2021＝（）
A.3(21011−1)B.21011−3C.3(21010−1)D.21012−3

12. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离．已知正△ABC的顶点都在半径为2的球面上，球心到△ABC所在平面距离为，则A，B两点间的球面距离为（）
A.πB.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.

若实数x，y满足约束条件，则z＝x−3y的最大值是________．

已知函数f(x)= 2x+1，x≤0lg12x，x>0，则不等式f(x)>1的解集为________．

已知M是抛物线y2＝4x上一动点，N是圆x2+(y−4)2＝4关于直线x−y＝0对称的曲线C上任意一点，则|MN|的最小值为________．

定义在(0, +∞)的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)＝，f(1)＝1，则f(x)的零点是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）若a＝3，b＝，求c；

（2）求的取值范围；

如图(1)，在等边三角形ABC中，AB＝12，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图(2)）．

（1）求证：平面PBE⊥平面PED；

（2）若PB＝4 ，PE＝4，求PB与平面PEC成角的正弦值．

据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜，因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展．A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的6人中，2名是男生，4名是女生）
（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率是多大？

（2）从这6名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率．

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，椭圆C过点(1，）．
（1）求椭圆C的方程；

（2）已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．

已知函数f(x)＝，g(x)＝a(x−lnx)(a∈R)．
（1）求函数g(x)的极值；

（2）若h(x)＝f(x)−g(x)在x∈[1, +∞)上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.[4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：θ＝φ与曲线C交于点T，将射线OT绕极点逆时针方向旋转90∘交曲线C于点N．
（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）求△TON面积的范围．
[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f(x)≥4−x；

（2）a，b∈{y|y＝f(x)}，试比较2(a+b)与ab+4的大小．
参考答案与试题解析
2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题如，目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
模拟方法估计概率
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数的奇偶性，对称性以及函数值的对应性，以及极限思想，进行排除即可．
【解答】
函数的定义域为{x|x≠0}，
函数f(−x)＝f(x)，即函数是偶函数，排除D，
当x＝e时，f(e)＝lne+e2−＝1++e2−＝e4+>8，
当x→+∞，f(x)→0，
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
球面距离及相关计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
【答案】
3
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(−1, 12)
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
由题意利用分段函数，解对数不等式，求得x的范围．
【解答】
函数f(x)= 2x+1，x≤0lg12x，x>0，则由不等式f(x)>1可得
x≤02x+1>1 ①，或 x>0lg12x>1 ②．
解①求得−1综上可得，不等式的解集为(−1, 12)，
【答案】
2−2
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分
【答案】
由asin2B＝bsinA，得sinA⋅2sinBcsB＝sinBsinA，
则csB＝，即B＝，
由余弦定理b7＝a2+c2−4accsB，得7＝c2+8−2c×3×cs＝c2−3c+3，
即c2−3c+3＝0，解得c＝1或c＝8．
当c＝1时，b2+c3−a2＝−2<8,则csA<0，
故c＝2符合．
由（1）得B＝，所以C＝，
则＝＝＝sin(2A−)，
∵ △ABC为锐角三角形，∴ ∴ sin(−)则-×即−1< <1，
故的取值范围是(−4．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为DE⊥AB，所以DE⊥PE，
又因为PE∩BE＝E，所以DE⊥平面PEB，
又因为DE⊂PDE，所以平面PDE⊥平面PBE，
故平面PBE⊥平面PED．
因为PE＝4，AB＝12，
又因为PB＝4 ，所以PB2＝PE2+EB5，
所以PE⊥EB，所以ED、EP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
P(0, 0, 2)，8，0)，7，0)，4，0)，
＝(0, 8, −4)，，0，5)，，2，2)，
设平面PEC的法向量为＝(x，y，
，令x＝1，，−3，
所以PB与平面PEC成角的正弦值为＝＝．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为样本容量为100，佩戴角膜塑形镜的6人，
若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率P＝．
两名男生用a，b表示，6，3，4表示，
记“选8个人，其中男生至少一人”为事件A，
总事件有ab1，ab2，ab5，a13，a23，a34，b13，b23，b34，124，234，
满足条件的有ab1，ab2，ab8，a13，a23，a34，b13，b23，b34，
则P(A)＝＝．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由条件知，解得，
因此椭圆C的方程为；
设A(x8, y1)，B(x2, y2)，则，，
设直线l的方程为x＝my+7，
代入椭圆C的方程消去x，得(3m2+3)y2+6my−8＝0，
由韦达定理得，，
＝(my1+2)(my2+2)+y1y7
＝(1+m2)y2y2+2m(y8+y2)+4＝
＝，
∵ 3m2+2≥4，∴ 0<，
∴ ∈(−3，]．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
当a＝0时，g(x)＝0,
当a≠5时，g′(x)＝a(1−，令g′(x)＝0,
当a>0时,8)时<0, g(x)单调递减,
当x∈[1, +∞)时>4, g(x)单调递增,
∴ g(x)的极小值是g(1)＝a，无极大值；
当a<0时,1)时>3, g(x)单调递增,
当x∈[1, +∞)时<0, g(x)单调递减,
∴ g(x)的极大值是g(1)＝a，无极小值；
综上，a＝6时；a>0时，无极大值；
a<0时，无极小值．
令h(x)＝f(x)−g(x)＝−a(x−lnx)(x≥8)(x≥1)，
而f′(x)＝,x∈[1, f′(x)>2，故f(x)≥f(1)＝e,
①a0, h(x)没有零点；
②a＝e时，h′(x)≥8, +∞)递增min＝h(1)＝e−a＝0,故h(x)的唯一零点是x＝1；
③a>e时−a是增函数，ymin＝e−a<5,
故存在x0∈[1, +∞)−a＝0, x4)上，h′(x)<0，
在(x0, +∞)上，h′(x)>4，h(1)＝e−a<0,
在[1, x4)上，h(x)<0a)＝−a(ea−a)＝+a7,
下面证明>ae2a即证明ea>lna+2a,
令m(a)＝ea−lna−8a,则m′(a)＝ea−−2为增函数，
a>e时>2, m(a)是增函数e−1−2e>5,
故m(a)>0, h(ea)>0, h(x)在(x6, +∞)上存在唯一零点，
综上：a的取值范围是[e, +∞)．
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.[4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
曲线C的参数方程为（α为参数），
根据转换为极坐标方程为．
由（1）知：曲线C的极坐标方程为，
设T(ρ1, α)N（），
所以，，
则：＝，
＝，
由于sin82α∈[0, 2]，
所以．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)对x讨论，当x<−1时，当−1≤x≤2时，当x>2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；
(Ⅱ)由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．
【解答】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)

2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（文科）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网