专题09 立体几何中的平行与垂直问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题09立体几何中的平行与垂直问题 【考点预测】1、证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2、证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）．【典型例题】例1．（2023春·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ）①，；②，；③，；④，； ⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 例2．（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（    ）A．若则 B．若则 C．若则 D．若则  例3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ）A． B．//平面C． D．//平面 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ）A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 例5．（多选题）（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（　　）A． B．C． D． 例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.(1)求证：平面；(2)求证：；    例7．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若平面，求四棱锥的体积.    例8．（2023·全国·高一专题练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求证：平面平面．    例9．（2023·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.    例10．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．     【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知在正方体中，交于点，则（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．2．（2023·全国·高一专题练习）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，则．其中正确命题个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·全国·高一专题练习）直线与平面斜交，那么在内与垂直的直线（    ）A．没有 B．有一条C．有无数条 D．有条（为大于1的整数）4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（    ）A． B．是等边三角形C．平面平面 D．二面角的正切值为5．（2023春·全国·高一专题练习）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　）A． B．平面    C．平面 D．平面平面6．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）A．平面内任意一条直线都不与平行B．平面和平面的交线不与平面平行C．平面内存在无数条直线与平面平行D．平面和平面的交线不与平面平行二、多选题7．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ）A． B．C．平面 D．平面8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（    ）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．9．（2023·全国·高一专题练习）如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（    ）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行10．（2023·全国·高一专题练习）已知空间中两个不同的平面，两条不同的直线满足，则以下结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若相交，则相交 D．若，则三、填空题11．（2023·全国·高一专题练习）设a，b为不重合的两条直线α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么bα；②若a⊂α，bα，a，b共面，那么ab；③若αβ，a⊂α，则aβ．上面命题中，所有真命题的序号是 _____．12．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是______.（从相交，平行，异面中选填）13．（2023·全国·高一专题练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）14．（2023·全国·高一专题练习）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．四、解答题15．（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.    16．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)证明：AC⊥PB；(2)证明：EF∥平面PAD．    17．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.    18．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．(1)求证：；(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．    19．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．    20．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.    21．（2023·全国·高一专题练习）P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.    22．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.