2023届广西桂林市、崇左市高三联考数学（理）模拟试题含解析

2023届广西桂林市、崇左市高三联考数学（理）模拟试题

一、单选题

1．设集合，集合．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件可得是方程的根，从而可求出的值，进而可求出集合

【详解】由得，即是方程的根，

所以，，

故选：C．

2．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】B

【分析】求出，进而求出的虚部.

【详解】，故，

所以的虚部为6

故选：B

3．已知实数x，y满足不等式组，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可

【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.

令得，

平移直线，

由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，

此时最大.

即.

当直线经过点时，直线的截距最小，

此时最小.

即.

故选：D.

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.

4．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的平方式，结合正弦函数的二倍角公式，可得答案.

【详解】∵，，

∴，，

∴．

故选：C．

5．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新的样本数据，，…，，其中（，2，…，n），且，则下列说法中错误的是（    ）

A．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍

B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍

C．新样本数据的方差是原样本数据方差的c倍

D．新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍

【答案】C

【分析】根据平均数，百分位数，极差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.

【详解】对于A，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍，选项A正确；

对于B，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍，选项B正确；

对于C，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍，所以选项C错误；

对于D，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍，选项D正确．

故选：C

6．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数，则函数的图象与函数图象所有交点的横坐标之和等于（    ）

A．12 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】由题意和图象平移法则得到函数解析式，求出函数的周期、对称中心，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，由图象判断出交点的个数，根据对称性求出答案．

【详解】函数的图象向左平移1个单位得

再向下平移1个单位得，即

∴函数的图象关于点对称，

且函数的周期是2，且点也是其对称点，

由，，，

在同一个坐标系中，画出两个函数的图象，如图：

由图象可知，两个函数在[-4，6]上共有12个交点，

两函数图像都关于点对称，则其交点也相应关于点对称，

设其中对称的两个点的横坐标分别为，

则，

所以12个交点的横坐标之和为6×2=12．

故选：A．

【点睛】本题考查函数交点个数以及数值的计算，函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于难题.

7．在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】展开式通项为，

依题意，则，

当时，，所以，

故选：C.

8．如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三视图得到几何体是四棱锥，得到边长数据，计算体积得到答案.

【详解】由三视图可得几何体是四棱锥，其中面面；

底面是边长分别为200和300的长方形；棱锥的高是200，

由棱锥的体积公式得，

故选：D

9．（山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试）设为数列的前项和，已知， ，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】根据题意，由，得，

则，，…，

将各式相加得，又，所以，

因此，

则

将上式减下式得，

所以.故选D.

点睛：此题主要考查了数列通项公式、前项和公式的求解计算，以及错位相消求各法的应用等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考知识点.错位相消求和法是一种重要的方法，一般适于所求数列的通项公式是一个等比数列乘于一个等差的形式，将求和式子两边同时乘于等比数列的公比，再两式作差，消去中间项，从而求得前项和公式.

10．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.

【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，

则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，

此时，，

所以，

在中，由余弦定理可得，

即，可得，

所以，

故选：D

11．已知四棱锥中，平面平面，为矩形，为等腰直角三角形， ，，则四棱锥外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连结，交于，由，得外接球的半径，由此能求出四棱锥的外接球的表面积．

【详解】解：取的中点，连接，连结，交于，连接，

依题意可得，因为平面平面，平面平面，

平面

，

，，

是矩形，

，

为四棱锥的外接球的球心，且外接球的半径，

四棱锥的外接球的表面积．

故选：

【点睛】本题考查面面垂直的性质，四棱锥外接球的表面积的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

12．已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可

【详解】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，

故选：B

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.

【答案】

【分析】由三角函数的定义，结合两角和与差的正弦、余弦公式求解

【详解】设点在角的终边上，可得，

则点在角的终边上，坐标为

故答案为：

14．在等比数列中，若，，则公比______．

【答案】

【分析】直接根据等比数列的通项公式计算即可.

【详解】解：根据题意，由，得，即，解得．

故答案为：．

15．若双曲线的一条渐近线方程过，则此双曲线的离心率为__________.

【答案】.

【分析】根据双曲线渐近线方程过点，将点代入渐近线方程即可求得，即可求得离心率．

【详解】双曲线的渐近线方程为

因为渐近线方程过点，即渐近线方程过

代入可求得或（舍）

则

所以离心率

【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质的应用，渐近线方程和离心率的简单求法，属于基础题．

16．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：

①；

②若对恒成立，则；

③设，，则的最小值为；

④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．

其中所有正确的命题的序号为________．

【答案】②④

【分析】由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题.

【详解】由为等比数列，其前项和，则，故①不正确；

由，可得，则，若对恒成立，

即对恒成立，

令，则

当时，；

当时，，

当时，，则，

则，故②正确；

由，，

令，则

当，时，，

当，时

则，故③不正确；

，由单调递增，

则，则，故④正确．

故答案为：②④

【点睛】关键点点睛：（1）等比数列的前项和；

（2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式；

（3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续.

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，．

(1)求角的大小；

(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；

（2）由余弦定理得到，再由为等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，故，

∴，即，

又∵，

∴．

（2）解：在中，，，

∴，

又，由（1）可知，

∴为等腰直角三角形，

∴，

又∵．

∴，

∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．

18．如图，正方体中，E是的中点，M是AD的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）如图，

取中点F，连接EF，AF交于O，

∵E，F分别为和中点，

∴平行且相等，

∵ 平行且相等，

∴平行且相等，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵与相似，

∴，

∴，即，

∴，

∵平面，且平面，

∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，令，则，

∴，

∴直线与平面所成的角的正弦值为．

19．已知抛物线上一点，焦点为F．

(1)求的值；

(2)已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；

（2）设直线AB的方程为：，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，再根据，求得的关系，从而可得直线AB过定点，再根据，可得C点的轨迹为PH为直径的圆，即可得出答案.

【详解】（1）解：∵，∴

∴抛物线方程为，准线方程为，；

（2）解：由已知直线AB存在斜率，设直线AB的方程为：，

由，有，记，

则，，

∵

，

∴，

则直线AB的方程为：，过定点，

∵，则C点的轨迹为PH为直径的圆，其方程为，

则轨迹方程为.

20．某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？

【答案】应从C元件开始检查．

【分析】根据发生故障的概率大小进行判断即可.

【详解】解：A，B，C三类元件故障率分别为：，，，

因为其中C类元件的故障率最大，所以应从C元件开始检查．

21．已知（）．

（1）当时，求的单调区间；

（2）函数有两个零点，且

①求的取值范围；

②实数满足，求的最大值．

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为．（2）①②2

【详解】（1）当时，

的单调增区间为，单调减区间为．

（2）①（）

当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）

当时，令，得

列表

有两个不同的零点 即

当时，，，在上单调递减且图像是不间断的

此时，在上有且只有一个零点

， 令，则设，

，在上单调递增

， 又在上单调递增且图像是不间断的

在上有且只有一个零点

综上，

②有条件知

将两式分别相加，相减得，

设

由题意得对于任意成立

整理即得在成立

令，

当时，

在上单调递增，则，满足条件

当时，

令，

（舍）

当时，，在上单调递减

与条件矛盾

综上，

【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

22．在直角坐标系xOy中，直线l经过点且斜率为1.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.直线l交曲线C于不同的两点A，B.

(1)写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；

(2)若点M在曲线C的准线上，且，，成等比数列，求m的值.

【答案】(1)（其中t为参数），

(2)

【分析】(1) 由点及斜率可求直线l的参数方程，由公式，可得曲线C的直角坐标方程；

(2) 由，，成等比数列建立等式，再运用直线的参数方程中的几何意义即可求解.

【详解】（1）直线l的一个参数方程为（其中t为参数）.

由曲线C的极坐标方程为可得，

把，代入，

得曲线C的直角坐标方程为.

（2）因为点M在曲线C的准线上，所以，

所以曲线C的直角坐标方程为.

把代入得，

化简得，

因为，所以.

设点A，B对应的参数分别为，，

则，.

因为，，成等比数列，

所以，即.

因为，所以，

所以，解得.

23．已知函数.

（1）解不等式.

（2）已知，，的最大值，，求的最小值.

【答案】（1）或；（2）最小值为.

【分析】（1）分，和三种情况解不等式；

（2）先利用绝对值三角不等式求出的最大值为，从而得，所以，化简后利用基本不等式求解即可

【详解】解：（1）函数，

当时，不等式即为，解得，所以；

当时，不等式即为，解得，所以；

当时，不等式即为，解得，所以.

综上所述，不等式的解集为或；

（2），

所以的最大值为，

则，

故

，

当且仅当且，即时取等号，

故的最小值为.