2023届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题含解析

2023届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：或，即，

.

故选：C.

2．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】C

【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部.

【详解】，

故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.

故选：C

3．在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（    ）

A．7.7 B．7.8 C．7.9 D．8.0

【答案】D

【分析】根据所给条件可得出，再由的范围验证选项即可得解.

【详解】因为去掉最高分与最低分后平均分为，

所以，

解得，

由于得分按照从低到高的顺序排列的，故，，

当时，，满足上述条件，故A错误；当时，，满足上述条件，故B错误；当时，，满足上述条件，故C错误；当时，，不满足上述条件，故D正确.

故选：D

4．等差数列中，，则数列的前9项之和为（    ）

A．24 B．27 C．48 D．54

【答案】B

【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】解：在等差数列中，，则

所以，又，

所以，

所以.

故选：B

5．香农-威纳指数（）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是，其中是该群落中生物的种数，为第个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲､乙､丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知公式和对数运算直接计算求解即可.

【详解】由题意知：.

故选：A.

6．如图，在中，，则（    ）

A．9 B．18 C．6 D．12

【答案】D

【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案.

【详解】由可得：，

所以，所以，

，

因为，

所以.

故选：D.

7．棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图还原三棱锥，求得棱锥表面积和体积后，代入公式即可求得内切球半径.

【详解】由三视图可还原三棱锥如下图所示，

其中平面，，，

，

棱锥表面积，

该棱锥的内切球半径.

故选：C.

8．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得结果.

【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，

以为起点，为终点时，共有种方法；

同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；

完成该图“一笔画”的方法数为种.

故选：C.

9．以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A．或2 B．2或 C． D．

【答案】B

【分析】先由双曲线与圆的对称性得到，再将代入，从而得到，，进而结合得到关于的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率的方程即可得解.

【详解】依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形为矩形，如图，

不放设点位于第一象限，则，

因为双曲线的渐近线方程为，则，

以双曲线的实轴为直径的圆的方程为，则，

将代入，得，

则，即，所以，则，故，

又，所以，则，则，

所以，则，即，

所以，即，解得或，

因为，所以或.

故选：B.

10．函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

①的图象关于直线对称

②的图象关于点对称

③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

A．①④ B．②④ C．③④ D．②③

【答案】B

【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．

【详解】解：由函数的图象可得，由，解得，

又函数过点，所以，，

又，得，所以函数，

当时，，即的图象关于点对称，故②正确；

当时，，故①错误；

将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；

当，则，

令，解得，此时，即，

令，解得，此时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，

所以，故④正确；

故选：B

11．如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.

【详解】设外心为，外心为，DB中点为E.

因，平面，平面平面，

平面平面，则平面，又平面，

则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，

则四边形为矩形.外接圆半径.

又因，，则.故外接圆半径.

又.

 又平面，平面，则.

故外接球半径，

故外接球表面积为.

故选：A

【点睛】结论点睛：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为，底面与侧面公共棱长度为，则外接球半径.

12．已知正实数，若，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知关系式的特征可构造函数，利用导数可求得单调性，并确定的图象，根据，结合图象可确定的大小关系.

【详解】令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

又，当时，恒成立，可得图象如下图所示，

，，；

，，；

综上所述：.

故选：D.

【点睛】关键点点睛；本题考查构造函数比较函数值大小的问题，解题关键是能够根据已知关系式的结构特征，准确构造函数，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，从而利用导数确定函数的单调性和图象来进行求解.

二、填空题

13．函数在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出导函数，再求得，从而可求得其切线方程．

【详解】由得，

所以，又，

即为切点，所以切线方程为，即.

故答案为：．

14．正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】##6.25

【分析】根据，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】，，，，

（当且仅当时取等号），

即的最小值为.

故答案为：.

15．赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.

【答案】.

【分析】根据图形，由面积可得出直角三角的三边长，求出角的三角函数，利用求解.

【详解】由题意得，，故直角三角形斜边为，

设直角三角形中较短直角边长为，如图中，则较长直角边长为，

如图中,

则由勾股定理可得，解得，

，

，,

.

故答案为：.

16．抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.

【答案】##

【分析】设直线的方程为，由题意可知圆的圆心为弦的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出，再由弦长公式即可得解.

【详解】由可得，

故圆心，半径，

因为直线l过圆心M且，所以，，即为的中点，

显然，直线斜率为0时，不符合题意，设直线的方程为，

联立，消元得，

设，由，

所以，

由为的中点可知，，即，

所以

,

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.

(1)证明数列是等比数列；

(2)若，求数列前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再根据求和公式得到，再证明即可；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）∵是等比数列，且①，

又、、成等差数列，∴，∴②，

联立①②解得，

∴，

∴，

∴，

∴数列是公比为的等比数列．

（2）由（1）知，所以，

∴①，

②，

①②得，

，

整理得.

18．2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.

(1)根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关

(2)分布列见解析， 1.

【分析】（1）由题意列出列联表，计算，即可得出结论；

（2）女生被抽到得的人数X可取0，1，2，根据古典概型分别计算概率，列出分布列，求出期望.

【详解】（1）列联表如下：

，

有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关.

（2）(2)在抽取的6人中，女生有人，男生有人，

则这6人中随机抽取3人进一步访谈，女生被抽到得的人数X可取0，1，2，

，

，

的分布列为：

.

19．如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，从而得到，利用等腰三角形三线合一性质可分别得到，结合平行关系和线面垂直的判定可证得结论；

（2）根据长度关系可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）取中点，连接，

为中点，，，又，

四边形为平行四边形，，，

分别为中点，，，

又为中点，，，，，

四边形为平行四边形，；

，为中点，，；

，，，四边形为正方形，

，，又，平面，

平面.

（2）由（1）知：，，又，；

，为中点，，

，，，

，又，平面，平面，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，；

平面，平面的一个法向量为，

，

由图形知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

20．已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)在轴上存在定点或，使得

【分析】（1）根据对称性可得点，在椭圆上，再由得到方程组，解得、，即可得解；

（2）设存在定点，过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线，求出点坐标，同理可得点坐标，根据求出的值，即可得解.

【详解】（1）根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，

对于，令得，解得，所以，

则，

∴椭圆的方程为.

（2）解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，

联立，

则由韦达定理有：，，

由的标准方程得，

设直线，当时，，

同理，设直线，当时，，

∴，，

∴

，解得，

故在轴上存在定点或，使得.

21．已知函数，.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：当时，，．

则，令，解得或，

又因为，所以．

列表如下：

因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．

（2）解：因为，，

所以，，

若对任意且恒成立

不妨令，则

，

令，只需证明在单调递增，

因为，则，

所以在时恒成立，即，，

令，，则，

因为，所以令，解得，令，解得，

从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．

【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．如图，在极坐标系中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，M是半圆弧上的一个动点.

(1)若点A是圆O与极轴的交点，求的最大值；

(2)若点N是射线与圆O的交点，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，得到半圆弧的直角坐标方程，从而可得的最大值；

（2）根据题意，表示出，结合三角形的面积公式，即可得到，再根据三角恒等变换公式化简，即可得到结果.

【详解】（1）由题知，半圆弧的极坐标方程为:，

化为直角坐标方程为:，其圆心为，半径为，

由题可知，所以

（2）

由题知，，，

所以

因为，所以，即，

所以

23．已知.

(1)求的取值范围；

(2)若，，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）采用三角换元法可将化为，由正弦型函数值域可求得结果；

（2）利用基本不等式可求得，由此可整理证得结果.

【详解】（1），可设，，，

（其中，），

，即的取值范围为；

（2），，，，（当且仅当，时取等号），

，

即，.