2023贵州省六校联盟高三下学期3月适应性考试（三）数学（理）含解析

秘密★启用前

理科数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2.设，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.高三某班级体温检测员对甲、乙两名同学1至7日的体温进行了统计，其结果如图1所示，则下列结论不正确的是（    ）

A.甲同学的体温的极差为0.5℃

B.甲同学的体温的众数为36.3℃

C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定开始

D.乙同学的体温的中位数与平均数不相等

4.若某程序框图如图2所示，已知该程序运行后输出的值是，则判断框的条件可能是（    ）

A. B. C. D.

5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图3甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为（    ）

甲       乙

A. B. C. D.

6.已知数列中，，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象经过原点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

8.一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能向前走），一共有多少种不同的走法？（    ）

A.11种 B.12种 C.13种 D.14种

9.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

10.已知实数，满足，则的最大值为（    ）

A. B.2 C. D.4

11.已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于，两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知单位向量和，满足则和的夹角等于______.

14.已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.

15.已知动点到点和点的距离之比为，若至少存在3个点到直线：的距离为，则的取值范围为______.

16.如图4，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，有以下结论：

①在平面上的投影图形的面积为定值；

②平面截该正方体所得的截面图形是五边形；

③的最小值是；

④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为

其中正确的是______.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为“合格”，作出茎叶图如图5：

（1）分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；

（2）根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？

附：

18.（本小题满分12分）

在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且

（1）求的值；

（2）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值

19.（本小题满分12分）

如图6甲，已知四边形是直角梯形，，分别为线段，上的点，且满足，，，，将四边形沿翻折，使得，分别到，的位置，并且，如图乙

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值

甲  乙

20.（本小题满分12分）

已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点在直线：上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线与直线交于点，过抛物线的焦点作直线的垂线交直线于点，当最小时，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数

（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，椭圆的焦点在轴上，中心为原点，，分别为椭圆的左、右焦点，为上顶点，，焦距为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）写出直线的直角坐标方程和的一个参数方程；

（2）已知不过第四象限的直线；与有公共点，求的最大值与最小值

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若，求实数的取值范围

2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（三）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1.由，得，故选D.

【考查目标】本题主要考查集合的交集运算，考查学生数学运算的核心素养.

2.，故，故选A.

【考查目标】本题主要考查复数的四则运算和几何意义，考查学生数学运算的核心素养.

3.对于A：甲同学的体温的极差为，故A选项正确；对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；对于C：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C选项正确；对于D：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，D选项错误，故选D.

【考查目标】本题主要考查统计图形中的样本数字特征，考查学生逻辑推理和数据分析的核心素养.

4.假设先执行若干次循环：，；，；，，…，，；，；结束循环，再分析选项，只有符合题意，故选B.

【考查目标】本题主要考查程序框图与数列裂项求和，考查学生数学运算的核心素养.

5.设圆柱的高为，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱侧面的表面积之和，即，解得，所以圆柱的高和球的半径的比为，故选B.

【考查目标】本题主要考查空间立体几何圆柱与球，考查学生数学抽象与数学运算的核心素养.

6.当时，，当时，∵①，∵②，①−②得：，当时也成立，故，，，…，构成首项是，公差的等差数列，所以，故选A.

【考查目标】本题主要考查等差数列基本量的运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.

7.∵函数的最小正周期为，∴，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为.因为其图象经过原点，所以，所以，，解得，.又，所以的最小值为，故选C.

【考查目标】本题主要考查三角函数图象的变换，考查学生逻辑推理、数学运算的核心素养.

8.从10级台阶至6级台阶分别用至表示，表示甲走到第级台阶时，所有可能不同的走法，则①从第11级台阶迈步到第10级台阶需要1步，即当时，；②从第11级台阶迈步到第9级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨2级台阶，即当时，；③从第11级台阶迈步到第8级台阶可以一步一级跨，也可以一步跨3级台阶，还可以第一步跨1级台阶，第二步跨2级或第一步跨2级，第二步跨1级，即当时，；当时，分三种情况讨论，如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有（种）跨法.如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有（种）跨法.如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有（种）跨法.根据加法原理，有，类推，当时，甲只能从2，3，4跨到5，则，故选C.

【考查目标】本题主要考查计数原理与排列组合，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养.

9.，要使函数在处取得极小值，则，故选B.

【考查目标】本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养.

10.可变形为，因为，所以，解得，当且仅当即，时，取到最大值，故选C.

【考查目标】本题主要考查不等式的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.

11.设，则，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，连接，则有，，由于在以为直径的圆周上，∴，∵为平行四边形，，∴，在直角三角形中，，，解得，，；在直角三角形中，，，得，又因为，，，双曲线的方程为，故选D.

【考查目标】本题主要考查双曲线的性质和方程，考查学生逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养.

12.问题转化为方程：有三个大于0的根，即等价于与在上有三个交点，如图1所示，显然，当时，不符合题意.当时，只需满足且方程：有两根，即可（需验算两根均大于，验算根符合条件的过程略）.，故选C.

【考查目标】本题主要考查函数的性质综合，考查学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13.依题意有，，解得，故.

【考查目标】本题主要考查平面向量，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.

14.∵，则.

【考查目标】本题主要考查等比数列和指、对数运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养.

15.设点的坐标为，有，整理得，所以为圆上的点，直线：过定点，点在圆上，设为圆心到直线的距离，令，解得，故.

【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养.

16.①在平面上的投影图形为底为2高为2的三角形，故投影图形的面积为定值2，故①正确；②如图2，取的四等分点，则，平面截该正方体所得的截面图形是，为四边形，故②错误；③如图2，延长，使得，连接交上底面于点，

则，当，，三点共线时，

其和最小为，且，，

∴，的最小值是，故③正确；

④如图2，建立空间直角坐标系，

则，，∵，即，

化简得圆：，如图3，

点在上底面内运动路径的长度为劣弧，记为，∵

∴，故④正确.

【评分标准】有错选不得分，漏选给2分，全对给5分.

【考查目标】本题主要考查立体几何综合问题，考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解：（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为，则，

工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为，则

（2）根据茎叶图得列联表如下：

，

故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关.

【考查目标】本题主要考查茎叶图与独立性检验，考查学生逻辑推理、数学运算与数据分析的核心素养.

18.（本小题满分12分）

解：（1）∵，

又∵，∴，∴，

又∵，∴

∴

（2）设，，由（1）知，∴，

又∵，∴

∴，

所以的最小值为.

【考查目标】本题主要考查正余弦定理与最值问题，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养.

19.（本小题满分12分）

（1）证明：∵在图甲中，，，，

∴在图乙中有，，，

又∵与是平面内的交线，

∴平面，∴，

如图4，分别过，作，，垂足分别是，，

易知，∴，

又，∴，

同理，又，

∴，

∴，又与是平面内的交线，

∴平面，∴

（2）解：由（1）易知，可以为原点，分别以射线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，相应各点的坐标如下：

，，，，

设平面的一个法向量为

由

∴，

平面的一个法向量为，

，

∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.

【考查目标】本题主要考查异面直线垂直的判定、二面角的余弦值，考查学生逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养.

20.（本小题满分12分）

解：（1）因为点在抛物线：上，所以，

由抛物线的性质得：，

解得，即抛物线的方程为

（2）由题意可设，，，

因为，所以，即，

故，整理得，

设点，同理可得，

则直线方程为：，

令得，即点，

因为直线与直线垂直，所以直线方程为：

令得，即点，

∴，

当且仅当时，时上式等号成立，

联立得，

∴，

∴

【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的综合问题，考查学生数学运算的核心素养.

21.（本小题满分12分）

解：（1），，即切点为，该点处的斜率，

故切线：，

证明除了切点以外都在的上方，

即证恒成立，当且仅当时取等号，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

故，当且仅当时取等号，

∴除了切点以外都在的上方.

（2）令，，∵，

（i）当时，，故存在使得在，单调递减，

与题意矛盾；

（ii）当时，要证，

即证

即证，

令，

，由（1）可知，

故在区间上单调递增，

∴，∴，

显然，

即在时取等号成立.

综上，实数的取值范围是

【考查目标】本题主要考查利用导数求切线方程与证明、求参数的取值范围，考查学生数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.

22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）直线的直角坐标方程为，

由题可知，

因为

所以，

又，解得

∴，

则椭圆的一个参数方程为（为参数）.【答案不唯一，酌情给分】

（2）已知直线：，得，

因为直线与椭圆有公共点，设是椭圆上的点，

则，

因为，所以，

又因为直线不经过第四象限，所以的最大值为0，最小值为.

【考查目标】本题主要考查椭圆的参数方程、直线与椭圆的综合问题，考查学生直观想象与数学运算的核心素养.

23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）由题得，

则的图象如图5，

令，解得；

令，解得，

由图可知，不等式的解集为.

（2）如图6，在同一坐标系中画出与的图象，

当点在的图象上时，代入点

可得，解得或（舍去），

当点在的图象上时，

可得，解得，

数形结合可得或，

即实数的取值范围是.

【考查目标】本题主要考查双绝对值不等式求解和函数图象的应用，考查学生直观想象与数学运算的核心素养.