单元复习11 解三角形【过习题】（考点练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第二册）

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单元复习11 解三角形
01 正弦定理、余弦定理
一、单选题
1．在中，内角所对应的边分别是，若，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理直接求解即可.
【解析】因为，，
所以由正弦定理得：.
故选：B.
2．在中，若，则（    ）
A．25 B．5 C．4 D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【解析】在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（    ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】由正弦定理得到，得出，进而，即可求解.
【解析】因为，由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以为钝角三角形.
故选：A.
4．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设外接圆半径，连接，设点到三边的距离分别为，,再结合正弦定理可求得.
【解析】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为，

由锐角知均为正数，
由外接圆知，所以，
同理: ，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：B.
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（    ）
A．6 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.
【解析】因为，
根据正弦定理得到：
故得到

再由余弦定理得到：
代入，，得到.
故选：A.
6．在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．
【解析】∵，所以，又，∴，
∵，∴，
，，∴，从而，为等边三角形，
故选：C．
7．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为，若，且，则A=（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由诱导公式根据正弦定理可得，从而可得，由余弦定理可得，从而可得结果.
【解析】由得，
由正弦定理得，
，则，
由余弦定理得，，
由得，
故选：A.
8．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.
【解析】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，

，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值；
④形如或转换成二次函数求最值.

二、多选题
9．的内角､､的对边分别为､､，，，则可以为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】AB
【分析】根据正弦定理可得，再根据正弦的范围选择即可
【解析】在中，，，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以可以为7，8
故选：AB
10．三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用正余弦定理逐一判断即可
【解析】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；
B：由,得，则为钝角，故B能判断；
C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；
D：由正弦定理，条件等价于=，
则，即，故，则，故D不能判断.
故选：BC
11．不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（    ）
A．，有一解 B．，有两解
C．，有两解 D．，无解
【答案】AD
【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.
【解析】A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确；
B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误；
C：由正弦定理，显然无解，错误；
D：由正弦定理，显然无解，正确；
故选：AD
12．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D.
【解析】由题意得在锐角中，，
∴由正弦定理可得 ，
又 ，
故 ，即，
，为锐角， ，
即 ，故选项A正确；
在锐角中，，，故B正确；
由，故C错误；
,
又 ， ，
令，则，
由对勾函数性质可知，在时单调递增，
，，
故，故D正确．
故选： ．

三、填空题
13．已知在中，，则等于________.
【答案】
【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出
【解析】因为在中，，
所以正弦定理可得，则令（），
由余弦定理得，
故答案为：
14．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角的大小为_________．
【答案】##
【分析】由正弦定理得，化简得到，进而求得的值，即可求解.
【解析】因为，可得的，
由正弦定理得，
因为，
化简得，
又因为，可得，所以，
又由，可得.
故答案为：.
15．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．
【答案】或
【分析】由三角形面积公式进行求解即可.
【解析】∵的面积，
∴，
∵，
∴或．
故答案为：或.
16．已知的面积为1，角的对边分别为，若，，则___________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，并利用余弦定理求出，再借助和角的余弦及三角形的面积公式求解作答.
【解析】在中，由已知及正弦定理，得，即.
由余弦定理，得，
又，，
因此，又，所以，
由正弦定理，得，
因为的面积为1，所以，
解得，又，所以.
故答案为：.

四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：
(1)角B；
(2)的面积S.
【答案】(1)
(2).

【分析】(1)正弦定理求解；
(2)根据面积公式求解.
【解析】（1）由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
（2）因为，
所以.
所以.
18．已知角所对的边分别为,的周长为,且.
(1)求边的长;
(2)若的面积为,求角的度数.
【答案】(1)2；
(2).

【分析】(1)根据正弦定理可将化简为,再根据的周长即可求得;
(2)根据三角形面积公式可得,根据(1)中的结论可得,再根据余弦定理即可求得角.
【解析】（1）由题意得:，
在中,将正弦定理代入可得，
又,即，
所以；
（2）由(1)知,,所以，
因为，
所以,又有，
所以，
因为，
所以.
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若b＝3，当角A最大时，求的面积．
【答案】(1)0
(2)

【分析】（1）已知等式由正弦定理边化角，由，用两角和的正弦公式展开后化简，用商数关系弦化切即能得到结果；
（2）由已知得C为钝角，当角A最大时，最大，由且，利用基本不等式求得最大值，解得，可求，解得，由面积公式求的面积．
【解析】（1），由正弦定理得，
所以，即，
有，所以.
（2）因为，所以，即C为钝角，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立
，所以，，，

20．记的内角的边分别是,分别以为边长的三个正三角形的面积依次为,已知,．
(1)求的面积;
(2)若,求边的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据正三角形的面积写出,代入进行化简可得,代入余弦定理中可得,即,根据,求出代入,即可求得,根据面积公式即可求得;
(2)由(1)知,对正弦定理变形可得到,将代入即可得.
【解析】（1）由题意得,,,
则,即,
在中,由余弦定理,
整理得,则,又,
则,所以,
则.
（2）在中,由正弦定理得:
,
则,所以.
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．
(1)求角C的值；
(2)若的面积，试判断的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)钝角三角形

【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；
方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求解；
方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；
(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得，然后代入即可求解.
【解析】（1）方案一：选条选①．
由，得，
得，即．
∵，∴，∴，
又，∴．
方案二：选条件②．
由，得，
即，
于是，
因此，∵，∴，∴，
即，
∵，∴，∴，故．
方案三：选条件③．
由正弦定理，得，
即，∴，
又，∴，∴，即，∴．
（2）在中，，由余弦定理得，
又，∴，
整理得，得，此时，
∴，∴B为钝角，故是钝角三角形．
【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
22．已知在中，角，，的对边分别为．
(1)若边的中线长为3，对，且，恒成立，试判断“”是否成立？
(2)若为非直角三角形，且，其中．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
参考公式：
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，证明见解析

【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，由恒成立得，设出点的坐标，根据数量积的坐标运算计算可得；
（2）（ⅰ）由正弦定理将边化角，利用和差化积、和差角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；
（ⅱ）由（ⅰ）及，即可得到整理可得，从而得解；
(1)
解：法一：
设P为边AB上一点，则由对，且，恒成立得，
建立平面直角坐标系，如下图所示，

设，（），，
∴，，
则由得，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，即恒成立，
∴若则恒成立，∴恒成立，
若则恒成立，∴恒成立，
∴，
∴，
又为中点，
∴．
法二：
设P为边AB上一点，则
由对，且，恒成立得，
令，则∴
若，则由得P在BD上，即，这与矛盾
∴不成立
若，则由得P在AD上，即，这与矛盾
∴不成立
若，则由得P在AB上，即，这与符合
∴；
(2)
解：（ⅰ）由及正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
有，
由两角和、差的余弦公式可得
，
整理得，
故．
（ⅱ）∵
又∵
∴，
展开整理得，
∴，
即，
即，
∴与作比较可知存在且．
02 解三角形的应用

一、单选题
1．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理求解即可
【解析】因为，故，由正弦定理，，故m
故选：D
2．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.
【解析】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．
3．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】由题设可得，即可得结果.
【解析】由题设，，而，
所以，可得米.
故选：C
4．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（    ）

A．20 B．16 C．27 D．9
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识即可解出．
【解析】由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而．
故选：A．
5．一艘海轮从海岛A出发，沿北偏东的方向航行nmile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿北偏东方向航行60nmile后到达海岛C，则海岛A与海岛C之间的距离为（    ）

A．150nmile B．140nmile C．130nmile D．120nmile
【答案】B
【分析】利用余弦定理即得.
【解析】由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以(nmile)．
故选：B.
6．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ）

A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【答案】D
【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离.
【解析】
在中，，
设，
则，
当且仅当时取等号，
设，则，
又到的距离为20千米，所以，，
故（时取等号），
所以，得，
故选：D

二、多选题
7．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（    ）

A．与 B．与 C．，与 D．，与
【答案】ABC
【分析】由A，C在河的同一侧，故可以测量，与，由此即可得答案
【解析】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，
故选：ABC
8．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（    ）

A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角；
B．在地面上另选点D，测量出角，，米；
C．在地面上另选点D，测量出角，米；
D．从过点C的直线上（不过点B）另选点D、E，测量出米，，．
【答案】ABD
【分析】在中用正弦定理求出边AC，再在中计算判断A，B；由解三角形的条件判断C；用AB长表示BC，BD，BE，再利用余弦定理推理判断D作答.
【解析】对于A，在中，，由正弦定理得，
在中，，A满足；
对于B，在中，，由正弦定理得，
在中，，B满足；
对于C，在中，已知一边无法解三角形，在中，已知一边一角也无法解三角形，不能求出BC，AC，C不满足；
对于D，设，则有，在与中，由余弦定理得：
，即，
因此，，即，解此方程即得h，D满足.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及仰角、俯角问题，构造仰角、俯角的直角三角形，转化为解直角三角形作答.

三、填空题
9．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为_______km.

【答案】6
【分析】由题意，根据余弦定理即可求解.
【解析】解：由题意，，，
由余弦定理可得，
所以灯塔A与灯塔B的距离为6 km.
故答案为：6.
10．甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要______小时.（参考数据：取）
【答案】2.4
【分析】根据余弦定理进行求解即可.
【解析】由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°

由余弦定理，得，得，
乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为小时.
故答案为：2.4

四、解答题
11．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D监控河流南岸的A、B两处（A在B的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为.A，B，C，D视为在同一个平面上，记的面积为S，.

（1）求的长度；
（2）试用表示S，并求S的最大值.
【答案】（1）240m；（2），.
【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.
（2）由（1）知的长度，利用正弦定理求的长度，结合，利用面积公式即可.
【解析】（1）在中，，，所以.
因为，所以，由正弦定理得，所以；
（2）在中，设，则，
由正弦定理得.
所以.
所以.

因为.
所以当时，S取到最大值.
答：的长度为，，S取到最大值.
【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题.
12．为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记.

(1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内?
(2)若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.
【答案】(1)
(2)，10km

【分析】（1）由，利用三角形面积公式得到求解；
（2） 由BC = AD得到，进而得到，利用二次函数的性质求解.
【解析】（1）解：，
，
由题意， ，
，
因为，所以，
解得；
（2）由BC = AD可知，
，
故，
，
从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到.
03 平面向量与解三角形
一、解答题
1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若的面积为，，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据余弦定理及向量数量积的定义列出方程即可求解；
（2）由三角形的面积公式及余弦定理求解.
【解析】（1）∵，
∴，
∴，由，
∴.
（2）由（1）及已知可得，解得，
由余弦定理得，
∴.
2．已知的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角C的值；
(2)若，，且，求的长度．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得，从而可得角C的值；
（2）根据向量共线定理可得，利用向量的模长运算即可得的长度．
【解析】（1）解：由正弦定理得：，因为，
所以，即
又由余弦定理得，则
化简得，又，所以.
（2）解：由可得
所以，
∴，即的长度为.
3．中，D为边AC上一点，，.若，

(1)求线段BD的长；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由向量基本定理得到，从而利用向量数量积运算法则和题干条件得到，得到；
（2）在（1）基础上求出，记，，则，由求出及，得到，求出的面积，相加得到答案.
【解析】（1）因为，，
所以，
因为，，
所以，
解得，即.
（2）由（1）可知，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

(1)求角A；
(2)已知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边化角并化简得，根据角的范围，则可求出其大小；
（2）由向量运算得，展开代入数据即可得到其值，再分别计算出和，利用向量夹角公式即可.
【解析】（1）
则由正弦定理得


化简得：
，,
，则，
，，
即.
（2），
点为BC的中点

，


，
，

，

.
即的余弦值为.
5．已知两个不共线的向量满足.
(1)若与垂直，求的值；
(2)当时，若存在两个不同的，使得成立，求正数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据求出，再展开求解.
(2)根据，平方后化简，整理成，数形结合求解.
【解析】（1）由条件知， 又与垂直，
所以， 所以..
所以， 故.
（2）由， 得，
即，
所以， 即，
所以.
由， 得.
因为存在两个不同的满足题意，

所以数形结合知.即，
又， 所以.即实数的取值范围为.
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)已知，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理即可求出结果；
(2)由正弦定理得到，结合和两角和则正弦公式求出
，进而求出三角形的面积.
【解析】（1）已知，
代入余弦定理，，
化简得：，所以．
（2）由正弦定理知即，
又，故
，
即，得，
故（舍），
此时，，，
则的面积.
7．已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足
(1)求∠A大小；
(2)若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由向量的运算整理可得，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；
（2）根据题意结合向量可得，再结合数量积可得，利用基本不等式可得，再结合面积公式即可得结果.
【解析】（1）取的中点，连接，则，
可得：
由，可得，
则，即，
整理得，
由余弦定理，可得，
∵，故.
（2）由题意可得：，
则，
可得：，则，当且仅当，即时等号成立，
即，则.
故S最大值为.

8．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，为的角平分线，已知，，，点E，F分别为边，上的动点，线段交于点G，且的面积是面积的一半．

(1)求边的长度；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，可求得，再根据为的角平分线，结合平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；
（2）设，，（，，），根据的面积是面积的一半，可得，再根据，结合E，F，G三点共线，求得，再根据可求得，从而可求得，即可求得，再根据三角形的面积公式即可得解.
【解析】（1）解：由，得，
因为，所以；
因为为的角平分线，所以，
所以，
，
又，所以，得，
因为，
所以；
（2）解：设，，（，，），
因为的面积是面积的一半，
所以，
所以，①
，
由，得，
因为E，F，G三点共线，所以，即，
所以，
又，
所以

，
因为，所以，②
由①②解得，，
所以，此时点F与点C重合；
因为，
所以
所以；
由得，
所以．