专题03 万有引力与宇宙航行-2022-2023学年高一物理下学期期中期末考点大串讲（人教版2019）

专题03 万有引力与宇宙航行

一、对万有引力定律的理解及应用

1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上：G＝mg2。

(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。

越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。

2．重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：

mg＝G，得g＝。

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：

mg′＝，得g′＝。

3．万有引力的“两个推论”

推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。

推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。

【例1】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　）

A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg

B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0

C．地球的半径

D．地球的密度为

二、天体质量(密度)的估算

1．重力加速度法

利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。

(1)由G＝mg得天体质量M＝。

(2)天体密度ρ＝＝＝。

2．天体环绕法

利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。

(1)由G＝mr得天体的质量M＝。

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。

(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

【例2】假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为h，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常数为G，忽略月球自转对重力加速度g的影响，下列说法中正确的是（　　）

A．月球表面重力加速度为

B．月球的第一宇宙速度为

C．月球同步卫星离月球表面高度为

D．月球的平均密度为

三、卫星运行参量

1．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。

(2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

2．物理量随轨道半径变化的规律

3.同步卫星的6个“一定”

【例3】a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上。某时刻b卫星恰好处于c卫星的正上方。则（　　）

A．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度

B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度

C．a、c的向心加速度大小相等，且大于b的向心加速度

D．b、d存在相撞危险

四、近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别

1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较

如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。

2．重要条件

(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。

(2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。

【例4】如图所示，图中A点是地球赤道上一点，人造卫星B轨道在赤道平面内，C点为同步卫星。已知人造卫星B的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星C的轨道半径是地球半径的n倍，，由此可知（　　）

A．人造卫星B与同步卫星C的运行周期之比为

B．同步卫星C与A点的速率之比为

C．人造卫星B与A点的速率之比为

D．人造卫星B与同步卫星C的速率之比为

五、卫星变轨与追及问题

1．变轨原理及过程

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．常见变轨过程“四分析”

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。

3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。

【例5】荷兰“MarsOne”研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）

A．飞船在轨道上运行时，运行的周期

B．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度的方向喷气

C．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能

D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运行的角速度，可以推知火星的密度

【例6】中国第一个目标飞行器“天宫一号”再入大气层，落到南太平洋中部区域，绝大部分器件在再入大气层过程中由于空气阻力的作用烧蚀销毁，对航空活动以及地面造成危害的可能性极小。如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，此时，a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为，若“天宫一号”飞行器a和卫星b均逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则（　　）

A．“天宫一号”飞行器a的线速度大于卫星b的线速度

B．“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期大于24小时

C．卫星c加速就一定能追上卫星b

D．从此时起再经时间a、b相距最近

六、双星或多星模型

1．双星模型

(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。

(2)特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2

②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

2．多星模型

(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

(2)三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

(3)四星模型：

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。

【例7】渐台二（β Lyr/天琴座β）是天琴座中的一个密近双星系统，系统内的两颗恒星A、B相距较近，巨大的引力作用使原本较重的A星上的物质不断流向B星，部分流失的物质飞向星际空间。现阶段A星质量已不足太阳质量的3倍，B星质量已达太阳质量的15倍。若演变过程中A、B两星间距保持不变，下列分析正确的是（　　）

A．现阶段A星轨道半径小于B星轨道半径

B．现阶段A星线速度小于B星线速度

C．演变过程中该双星系的周期不变

D．演变过程中B星线速度不断减小

1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校期中）中国科技发展两个方向：“上天”和“入地”两大工程。其中，“上天”工程指“神舟”载人飞船、天宫空间站和探月工程；“入地”工程指“蛟龙”号深海下潜。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体（已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“天宫一号”轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为；“蛟龙”号下潜深度为d，所在处的重力加速度为；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（2023·云南·统考二模）2022年12月2日，神舟十四、十五号航天员乘组首次完成在轨交接仪式，从此中国空间站开启了航天员长期低轨道驻留模式。已知空间站距地面高度为h，地球半径为R，其表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

A．地球的平均密度

B．空间站的运行周期

C．空间站的运行速度大于第一宇宙速度

D．空间站的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度

3．（2022秋·江西赣州·高一校考期末）“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器。着陆器等多个部分组成，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球。若已知月球半径为R“嫦娥五号”在距月球表面高度为2R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是（   ）

A．月球质量为 B．月球表面重力加速度

C．月球密度为 D．月球第一宇宙速度为

4．（2023·辽宁·模拟预测）北京时间2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国海南文昌航天发射场点火发射；12时10分，天舟五号货运飞船仅用2小时便顺利实现了与中国空间站天和核心舱的快速交会对接，如图所示，创造了世界纪录。下列说法中正确的是（　　）

A．天舟五号货运飞船的发射速度大于

B．天和核心舱的速度大于

C．在文昌航天发射场点火发射，是为了更好地利用地球的自转速度

D．要实现对接，天舟五号货运飞船应在天和核心舱相同轨道处加速

5．（2023·山西·一模）电影《流浪地球2》中的“太空电梯”，缆绳与地面垂直，一端连接地球赤道的固定底座，另一端连接相对地球静止的空间站A。电梯仓B拴连在缆绳上，可以自由移动，在地面与空间站A之间往返。下列关于太空电梯的说法正确的是（　　）

A．乘坐太空电梯要到达太空，电梯仓的运行速度必须大于第一宇宙速度

B．由于太空电梯缆绳质量的影响，相对地球静止的空间站A的轨道将高于同步卫星轨道

C．电梯仓B停在低于同步轨道的卫星C的高度处时，B的线速度等于C的线速度

D．电梯仓B停在低于同步轨道的卫星C的高度处时，仓内物体处于完全失重状态

6．（2023·湖南郴州·统考三模）2022年6月23日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，采取“一箭三星”方式，成功将“遥感三十五号”02组卫星发射升空。卫星发射并进入轨道是一个复杂的过程，如图所示，发射同步卫星时是先将卫星发射至近地轨道，在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，在转移轨道上的远地点B加速后进入同步轨道；已知近地轨道半径为，同步轨道半径为。则下列说法正确的是（    ）

A．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的向心加速度大小之比为

B．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的周期之比为

C．卫星在转移轨道上运动时，A、B两点的线速度大小之比为

D．卫星在转移轨道上运动时，从A点运动到B点的过程中处于失重状态，引力做负功，机械能减小

7．（2022春·河南周口·高一校考期末）某卫星绕一质量分布均匀的星球做匀速圆周运动，测得该卫星在不同轨道下速度大小的二次方与轨道半径倒数的关系图像如图中实线所示，已知该图线的斜率为，星球的半径为，万有引力常量为，下列说法错误的是（　　）

A．该星球的质量为

B．该星球的第一宇宙速度为

C．卫星的最大角速度为

D．该星球自转的周期为

8．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中）如图所示，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，当到达椭圆轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，则（　　）

A．飞行器在B点处变轨时需向后喷气加速

B．由已知条件不能求出飞行器在椭圆轨道Ⅱ上的运行周期

C．只受万有引力情况下，飞行器在椭圆轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度

D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为

9．（2022春·河北张家口·高一统考期中）用弹簧测力计分别在地球两极和赤道上测量一个物体的重力，物体的质量为m，在两极时弹簧测力计的读数为，在地球赤道上时弹簧测力计的读数为。已知地球半径为R，下列说法正确的是（　　）

A． B．

C．地球的自转角速度为 D．地球的自转角速度为

10．（2022春·黑龙江鸡西·高一统考期末）2021年5至6月，天问一号探测器择机着陆火星。如图所示，假设天问一号探测器环绕火星做匀速圆周运动的周期为T，对火星的张角为。已知引力常量为G，火星半径为R，由以上数据可以求得（　　）

A．火星的质量为 B．火星的密度

C．火星的第一宇宙速度为 D．天问一号探测器的线速度为

11．（2022春·广东广州·高一统考期末）如图是探月卫星从发射到进入工作状态四个基本步骤的示意图，卫星先由地面发射，接着从发射轨道进入停泊轨道（实际上有多个停泊轨道，这里进行了简化处理），然后由停泊轨道进入地月转移轨道；最后卫星进入工作轨道。卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则关于卫星在各轨道上的运动下列说法正确的是（　　）

A．在发射轨道上关闭推进器后，卫星的加速度保持不变

B．在停泊轨道上，卫星的线速度小于地球第一宇宙速度

C．在工作轨道上，卫星的线速度小于地球第一宇宙速度

D．在转移轨道上，卫星不受地球引力作用

12．（2022春·湖北咸宁·高一统考期末）北京时间2021年9月中旬到10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂“失联”。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球的公转周期为，“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量

C．火星的公转周期小于地球的公转周期 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为

13．（2022春·陕西西安·高一长安一中期中）已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔFN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则（　　）（设地球两极地区的重力加速度为g）

A．地球的自转周期为

B．此物体在地球表面随地球自转向心力为

C．地球同步卫星的轨道半径为

D．地球同步卫星的轨道半径为

14．（2021春·安徽合肥·高一合肥一六八中学期中）用m表示地球的通讯卫星（同步卫星）的质量，M表示地球的质量，h表示其离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为（　　）

A． B．mg C． D．

15．（2018春·贵州遵义·高一遵义航天高级中学校考期中）我国研制的“嫦娥三号”月球探测器于2013年12月1日发射成功，并成功在月球表面实现软着陆．探测器首先被送到距离月球表面高度为H的近月轨道做匀速圆周运动，之后在轨道上的A点实施变轨，使探测器绕月球做椭圆运动，当运动到B点时继续变轨，使探测器靠近月球表面，当其距离月球表面附近高度为h（）时开始做自由落体运动，探测器携带的传感器测得自由落体运动时间为t，已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）

A．“嫦娥三号”的发射速度小于第一宇宙速度

B．探测器在近月圆轨道和椭圆轨道上的周期相等

C．“嫦娥三号”在A点变轨时，需减速才能从近月圆轨道进入椭圆轨道

D．月球的平均密度为

16．（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MaxiJ是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10000光年。如图所示，若黑洞和恒星在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动，黑洞的质量为，恒星的质量为，黑洞的线速度为，恒星的线速度为，它们中心之间的距离为L、引力常量为G，则（　　）

A．黑洞的轨道半径为

B．黑洞和恒星的运行周期为

C．黑洞和恒星的线速度之比为

D．黑洞和恒星的动能之比为

17．（2022春·四川巴中·高一统考期末）2022年6月5日10时44分，神舟十四号顺利升空，截至6月6日，神舟十四号航天员已经顺利进入天舟四号货运飞船。神舟十四号是我国空间站建造阶段第二次飞行的飞船，也是建造阶段发射的首艘载人飞船。神舟十四号在轨期间，将完成我国空间站的完全建造，这意味着神舟十四号乘组将是“最忙出差三人组”，他们将面临协助地面对接和转位两个实验舱并进驻建立载人环境、协助地面完成舱体与机械臂与气闸舱的测试工作、完成2到3次出舱等十余次任务，任务量是神舟十二号的一倍多。设空间站在轨运行时离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。

（1）求空间站在轨运行的线速度大小；

（2）求空间站运行的周期。

18．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）2022年4月16日，圆满完成任务的三名中国航天英雄乘坐神舟十三号飞船从空间站顺利返回地面，刷新中国载人航天器最快返回的记录，实现了中国航天的又一项重大技术突破。如图所示，某颗卫星的返回回收过程可简化如下：轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似看做等于地球半径，轨道2是位于与轨道1同一平面内的中地圆轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。已知地球半径为R，卫星在轨道1上运行时的加速度大小为a，忽略其他星体对该卫星的作用力，试求：

（1）该卫星在轨道2上运行的速度；

（2）该卫星在转移轨道上从轨道2上的A点运行至轨道1上的B点（A、B与地心在同一直线上）所需的最短时间。

19．（2022·全国·高一专题练习）航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：

（1）线的拉力；

（2）该星球表面的重力加速度；

（3）该星球近地绕行卫星的线速度大小；

（4）该星球的密度。

20．（2022春·广西钦州·高一统考期末）一宇航员在半径为R的某行星表面做如下实验：如图所示，用不可伸长的长度为l的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在O点，小球绕O点在竖直面内做圆周运动，通过最高点时的速度为，此时轻绳的拉力恰好为零。不计小球的大小，已知引力常量为G，求：

（1）该行星的质量；

（2）该行星的第一宇宙速度。