2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测数学（理）试题含解析

2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测数学（理）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法运算化简即可．

【详解】，

故选：C

2．sin()的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据诱导公式即可得结果.

【详解】，

故选：B.

3．“”是“方程表示椭圆”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先根据椭圆知识求出方程表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的概念可得结果.

【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.

4．已知函数，则（       ）

A．的周期为 B．在区间上单调

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数，

然后利用性质解题.

【详解】对于选项A，的周期，A选项错误；

对于选项B，由解得，B选项错误；

对于选项C，由解得，当时，，所以的图象关于直线对称，选项C正确；

对于选项D，由解得，当时，，所以，的图象关于点对称，D选项错误.

故选：C.

5．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】令可得，故，则

故选：C

6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中

①+与1+1是一对相反向量；

②-1与-1是一对相反向量；

③1+1+1+1与+++是一对相反向量；

④-与1-1是一对相反向量．

正确结论的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.

【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，

①+与+不是一对相反向量，错误；

②-与-不是一对相反向量，错误；

③1+1+1+是一对相反向量,正确；

④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．

即正确结论的个数为1个

故选：A

7．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据周期的定义对选项一一检验即可得出答案.

【详解】，

因为，

所以的最小正周期为.

故选：D.

8．已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列正确的选项是（       ）

A．全国农产品夏季价格比冬季低

B．全国农产品价格指数2022年每个月逐渐增加

C．全国农产品价格指数2022年菜篮子产品价格批发指数与农产品价格指数趋势基本保持一致

D．2022年6月农产品批发价格指数大于116．

【答案】C

【分析】根据图中曲线的变化趋势即可逐一判断.

【详解】图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错，全国农产品价格指数2022年4-6月呈下降趋势，并未增加，故B错，根据图中曲线的变化趋势可发现全国农产品价格指数2022年菜篮子产品价格批发指数与农产品价格指数趋势基本保持一致，故C对，2022年6月农产品批发价格指数在115附近，故D错误.

故选：C

9．已知三条不同的直线，平面，下列说法正确的有（       ）

A．已知命题p：经过一个平面上一点有且只有一个垂面．则命题p是真命题

B．已知直线则

C．已知命题p：已知，则．则p是真命题

D．已知则

【答案】B

【分析】根据长文体模型，结合平行公理、面面平行的性质，结合线面平行的性质逐一判断即可.

【详解】长方体处同一顶点的三个面互相垂直， 所以选项A不正确；

根据平行公理可知选项B正确；

因为，所以之间可以平行、相交、异面，因此选项C不正确；

因为所以可以平行也可以异面，所以当平行时，存在相交，因此选项D不正确，

故选：B

10．已知平面向量，，满足，且，则最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解.

【详解】解：因为，

所以，又，

所以，

如图所示：

不妨设，

则，

所以，

因为，

所以，即，

表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，

所以最小值为，

故选：D

11．设0＜a＜1．随机变量X的分布列是

则当a在（0，1）内增大时，（       ）A．E（X）不变 B．E（X）减小              C．V（X）先增大后减小              D．V（X）先减小后增大

【答案】D

【分析】根据分布列写出和关于的函数式，由函数性质可得结论．

【详解】，∴E（X）增大；

，

∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．

故选：D．

12．一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易得这个容器最多可盛放时，平面与地面平行即可，故只需求不规则几何体占总体积的比例即可

【详解】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为，设到平面的距离为，则.又，故

故选：C

二、填空题

13．若等差数列{an}的前7项和S7=49，且a3=5，则a9=____．

【答案】17

【分析】由题目条件求得公差和首项，即可求出答案.

【详解】由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

故答案为：17.

14．一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则________.

【答案】

【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数.

【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.

故答案为：.

15．定义在上的函数满足，.若关于的方程有个不同实根，则正实数的取值范围是__________．

【答案】

【详解】分析：由题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数与函数的图象，由图象可得方程在上有2个实数根，由此可得；再由方程在内无解，可得．最后可求得正实数的取值范围．

详解：由可得函数f(x)是以4为周期的周期函数．

在同一坐标系内画出函数与函数的图象．

当时，，故．

由题意及图象可得方程，即在(3,5)上有2个实数根，

∴，解得．

又由图象及题意可得方程在(5,6)内无解，

∴，解得．

综上可得．

∴正实数的取值范围是．

点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数或两函数图象公共点个数）求参数的取值范围时，常用的方法是将所给问题转化为两函数图象公共点个数的问题．在同一坐标系内画出两函数的图象，通过观察函数图象的位置关系，并结合特殊点处的函数值的大小得到关于参数的不等式（组），解不等式（组）可得所求的范围．

三、双空题

16．如果说最简单的正弦函数，响度是看振幅的，A越大响度越大，音调是看频率的，B越大频率越高，音色是看正弦函数复合的，也就是每一个参数都有影响，关于函数，函数的最小正周期是_____，函数的最大值______（填“大于”、“小于”或“等于”之一）．

【答案】          大于

【分析】（1）根据周期的公式分析和的最小正周期即可；

（2）代入判断即可

【详解】（1）因为的最小正周期为，的最小正周期为，故的最小正周期是；

（2）因为，故函数的最大值大于

故答案为：；大于

四、解答题

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为1，．

(1)求A的大小．

(2)求△ABC外接圆面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理和面积公式得到，求出；（2）设△ABC外接圆半径为R，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出，求出外接圆面积的最小值

【详解】(1)由余弦定理得：①，

由面积公式得：②，

联立①②得：

因为，

所以

(2)设△ABC外接圆半径为R，

由正弦定理得：，

解得：，

因为，

所以，

由余弦定理得：，

解得：，当且仅当时等号成立，

所以，

所以△ABC外接圆面积的最小值为.

18．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．

(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；

(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质证明即可；

（2）以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，再利用线面角的向量求法求解即可

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BEFD，∴平面ACF⊥平面BEFD．

（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2-(DF-BE)2=8，∴BD=2．设OA=a(a>0)，则A(a，0，0)，C(-a，0，0)，E(0，，1)，F(0，-，2)，∴=(0，-2，1)，=(-a，，1)，=(a，，1)．设是平面AEF的法向量，则，即，令z1=2，∴，是平面AEF的一个法向量，设，是平面CEF的法向量，则，即，令z2=2，∴ ∵二面角A-EF-C是直二面角，∴，∴a=．∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∵AB==2，∴tan∠BAE==．故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．

19．W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．

根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．

(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；

(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．

【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析

(2)数学期望是（元）；方差是

【分析】（1）求出正常产品尺寸范围，再由超出正常范围以外的零件数即可判断生产线有没有正常工作．

（2）记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，求出，因为，由均值和方差的性质即可求出

（1）依题意，有 ，所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．生产线正常工作，次品不能多于，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．

（2）依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为．记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，，则， ，所以的数学期望是（元），方差是．

20．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形．

【答案】(1)=1(|x|≠2)；C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点

(2)证明见解析

【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果；

（2）直线PQ的斜率为k，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果.

【详解】(1)由题设得·=，化简得=1(|x|≠2)，

所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

(2)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=kx(k>0)．

由得x=±．

记u=，则P(u，uk)，Q(-u，-uk)，E(u，0)．

于是直线QG的斜率为，方程为y=(x-u)．

由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0．①

设G(xG，yG)，则-u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=．

从而直线PG的斜率为．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．

21．已知函数，.

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若对，不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】分析：（1）求得，令，即，，分类讨论，即可得到函数的极值点的个数.

（2）由题意等价于，即，分类参数得，设，利用导数求得单调性和最值，即可得到的取值范围.

详解：（1），

令，即，

①当时，即时，恒成立，即，

此时在单调递增，无极值点，

②当时，即或，

若，设方程的两根为，且，

由韦达定理，故，

此时单调递增，

单调递减，

单调递增，

故分别为的极大值点和极小值点，

因此时，有两个极值点；

若，设方程的两根为，且，

由韦达定理，故，

此时无极值点，

综上：当时，有两个极值点，当时，无极值点.

（2）等价于，

即，

因此，

设，，

当时，，即，单调递减

时，，即，单调递增

因此为的极小值点，即，故.

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．

(1)求l的普通方程和C的参数方程；

(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．

【答案】(1)；(α为参数)．

(2)点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．

【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化为参数方程；

（2）利用参数方程求出点M到直线l距离的最大值，进而得到点M的坐标.

【详解】(1)因为直线l的参数方程为 (t为参数)，两式相加消去t可得：；

因为，所以ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0可化为：，化为参数方程为：(α为参数).

(2)可设，则点M到直线l的距离为：

所以，当且仅当，即时取得，此时，所以.

所以点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．

23．已知.

（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；

（2）根据绝对值的三角不等式可得，故对任意的，恒成立可转化为， 分类讨论计算可得；

【详解】解：（1）因为，且，       

，

，

由题意知，，所以，

解得，所以实数的取值范围是.        

（2），

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故对任意的，恒成立可转化为，

所以或，解得.

所以实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.