专题06+复数的综合运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题06 复数的综合运用  【考点预测】一、基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．（2）形如的数叫复数，记作．①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点）③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．二、基本性质1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．  【典型例题】例1．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）复数满足，则的范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则.则.则.故选：C例2．（2023春·安徽芜湖·高一校考期中）复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由题意得，所以z在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.故选：A例3．（2023春·河南·高一校联考期中）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由题意 ，显然 ，所以在复平面中对应的点在第一象限；故选：A.例4．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数z满足，且，则的值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，，解得，则，又，，故.故选：B.例5．（2023春·山西·高一统考期中）已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，又，所以，由时，不等式恒成立，则恒成立，即恒成立，令，因为时，单调递增，所以，所以实数t的取值范围是．故选：B例6．（多选题）（2023春·广西桂林·高一校考期中）已知，则下列说法正确的是（    ）A．在复平面内对应的点在第一象限B．C．的虚部是D．的实部是1【答案】ABD【解析】由题得.所以复数在复平面内对应的点在第一象限，所以选项A正确；，所以选项B正确；的虚部是1，所以选项C错误；的实部是1，所以选项D正确.故选：ABD例7．（多选题）（2023春·福建三明·高一校联考期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ）A．若，则 B．若，则的虚部为C．若，则不可能为纯虚数 ． D．若，则  ．【答案】ACD【解析】，所以，A正确；，虚部是，B错误；，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确．故选：ACD．例8．（2023春·浙江·高一期中）已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．【答案】【解析】设，则，因为，故 ，解得，故，故，故答案为：例9．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）已知复数，则复数___________.【答案】【解析】.因为，而，所以，所以.故答案为：例10．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知复数满足，求的最小值______．【答案】10【解析】复数，由，即，于是得，整理得，，即，表示点与点、距离的和，显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，所以的最小值是10.故答案为：10例11．（2023春·河南·高一校联考期中）设.(1)证明：；(2)在复数范围内，利用公式解方程.【解析】（1），故.（2），即，即则或，当，，当，或故方程的根为1或或.例12．（2023春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.【解析】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，所以，所以，所以. 【过关测试】一、单选题1．（2023春·山西吕梁·高一校联考期中）设，则复数（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：.故选：A.2．（2023春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）下列命题一定成立的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则是纯虚数D．若且，则且【答案】D【解析】对于，当时，，故选项错误；对于，当时，，但并不相等，故选项错误；对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，故选：.3．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）复数在复平面内对应向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故选：B.4．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知复数是纯虚数，则实数（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.故选：B5．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1【答案】D【解析】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；的实部为，故C错误；的共轭复数为，则模长为，故D正确，故选：D.6．（2023春·浙江·高一期中）任何一个复数（其中a、，为虚数单位）都可以表示成三角形式，其中．法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，下列说法正确的是（    ）A．B．当，时，C．D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数【答案】A【解析】对于A，因为，所以，，，所以，故A正确；对于B，时，根据棣莫弗定理，，所以B不正确；对于C，因为，所以，所以，所以C不正确；对于D，时，，n为偶数时，设, ，k为偶数时，为实数，选项D错误.故选：A.7．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）设，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以.故选：A.8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）已知，，，，，则（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】设，，所以，，因为，所以，即，所以.故选：D.二、多选题9．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则，且C．若是实数，则 D．若，则【答案】BD【解析】对于A，若，则，而此时，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以，且，所以B正确，对于C，若，则，而此时，所以C错误，对于D，设，则，所以，因为，所以，所以D正确，故选：BD10．（2023春·湖南邵阳·高一统考期中）已知a，，，，则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部是 B．C． D．z对应的点在第二象限【答案】BC【解析】由复数相等可得解得所以，对于A，的虚部是2，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.故选：BC11．（2023春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）A．点在复平面上的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为1【答案】ABC【解析】复数在复平面内对应的点为，则，．复数满足，则对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．∴的最大值为；的最小值为．综上可得：ABC正确，D不正确．故选：ABC．12．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】AD【解析】选项A：若，则，所以，故A正确，选项B：设，，则，但是，故B错误，选项C：设，则，，所以，故，故C错误；选项D：设，，，，，则，则，，所以，故D正确，故选：AD．三、填空题13．（2023春·山西吕梁·高一校联考期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.【答案】【解析】因为，，，所以，，，所以，所以.故答案为：.14．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）若复数满足，则=_________【答案】【解析】依题意，，所以.故答案为：15．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）复数、满足，，则______．【答案】【解析】原题等价于，，求.，，，.故答案为：.16．（2023春·广东广州·高一校考期中）已知是实系数方程在复数集内的一个根，则___________．【答案】14【解析】因为是实系数方程在复数集内的一个根，所以也是实系数方程的一个根.由根与系数的关系可得：解得：，所以.故答案为：14.17．（2023春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）已知复数，满足，，则的最小值为______．【答案】1【解析】根据复数的几何意义可得，，则在复平面内是以为圆心，为半径的圆上，，则在复平面内是以为圆心，8为半径的圆上，又两圆心间的距离为，故的最小值为故答案为：118．（2023春·吉林·高一吉化第一高级中学校校考期中）在复平面内，若复数z满足，则z在复平面内对应点满足的方程为______．【答案】【解析】由题意，，，，则，化简得，所以z在复平面内对应点满足的方程为.故答案为：四、解答题19．（2023春·浙江·高一期中）已知复数使得，，其中是虚数单位．(1)求复数的模；(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解析】（1）设复数，，根据题意，，所以，即；又，所以，即，所以，则；（2）由（1）可知，所以。在复平面内对应的点为，位于第一象限，所以且，解得，即的取值范围为．20．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数（，是虚数单位）.(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.【解析】（1），，因为在复平面内对应的点落在第一象限，所以，解得；（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以虚数也是一元二次方程的根，则，所以.21．（2023春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数z满足，为虚数单位.(1)求复数z；(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.【解析】（1）设复数，由题意，得 ，解得，所以.（2）由（1）可得，所点，，，.因为，所以，所以22．（2023春·山东·高一统考期中）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.(1)若复数为纯虚数，求实数m的值；(2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求.【解析】(1)由题可知，其中，∵复数为纯虚数，∴，且，∴.(2)∵，∴，∴，∴关于的方程的两根分别为，，∵对应的点在第一象限，∴，且 ，∵，∴，∴，或，∵，∴，∴，∴，∴.23．（2023春·河南·高一河南省实验中学校考期中）已知复数，，其中a是正实数．(1)若，求实数a的值；(2)若是纯虚数，求a的值．【解析】（1）∵，，，∴，从而，解得，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．24．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）已知复数满足，为纯虚数．(1)求复数z；(2)设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【解析】(1)设（a，），则，依题意，且，而，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1，所以或.(2)当时，，，则，，，，点B到边AC距离为1，则，当时，，，则，，，，点B到边AC距离为1，，所以△ABC的面积是1.25．（2023春·山东临沂·高一统考期中）已知复数，i为虚数单位.(1)求和；(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.【解析】(1)所以，(2)因为复数是关于的方程的一个根，所以，，即，所以，，即.所以，.