【备战期中必刷真题】 新高考期中专题02 三角函数5.4-5.7大题综合 高一下学期期中考试真题必刷强化训练（新高考通用）

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【备战期中必刷真题】
新高考期中专题02 三角函数5.4-5.7大题综合
高一下学期期中考试真题必刷强化训练（新高考通用）

1．（2022春·山东烟台·高一烟台二中校联考期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)若将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由图得到，，求得，结合，求得，得到，即可求得函数的解析式；
（2）由三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：由图可知，且，所以,
因为，所以，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，所以．
（2）解：由（1）知，将的图象向右平移个单位长度得到，
令，解得，
所以递减区间为.
2．（2022春·山东济宁·高一统考期中）如图，函数，其中的图象与y轴交于点．

（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使的x的集合．
【答案】（1）,（2），,（3）
【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；
（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；
（3）由，求解不等式即可得解.
【详解】解：（1）因为函数图象过点，
所以，即．因为，所以．
（2）由（1）得，
所以当，，
即，时，
是增函数，故的单调递增区间为，．
（3）由，得，
所以，，
即，，
所以时，x的集合为．
【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.
3．（2022春·山东淄博·高一统考期中）已知的最小正周期为，图像关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据周期可求，根据对称轴可求，从而可得解析式；
（2）先根据图像变换求出的解析式，然后求出的单调递增区间．
(1)
因为的最小正周期为，
所以；
因为图像关于直线对称，所以，
即，
因为，所以；
所以.
(2)
由题意得；
，，即，；
所以的单调递增区间为.
4．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知函数，任意相邻两个对称轴之间的距离为，
(1)求的值并求函数的对称轴方程、单调递增区间；
(2)若方程在上有两个不同的实根，求a的取值范围和的值．
【答案】(1)2，对称轴方程为，，，
(2)的取值范围是，

【分析】（1）由任意相邻两个对称轴之间的距离为，可得，化简，从而可得对称轴方程、单调增区间；
（2）利用数形结合的思想方法可求解.
(1)

因为任意相邻两个对称轴之间的距离为，∴周期，
，即，
由，解得，
∴对称轴方程为，
由，得：，
所以的增区间为，，
(2)
因为，，
方程即，
令，
方程的根的个数也即函数，图象交点的个数，

由图象可知，方程有两个实根需满足，所以．
即的取值范围是.
由图象，根据对称性可知，.
5．（2022春·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考期中）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角函数的定义求出，再用二倍角公式求出；
（2）判断出，求出，利用两角差的正弦公式即可求解.
(1)
因为角的的终边过点，所以.
所以.
(2)
由（1）可知：.
因为，所以.
又，所以，所以.
所以


.
6．（2022春·山东烟台·高一烟台二中校联考期中）已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用诱导公式及二倍角正余弦公式等三角恒等变换可得，根据已知有，再由平方关系求，根据及和角余弦公式求值.
（2）由（1）及已知，令并将问题化为恒成立，即可求范围.
(1)
，
因为，所以，即，
因为，所以，则，
.
(2)
因为，，
所以，
令，则恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，
所以．
7．（2022春·山东德州·高一统考期中）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）通过二倍角公式以及辅助角公式将函数化简为，再结合正弦函数的性质即可得解；
（2）代入得，由两角差的正弦公式即可得结果.
(1)


令，，则，，
所以的单调递增区间为，.
(2)
因为，所以．
因为，所以，
所以，
所以

.
8．（2022春·山东潍坊·高一统考期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求k的取值范围，并求的值．
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为；
(2)k的范围为，为或.

【分析】（1）利用和角正弦公式、二倍角及辅助角公式得到，再由正弦型函数的性质求最小正周期和单调递增区间；
（2）设，问题转化为与在上有两个交点确定参数范围，利用正弦函数的对称性求.
(1)
因为



，
所以的最小正周期，
令，，则，
所以的单调递增区间为.
(2)
由题意，在上有且仅有两个解，
即与在上有且仅有两个交点，
由，则，
设，则，
的图象如下，

由图知：k的取值范围为，
设与在上的两个交点的横坐标分别为，
当时关于对称，即关于对称，则；
当时关于对称，即关于对称，则；
综上，的值是或.
9．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知
(1)化简，并求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，1；
(2).

【分析】（1）由商数关系、差角正弦及二倍角余弦公式、辅助角公式化简，进而求.
（2）由（1）及题设有、，再应用和角正弦公式求.
(1)



．
所以．
(2)
由（1）及题设得：，所以．
因为，所以，
所以，
所以

．
10．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(3)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)4
(3)

【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得，从而可求周期；
（2）先求函数的最值，再根据恒成立建立不等式组即可求解；
（3）将问题转化为二次方程有解问题解决.
（1）
由题意得，
.可得函数的最小正周期为.
（2）
因为，所以，
所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，所以整数m的最大值为4.
（3）
由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于x的方程在区间上有解，整理得：
，即（*）在区间上有解，
，
因为，所以
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，
综上所述：k的取值范围为.
11．（2022春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为的扇形区域，为弧的中点，设.

(1)用来表示矩形的面积，并指出的取值范围；
(2)为多少时，取得最大值，并求出此最大值.
【答案】(1)，
(2)时，取得最大值，最大值为

【分析】（1）设，分别交于，，
根据题意得到；
（2）由（1）中函数知，当时取最值.
(1)
设，分别交于，

，，，
                 



，
(2)
由（1）可得，当，即
12．（2022春·山东东营·高一统考期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为
(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;
(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；
(2)

【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.
【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，，所以，
由，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
由得，
所以所求对称轴方程为
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，所以，，
所以，，所以x的取值范围为
13．（2022春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）已知函数．
(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有2个不同实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)4；
(2).

【分析】（1）求出函数在上的最大、最小值，再利用恒成立的不等式求解作答.
（2）根据给定变换求出函数，再探讨在上的性质，结合图象求解作答.
（1）
当时，，则当，即时，，
当，即时，，
，于是得，，
依题意，任意，，因此有，
所以整数m的最大值是4.
（2）
依题意，，则，
当时，，当，即时，
函数在上单调递增，函数值从递增到1，
当，即时，函数在上单调递减，函数值从1递减到，如图，

方程在上有2个不同实数解，等价于函数在上的图象与直线有两个公共点，
观察图象知，当时，函数在上的图象与直线有两个公共点，
所以实数k的取值范围是.
【点睛】易错点睛：由的图象，利用图象变换作函数(A>0，>0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．
14．（2022春·山东日照·高一校联考期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)方程在上的根从小到大依次为，求的值.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)

【分析】（1）根据三角函数平移和伸缩变换可求得，令，解不等式即可得到单调递增区间；
（2）由可知，令，可知，结合正弦函数图象可知的三个解满足，，由此可推导得到结果.
(1)
，；
令，解得：，
的单调递增区间为
(2)
令，即；
，，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象可知：方程在有个解，

其中，；
即，，
，，.
15．（2022春·山东济宁·高一统考期中）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．

(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）
【答案】(1)矩形ABCD的面积为，的面积为；
(2)当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元.

【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形ABCD和的面积；
（2）由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值.
【详解】（1）由题意，，易得：．
所以矩形ABCD的面积为，
的面积为．
（2）设建造观景区所需总费用为，
由题意，，，
即，，
令，，
设，则，
由，
从而．
当，即时，有．
所以最小值为（万元）．
故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元．
16．（2022春·湖北鄂州·高一校联考期中）已知，其中，给出三个条件：
①关于直线对称；②；③图象沿x轴向左平移个单位可以得到一个偶函数．
(1)在这三个条件中任选一个，求；
(2)根据（1）所求函数表达式，求在上的值域．
【答案】(1)任选一条件，都有
(2)[0，3]

【分析】（1），若选择①，则有，，然后求出即可；若选择②，可得，然后求出即可；若选择③，可得，然后求出即可；
（2）根据正弦函数的知识可得答案.
(1)

若选择①，则有，
即，，故，

若选择②，则有
即，，即，，故，

若选择③，f（x）图象沿x轴向左平移个单位得到
为偶函数可得，，即
即，，故，

(2)
由（1）可得，
，则
根据正弦函数图象可得
故在上的值域是[0，3]．
17．（2022春·湖北恩施·高一校联考期中）已知函数的最小正周期为．
(1)求f（x）的单调增区间；
(2)将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在[0，b]（）上至少含有2022个零点，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；
（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.
(1)
由题得
．
因为f（x）的最小正周期为，所以，
则．
令，
解得，
所以f（x）的单调增区间为．
(2)
将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
所以．
令，得，
可得或，
解得或，
所以g（x）在每个周期上恰有2个零点，若在[0，上至少含有2022个零点，
则b不小于第2022个零点的横坐标即可，即b的最小值为．
18．（2022春·湖北宜昌·高一校联考期中）（1）若角的终边上有一点，求值：;
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式和三角函数定义即可化简并求值；
（2）根据已知条件求出，根据即可求解.
【详解】（1）因为角的终边上有一点，所以，
所以；
（2），，
，
.
19．（2022春·湖北·高一宜城市第一中学校联考期中）已知，，，
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及诱导公式，再利用角凑配
及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据已知条件及二倍角公式，再结合半角公式即可求解.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
， ，
∴，
∵
∴

∴
（2）由得
∴①
将①式两边平方得∴②
∵
∴
③
由①和③得
.
20．（2022春·湖北·高一校联考期中）已知函数，（，）是偶函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移单位长度，再把横坐标缩小为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图像，当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）依据题给条件求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）先得到函数的解析式，再去求其值域即可.
(1)


因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
又由函数为偶函数，所以，，又，所以
所以函数，即.
(2)
将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，
再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到的图像，
当时，，
当即时，函数取得最小值，最小值为，
当即时，函数取得最大值，最小值为2，
故函数的值域.
21．（2022春·湖北·高一校联考期中）已知函数，在下列三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知．
条件①：的最小正周期为；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：．
(1)求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值；
(3)令，若在上恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由条件①②③分别确定参数，然后确定选哪两个条件可得出函数解析式，根据函数解析式求函数值；
（2）由（1）知函数的单调性与取值无关，因此统一求解，利用正弦函数的单调性求参数范围、最大值．
（3）不含参数，求出的值域，不等式分离参数，用换元法后结合函数的单调性求得最值得参数范围．
(1)
因为
．
若选择条件①，则，又，故可得；
若选择条件②，则，故可得；
若选择条件③，则，故可得；
根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件．
若选择①②，则，此时；
若选择①③，则，此时．
(2)
根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，其单调性与相同，
故函数在区间上是增函数，可转化为在上是增函数．又当，，
要满足题意，只需，故可得，即实数a的最大值为．
(3)
，时，，由，得，
令，，则，
设，则，，
所以，即．
所以在上单调递增，
当时，y有最小值，则．
22．（2022春·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知函数．
（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数的图象关于直线对称得：，由于，故，进而根据整体代换求解函数的单调区间即可；
（2）结合（1）得时，函数单调递增；时，函数单调递减，由于，故或时，函数有且只有一个零点，进而得答案.
【详解】（1）∵函数，
且函数的图象关于直线对称，
∴，且，
∴．
由，
解得，
∴函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知．
∵，∴．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
又，
∴当或时，函数有且只有一个零点，
即或，
∴．
故实数的取值范围为．
23．（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知函数，
(1)化简；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【详解】（1），，
，
，所以，







.
（2），，
两边平方得，

.
24．（2022春·辽宁大连·高一育明高中校考期中）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）代入，再换元设，可得，再结合正弦函数的取值范围与二次函数的性质求解范围即可
(1)
由图可知．
设函数的最小正周期为，则，
所以，
又因为，由解得．
又由图可知函数经过点，则，
又因为，
所以，
所以函数．
(2)
由题，有实根，即， 设，则，即有实根.则，因为，故当时取得最小值，当时取得最大值，故
25．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为．

(1)求函数的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）由三角函数的定义即可求出，进而求得；
（2）根据题意，，进而通过两角和的余弦公式求得答案..
(1)
因为，所以，由三角函数定义，得，所以.
(2)
，，所以，，，所以.
26．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数，其中，．
(1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心；
(2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围．
【答案】(1)的单调增区间是，无单调递减区间；对称中心为，
(2)

【分析】（1）由正切函数的单调区间和对称中心可得结果；
（2）换元转化为在上恰有20个根，根据正切函数的图象列式可得结果.
(1)
由于，，，∴，
由，解得，
所以的单调增区间是．无单调递减区间，
令，求得，，故的图象的对称中心为，．
(2)
由题意可知，当时，
即在上恰有20个根，所以，解得．
综上，的取值范围是
27．（2022春·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期中）已知函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，且为偶函数．
(1)求函数和的解析式；
(2)若对，．当时，都有成立，求的取值范围；
(3)若关于的方程在上恰有四个不等实根，，，，求的取值范围和的值．
【答案】(1)，
(2).
(3)，

【分析】（1）先求出，由为偶函数，求出，得到和的解析式；
（2）先把题意转化为，构造函数，且在单调递增，利用复合函数的单调性求出的取值范围；
（3）先求出，令，则，数形结合判断出恰有4个不等实根时k的范围；不妨设四个实根，由对称性可求出．
（1）
由题意，
因为为偶函数，所以，即，所以，，
而，故，，，．
（2）
对，，，都有，，
设，则在单调递增．
又，
令，则，在递增，
故，．
（3）
，令，则，
则恰有4个不等实根，，，，
则，不妨设，
函数，与函数的图像恰有4个交点，如图所示（略），

在，，递增，在，，递减，
，，，
，，，，
，．
28．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）函数图象的一条对称轴为，一个零点为，最小正周期满足．
(1)求的解析式；
(2)若对任意恒成立，求的最大值．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）首先根据周期的范围求出，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出和的值，从而可求出函数的解析式；
（2）首先根据的解析式把条件转化为，再结合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到，即得到，结合正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而可求的最大值．
【详解】（1）因为函数的最小正周期满足，所以，即；
因为函数图象的一条对称轴为，所以①，
因为函数的一个零点为，所以②，
②①，得，所以当时，，
因为，所以把代入①，得.
所以.
（2）因为，所以由，得，即，
所以，即，
所以，即，所以，
所以，即，
所以的最大值为.
29．（2022春·辽宁大连·高一大连市第一中学校联考期中）扇形的圆心角为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为，求出与，并比较与的大小．

【答案】，，
【分析】图（Ⅰ）用表示出求出面积，然后利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式变形求得最大值，图（Ⅱ）中用表示出矩形的边长，求出面积，同样利用三角函数的恒等变换求得最大值．比较后可得．
【详解】图（Ⅰ），

在直角中，设，
则，
又由，
所以
．
当，即时，
矩形CDEF的面积最大，最大值为，即．
图（Ⅱ），令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，

设，，则，
，又由，
所以
，
当时，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，
即．因为，
所以．
30．（2022春·辽宁沈阳·高一校联考期中）某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设.

(1)试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域；
(2)根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值.
【答案】(1)，定义域为
(2)或

【分析】（1）分别用表示出,,用勾股定理即可得,从而得到周长表达式，当点F在D处，点E在C处时，可得到的范围，即定义域；
（2）令根据总长500米，即可求得值，然后利用平方和为1即可得到答案.
【详解】（1）在中，，所以，
在中，，所以，
又因为，所为，
所以，
当点F在D处时，最大，此时，
当点E在C处时，最小，此时，
故定义域为.
（2）由（1）得，
令，
则，
令，可得，
所以，
又因为，
所以或.
31．（2022春·山东东营·高一统考期中）函数的最小值为，
(1)当时，求；
(2)若，求实数
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.
（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.
【详解】（1）当时，
.
所以，当时，取得最小值，即.
（2）
，
若，即时，则当时，有最小值，.
若，即时，则当时，有最小值，.
所以，
若，得或
由解得或（舍去），
由解得（舍去）.
所以
32．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考期中）设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)当时，（且）；当时，，

【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；
（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;
（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.
【详解】（1）由题意可知
∵，

或，
∵
∴或
（2）

令，
∴，，
，
令，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，
成立，在上的值域为，在上的值域为
∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，
即，
所以当时，（且）；
当时，，
33．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知函数，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于y轴对称且．
(1)求函数的解析式：
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.

【分析】（1）根据给定函数的性质，求出，再由平移后的图象特征求出并判断作答.
（2）由给定方程可得或，根据根的情况结合图形求解作答.
(1)
因函数图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，则的周期，解得，
有，依题意的图像关于y轴对称，
则有，即，而，即有或，
当时，，不符合要求，当时，，
所以函数的解析式是.
(2)
由（1）知，，当时，，，
由得：，即或，
由，即，而，解得或，即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，

方程在上有两个不等实根，当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点，
观察图象知：或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
34．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直（垂足E在OA上）．

(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积；
(2)试求街道CE长度的最小值．
【答案】(1)平方千米
(2)千米

【分析】（1）结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；
（2）由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示，然后结合正弦函数性质可求．
【详解】（1）如下图，连接，过作，垂足为．当弧的长为弧长的三分之一时，，在中，，，故，．在中，，，所以，则，所以，可得的面积（平方千米）；
（2）设，则，，，
又，则，所以．在直角三角形中，，其中．因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即．综上，街道长度的最小值为千米．

35．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考期中）如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮，是圆弧上一点（不包括，），点，分别半径，上．

(1)若四边形为矩形，求其面积最大值；
(2)若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
【答案】(1)8；
(2).

【分析】(1)连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答.
(2)利用(1)中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.
(1)
连接OP，如图，令，

因四边形为矩形，则，
于是得矩形的面积，而，
则当，即时，取最大值1，即有，
所以矩形面积最大值为8.
(2)
由(1)知，，则，，
和的面积和：

，
令，即，而，则，
，
则，显然在上单调递减，
当，即时，，而，因此，，
所以和的面积和的取值范围是：.
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.