专题01 平行线的性质和判定的综合运用——2022-2023学年人教版数学七年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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专题01 平行线的性质和判定的综合运用

1．如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

【答案】∠AED＝∠C．理由见解析
【解析】
由图中题意可先猜测∠AED＝∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2＝180°，而∠1+∠4＝180°所以∠2＝∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3＝∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．
【解答】∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）
∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．

【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．
2.如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
（1）BF与DE平行吗？请说明理由；
（2）若DE垂直于AC，∠AFG =60°，求∠2 的度数．

【答案】（1）平行，见解析；（2）150°．
【解析】
【分析】
（1）根据同位角相等两直线平行，得到GF//BC，再利用两直线平行，内错角相等，解得∠1＝∠FBC，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题即可；
（2）由BF//DE，DE垂直于AC，可证得∠AFB＝90°，结合题意，可解得∠1的度数，再由∠1＝∠FBC，两直线平行，同旁内角互补，即可解得∠2 的度数．
【详解】
(1)解：平行．
理由：
∴∠AGF＝∠ABC
∴GF//BC，
∴∠1＝∠FBC
∵∠1+∠2＝180°
∴∠2+∠FBC＝180°，
∴BF//DE；
(2)∵DE垂直于AC
∴∠AED=90°，
由（1）知BF//DE
∴∠AFB＝90°
∵∠AFG＝60°，
∴∠1＝30°，
由（1）知∠1＝∠FBC
∴∠FBC=30°
∵BF//DE
∴∠2=180°－∠FBC＝180°－30°＝150°.
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.
3.如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°．
【解析】
【分析】
（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；
（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．
【详解】
（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
4. 已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可证明；
（2）根据平行线的判定与性质、角平分线定义和邻补角互补即可得结论．
【解析】（1）证明：，
．
平分，平分，
，．
．
．
（2），，，度数都为．理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
同理：．
，，，度数都为．
5.已知：如图，直线，直线与直线，分别交于点，；平分，．求的度数．

【分析】依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到，，再根据角平分线的定义，即可得出．
【解析】与交于点，（已知），
．（对顶角相等），
，（已知），
．（等量代换），
，与，交于点，，（已知），
．（两直线平行，同旁内角互补），
．
平分，（已知），
．（角平分线的定义）．
6.已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
①求证：．
②若，求的值．

【分析】①根据已知条件和对顶角相等可得，根据同位角相等，两条直线平行即可得；
②结合①和，根据平行线的性质即可求的值．
【解析】如图，

①证明：
，，
，
；
②，
，
，
，
，
，
答：的值为．
7.如图，，，平分，，，求的度数．

【分析】推出，根据平行线性质求出，求出，根据角平分线求出，根据平行线的性质推出，代入即可．
【解析】，，
，
，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
．
8.如图，，求的度数．

【分析】利用两直线平行，同旁内角互补可得答案．
【解析】，
，，
，
即．
9.已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝　 　°．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝　 　°．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．

【答案】（1）60 （2）360﹣x﹣y； （3）∠AEC＝180°﹣α+β．说明见解析
【解析】首先都需要过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数；
（3）根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．

（1）∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°；

（2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝x°，∠C＝y°，
∴∠1+∠2+x°+y°＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣x°﹣y°；

（3）∠A＝α，∠C＝β，
∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝180°﹣α+β．

【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．解此题的关键是准确作出辅助线：作平行线，这是此类题目的常见解法．

10.感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E作直线EF∥CD，
∠2=______，（ ）
AB∥CD(已知），EF∥CD
_____∥EF，（ ）
∠B=∠1，（ ）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（ ）
方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．

【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【解析】
【分析】
过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角的性质解答即可
【详解】
解：过点E作直线EF∥CD，
∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
AB∥CD(已知），EF∥CD
AB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（等量代换 ）
方法与实践：如图②，
∵直线AB∥CD
∴∠BOD=∠D=53°
∵∠BOD=∠E+∠B
∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．
故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．

【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
11.如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补．

（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直与的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出，即可判定；
（2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；
【解析】（1），理由如下：
与互补，
，
又，
，
；
（2），理由如下：
由（1）知，，
．
又与的角平分线交于点，
，
，即，
，
．
12. 综合与探究
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
如图1，，，，求的度数．
小康的解法如下：
解：如图1，过点P作．
∵，
∴（根据1）．
∵，
∴（根据2）．
……

(1)①小康的解法中的根据1是指_______________；②根据2是指______________．
(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．
(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中，，，，求的度数．
【答案】(1)①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定即可的得出答案；
（2）过点P作得，根据，得，即知，从而得出答案；
（3）过点P作，过点作，从而得出，再根据平行线的性质即可得出答案；
(1)
解：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
②两直线平行，同旁内角互补．
(2)
解：∵，∴．
∵，，
∴．
(3)
解：如图，过点P作，过点作．
∵，
∴，
∴，，．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角．
13.如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．

(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，
∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；

(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；

(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，
∵∠1+∠2=325°，
∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14.（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数．

【答案】（1）15°或115°；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．
（2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．
【详解】
解：（1）①当∠1=∠2时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠1=2∠1-15°，
解得∠1=15°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠2+2∠2-15°=180°，
解得∠2=65°，
∴∠1=180°-∠2=115°；
（2）过D点作DI∥EF，

∵∠F=145°，
∴∠FDI=35°，
∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°．
∵GH∥AB，
∴∠H=180°-60°=120°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．
15.问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：

过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
16.如图，，点E为两直线之间的一点

(1)如图1，若，，则____________；
(2)如图2，试说明，；
(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；
（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．
(1)
解：过E点作EFAB，

∵ABCD，
∴EFCD，
∵ABCD，
∴∠BAE＝∠1，
∵EFCD，
∴∠2＝∠DCE，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．
∵，，
∴
(2)
过E点作ABEG．

∵ABCD，
∴EGCD，
∵ABCD，
∴∠BAE＋∠AEG＝180°，
∵EGCD，
∴∠CEG＋∠DCE＝180°，
∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．
(3)
①由（1）知 ，
∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，
∴ ，
②由①知 ，
∵，， ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
17.如图，已知AB∥CD．

（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
18.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中，，）

（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①与大小关系是_____，依据是_____．
②与的数量关系是_____．
（2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束．探索△AOB的一边与的一边平行的情况．
①求当时，如图4所示，的大小．
②直接写出的其余所有可能值．
【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②；（2）①75°；②30°或45°或120°或135°
【解析】
【分析】
（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；
②根据∠DOC+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°，即可得到∠DOC+∠AOC=180°；
（2）①过点O作则AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案；
②分当AB∥OC时， 当OA∥CD时，当AB∥OD时，当OB∥CD时讨论求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）①相等，同角的余角相等．
∵∠AOD+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°
∴∠AOD=∠BOC
② ∵∠DOC+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOD=∠COD+∠COB
∴180°
（2）①过点O作OE∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥OE．
30°，45°
75°．
②当AB∥OC时，=30°；

当OA∥CD时，45°；

当AB∥OD时，360°-180°-∠BOD
∠BOD=∠ABO=60°
∴120°；

当OB∥CD时，360°-180°-∠BOD
∠BOD=∠ODC=45°
∴135°；

∴综上所述的度数为30°或45°或120°或135°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
19.（1）如图1，，点是在、之间，且在的左侧平面区域内一点，连接、．求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想、、之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3．，，求，，之间的关系．

【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出，最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）将线段向两方延长，分别交、于点、，即可根据三角形内角和、三角形的外角性质及平行线的性质得解．
【解析】（1）证明：如图1，过点作，

，
，，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知：，
，
，
、分别是和的平分线，
，，
，
，
在中，



即．
（3）解：，理由如下：
如图3，将线段向两方延长，分别交、于点、，

则，，
，
，
，
即：．
20.如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．
（1）①当时，的度数是 　　；
②，
　　；
（2）当，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．

【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；
（2）由平行线的性质可得，根据角平分线的定义知、，可得，即；
（3）由得、，根据平分知，从而可得；
（4）由得，当时有，得，即，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即可得出答案．
【解析】（1）①，，
，
；
②，
；
故答案为：130度，；
（2），
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；

（3）不变，．
，
，，
平分，
，

；
（4），
，
当时，则有，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
即．