2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题综合

这是一份2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题综合，共33页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。


2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题综合

1．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．

（1）求S关于x的函数表达式．
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
2．已知矩形ABCD的周长为20，设AB的长为x，矩形的面积为S．
（1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当矩形ABCD的面积为24时，求AB的长；
（3）当AB的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．
4．某小区为了改善居住环境，准备修建一个巨型花园ABCD，为了节约材料并种植不同花卉，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块.已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米，设花园垂直于墙的一边的长为 x 米.

（1）若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值为多少？（栅栏占地面积忽略不计）
（3）当这个花园的面积不小于288平方米时，试结合函数图象，直接写出 x 的取值范围
5．已知：如图，抛物线 y=ax2−32x+c 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且 B(4,0) 、 C(0,−2) ，点D是第四象限的抛物线上的一个动点，过点D作直线 DF⊥x 轴，垂足为点F，交线段BC于点E

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）当 DE=2EF 时，求点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在P点，使得 △PAC 是以AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．

（1）饲养场的长为多少米（用含a的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？
7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,2),B(0,-2)其对称轴为直线x= 52 ，C(0, 12 )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D，

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点F使△ADF是直角三角形，如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由。
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ 32 ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
9．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象分别交 x 轴于点 A ， C ，交 y 轴于点 B ，抛物线的顶点为 D ，其中点 A(3,0) ， B(0,2) ， C(1,0) ．

（1）求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
（2）在直线 AB 的上方抛物线上有一点 E ，且满足 ∠ABE=2∠OAB ，请求出点 E 的坐标；
（3）点 M 为对称轴上一点，点 N 为抛物线上一点，是否存在点 M ， N ，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点 N 的坐标，若不存在请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 81 与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0) ，点D的坐标为 (1,3) .

（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED=EF ，求点E的坐标.
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得ΔADG 的面积是 ΔBDG 的面积的 35 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
12．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点.
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1，
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为 5 的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 y=12x2+bx−2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；
（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．
15．（基础巩固）

（1）如图1，AC∥DF，Rt△ABC≌Rt△DEF，连结AD，BE，求证：四边形ABED是平行四边形.
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别是A（1，3），B（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上.若以AB为边，其余两个顶点为C，D的四边形是平行四边形，求点C，D的坐标.
（3）如图3，抛物线y＝x2﹣4x+3与直线y＝x+3交于C，D两点，点E是抛物线上任意一点，在对称轴上是否存在点F，使得以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.
16．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y= 14 x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1，

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）若D为抛物线y= 14 x2+bx+c上一动点，是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等？若存在，求出此时t的值；
（3）如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．


答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵AB=xm，铝合金材料长为18m，
∴AD=BC=18−3x2，
∴S＝x·18−3x2＝−32x2+9x，
即S与x的函数表达式为：S＝−32x2+9x.
（2）解：由题意得：2≤x＜18−3x2，
解得：2≤x＜3.6，
∵S＝−32x2+9x＝−32（x-3）2+272，
∵−32＜0，对称轴是直线x＝3，且2≤x＜3.6，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝272，
当x＝2时，S取得最小值，此时S＝−32（2-3）2+272＝12，
答：窗户总面积S的最大值272m2，最小值是12m2．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意先求得AD=BC=18−3x2，再根据S=AB·AD代入数据，计算整理即可求解；
（2）由AB的长不能低于2m，且AB＜BC求得2≤x＜3.6，再由S＝−32x2+9x＝−32（x-3）2+272，结合二次函数的性质求得S的最大值和最小值即可.
2．【答案】（1）解：∵AB=x，∴BC=10−x．
∴S=AB⋅BC=x(10−x)=−x2+10x，其中0 （2）解：由S=24，得x(10−x)=24，即x2−10x+24=0．
解得x=4，或x=6．∴AB=4或AB=6．
（3）解：S=x(10−x)=−(x−5)2+25．
∴当AB=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是25．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 (1)、 根据题意，把矩形的面积用x表示出来，整理即可.
(2)、 把面积24带入，解方程的根即可解得.
(3)、 把二次函数整理成顶点式，根据二次函数的性质即可解得.
3．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴9a−3b+6=04a+2b+6=0 ．
解得： a=−1b=−1 ．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6．
（2）解：∵把x=0代入y=﹣x2﹣x+6，得y=6．
∴点C的坐标为（0，6）．
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则
2m+n=0n=6 ，
解得 m=−3n=6 ．
∴经过点B和点C的直线的解析式为：y=﹣3x+6．
∵点E在直线y=h上，
∴点E的坐标为（0，h）．
∴OE=h．
∵点D在直线y=h上，
∴点D的纵坐标为h．
把y=h代入y=﹣3x+6，得h=﹣3x+6．
解得x= 6−ℎ3 ．
∴点D的坐标为（ 6−ℎ3 ，h）．
∴DE= 6−ℎ3 ．
∴S△BDE= 12 •OE•DE= 12 •h• 6−ℎ3 =﹣ 16 （h﹣3）2+ 32 ．
∵﹣ 16 ＜0且0＜h＜6，
∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是 32 ．
（3）解：存在符合题意的直线y=h．
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则
−3k+p=0p=6 ，
解得 k=2p=6 ．
故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x= ℎ−62 ．
∴点F的坐标为（ ℎ−62 ，h）．
在△OFM中，OM=2，OF= (ℎ−62)2+ℎ2 ，MF= (ℎ−62+2)2+ℎ2 ．
①若OF=OM，则 (ℎ−62)2+ℎ2 =2，
整理，得5h2﹣12h+20=0．
∵△=（﹣12）2﹣4×5×20=﹣256＜0，
∴此方程无解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，则 (ℎ−62)2+ℎ2 = (ℎ−62+2)2+ℎ2 ，
解得h=4．
把y=h=4代入y=﹣x2﹣x+6，得﹣x2﹣x+6=4，
解得x1=﹣2，x2=1．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（﹣2，4）．
③若MF=OM，则 (ℎ−62+2)2+ℎ2 =2，
解得h1=2，h2=﹣ 65 （不合题意，舍去）．
把y=h1=2代入y=﹣x2﹣x+6，得﹣x2﹣x+6=2．
解得x1= −1−172 ，x2= −1+172 ．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（ −1−172 ，2）．
综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（﹣2，4）；当h=2时，点G的坐标为（ −1−172 ，2）．
【知识点】等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式，由题意可得点E的坐标为（0，h），则可求得点D的坐标为（ 6−ℎ3 ，h），则可得S△BDE= 12 •OE•DE= 12 •h• 6−ℎ3 =﹣ 12 （h﹣3）2+ 32 ，然后由二次函数的性质，即可求得△BDE的面积最大；（3）分别从①若OF=OM，则 (ℎ−62+2)2+ℎ2 =2、②若OF=MF，则 (ℎ−62)2+ℎ2 = (ℎ−62+2)2+ℎ2 与③若MF=OM，则 (ℎ−62)2+ℎ2 = (ℎ−62+2)2+ℎ2 去分析求解即可求得答案．
4．【答案】（1）解：如图：

∵AB+CD+EF+BC=60，AB=EF=CD=x，BC=y，
∴3x+y=60，
∴y=-3x+60（10≤x＜20）
（2）解：∵S=xy=x（-3x+60），
∴S=-3x2+60x，
∵a=-3＜0，
∴当x= −b2a=−602×（−3）=10 时，S有最大值 4ac−b24a =300平方米
（3）解：∵这个花园的面积不小288平方米，
∴-3x2+60x≥288，
∴-3x2+60x-288≥0.
设y=-3x2+60x-288≥0.
此函数的图象如图所示：

∴当这个花园的面积不小288平方米时，出x的取值范围是：10≤x≤12.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知栅栏的总长60米可以看做有BC，AB，CD和EF四段组成，把已知数据代入即可求出y和x的函数关系；（2）利用矩形的面积公式：长×宽和（1）的结论即可得到S和x的关系式，再利用二次函数的性质即可求出当x为何值时，这个矩形花园的面积最大和其最大值；（3）由（2）可知函数的关系式，由此关系式画出函数的图象，结合图象可直接写出x的取值范围.
5．【答案】（1）解：将 B(4,0) ， C(0,−2) 代入 y=ax2−32x+c ，得：
16a−6+c=0c=−2 ，解得： a=12c=−2 ，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2 ．
当 y=0 时， 12x2−32x−2=0 ，
解得： x1=−1 ， x2=4 ，
∴ 点A的坐标为 (−1,0)
（2）解：设线段BC所在直线的解析式为 y=kx+b(k≠0) ，
将 B(4,0) ， C(0,−2) 代入 y=kx+b ，得：
4k+b=0b=−2 ，解得： k=12b=−2 ，
∴ 线段BC所在直线的解析式为 y=12x−2 ．
设点D的坐标为 (x,12x2−32x−2)(0 ∴DE=12x−2−(12x2−32x−2)=−12x2+2x ， EF=−12x+2 ．
∵DE=2EF ，
∴−12x2+2x=2×(−12x+2) ，
整理，得： x2−6x+8=0 ，
解得： x1=2 ， x2=4( 舍去 ) ，
∴ 当 DE=2EF 时，点D的坐标为 (2,−3) ．

（3）解： ∵ 点A的坐标为 (−1,0) ，点C的坐标为 (0,−2) ，
∴OA=1 ， OC=2 ，
∴AC=OA2+OC2=5 ．
∵△PAC 是以AC为腰的等腰三角形，
∴CA=CP 或 AC=AP ．
① 当 CA=CP 时， CP=5 ，
又 ∵ 点C的坐标为 (0,−2) ，
∴ 点 P1 的坐标为 (0,5−2) ，点 P2 的坐标为 (0,−5−2) ；
② 当 AC=AP 时， OP=OC=2 ，
∴ 点 P3 的坐标为 (0,2) ．
综上所述：在y轴上存在P点，使得 △PAC 是以AC为腰的等腰三角形，点P的坐标为 (0,5−2) ， (0,−5−2) 或 (0,2)
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求出二次函数解析式，进而可求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得到点A的坐标；
（2）先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后设出点D的坐标，进而表示出点E的坐标，故可根据点D、E的坐标得线段DE、EF的表达式，然后将DE、EF代入已知条件DE=2EF可得方程，解此方程并结合点D的位置可求出点D的横坐标，故可解；
（3）先根据A、C的坐标求出线段AC的长，然后分CP=AC和AP=AC两种情况解答即可。
6．【答案】（1）解：由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（a﹣1）+2=60﹣3a；
故答案为：60﹣3a；
（2）解：由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）=288，
解得a=12或a=8；
当a=8时，60﹣3a=60﹣24=36＞27，
故a=8舍去，
则a=12；
（3）解：设饲养场面积为y，
则y=a（60﹣3a）=﹣3a2+60a=﹣3（a﹣10）2+300，
∵2＜60﹣3a≤27，
∴11≤a＜ 583 ，
∴当a=11时，y最大=297．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用总长减去3a后加上三个1米宽的门即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，注意a的范围讨论；（3）设出饲养场面积y与x之间的函数关系，根据已知条件确定自变量a的范围，求函数最大值．
7．【答案】（1）解：由题意得：9a−3b+c=2c=−2−b2a=52, 解得a=16b=−56c=−2,
∴抛物线的解析式为y=16x2-56x-2 ;
（2）存在.
设F（52，t）, AD2=(5+3)2+(-2-2)2=80, AF2=(52+3)2+(t-2)2, DF2=(5-52)2+(-t-2)2,
当AD2+DF2=AF2，△ADF是直角三角形，则80+(52+3)2+(-t-2)2=(52+3)2+(t-2)2,
解得t=-7, 此时F点坐标为（52，-7）；
当DF2+AF2=AD2，△ADF也是直角三角形，则(5-52)2+(-t-2)2+(52+3)2+(t-2)2=80,
解得t=±712，∴F点坐标为（52，712）或（52，-712）；
当AD2+AF2=DF2，△ADF也是直角三角形，则80+(52+3)2+(t-2)2=(5-52)2+(-t-2)2,
解得：t=13, ∴F点坐标为（52，13）.
综上，F点坐标为（52，13）,（52，712）或（52，-712）,（52，-7）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设F（52t,0）, 根据两点间距离公式分别求出DF2、AF2和AD2，然后根据勾股定理逆定理分三种情况列关系式，分别求出t值，得到F点坐标即可.
8．【答案】（1）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)，∵m≠0，
∴当y=0时， x1=−1，x2=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)
（2）解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：a−b+c=09a+3b+c=0c=−32， 解得 a=12b=−1c=−32， 故 C1：y=12x2−x−32. 如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B.C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x−32， 设 P(x，12x2−x−32)， 则 Q(x，12x−32)， PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，
当 x=32 时， S△PBC 有最大值， Smax=2716， 12×(32)2−32−32=−158， P(32，−158)
（3）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m， 顶点M坐标(1，−4m)，当x=0时，y=−3m，∴D(0，−3m)，B(3，0)，∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，
MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，
BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有： DM2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2.
DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；DM2+MB2=BD2. 时有： m2+1+16m2+4=9m2+9， 解得 m=−22 ( m=22 舍去).综上，m=−1或 −22 时， △BDM 为直角三角形
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将抛物线 y = m x 2 − 2 m x − 3 m 利用提公因式法及十字相乘法分解为m ( x − 3 ) ( x + 1 ) ， 根据抛物线的二次项系数不为0，从而得出当y=0时， x 1 = − 1 ， x 2 = 3 ， 即可求出A，B两点的坐标；
（2）利用待定系数法求出蛋线C1的解析式，如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设出P点的坐标，进而表示出Q点的坐标，得出PQ的长度，由S△PBC=S△PCQ+S△PBQ，得出S与x之间的函数关系式，再配成顶点式即可得出△PBC面积的最大值，进而得出P点的坐标；
（3）将蛋线 y = m x 2 − 2 m x − 3 m配成顶点式，得出M点的坐标，进而得出D，B的坐标，从而表示出DM2，MB2，BD2，根据当△BDM为Rt△时有：DM 2 +BD 2 =MB 2 或DM 2 +MB 2 =BD 2 . 从而分别得出关于m的方程，求解并检验即可得出答案。
9．【答案】（1）解：由 A(3,0) ， C(1,0) 两点可得抛物线的对称轴为 x=2 ，
将 A(3,0) ， B(0,2) ， C(1,0) 分别代入二次函数 y=ax2+bx+c 得：
9a+3b+c=0c=2a+b+c=0 ，
解得 a=23b=−83c=2
∴抛物线的解析式为 y=23x2−83x+2 ，对称轴为 x=2 ；
（2）解：如图，在 x 轴的负半轴截取 OA′=OA ，即点 A′(−3,0) ，直线 A′B 交抛物线于点 E ，

∴∠OA′B=∠OAB ，
∴∠ABE=∠OA′B+∠OAB=2∠OAB ，
设直线 A′B 的解析式为 y=kx+b ，把 A′(−3,0) ， B(0,2) 代入得：
−3k+b=0b=2 ，
解得 k=23b=2 ，
∴直线 A′B 的解析式为： y=23x+2 ，
根据题意可得方程组： y=23x+2y=23x2−83x+2
解得： x1=0y1=2 （舍去） x2=5y2=163 ，
∴点 E(5,163) ；
（3）解：存在点 M ， N ．
设 M(2,d) ， N(n,23n2−83n+2) ，
若以AB为边，
①平行四边形是ABMN，则AM中点为 (52,d2) ，BN中点为 (n2,23n2−83n+42) ，
52=n2d2=23n2−83n+42 ，
解得 n=5d=113 ，
∴N(5,163) ；
②平行四边形是AMNB，则BM中点为 (1,2+d2) ，AN中点为 (n+32,23n2−83n+22) ，
1=n+322+d2=23n2−83n+22 ，
解得 n=−1d=53 ，
∴N(−1,163) ；
若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，
则AB中点为 (32,1) ，MN中点为 (n+22,d+23n2−83n+22) ，
32=n+221=d+23n2−83n+22 ，
解得 n=1d=2 ，
∴N(1,0) ；
综上所述，若点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形ABMN，则点 N 的坐标为 (5,163) ；平行四边形ANBM，则点 N 的坐标为 (1,0) ；平行四边形AMBN，则点 N 的坐标为 (−1,163) ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用点A，C的坐标可求出抛物线的对称轴，再将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式建立关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到抛物线的函数解析式.
（2）在x轴的负半轴截取OA＇=OA，可得到点A＇的坐标，直线A＇B交抛物线于点E，可得到∠OA＇B=∠OAB，再求出直线A＇B的函数解析式，将直线A＇B的解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出点E的坐标.
（3）利用函数解析式设点M(2,d) ， N(n,23n2−83n+2) ，利用平行四边形的判定定理分情况讨论：若以AB为边，① 平行四边形是ABMN ，可得到AM和BN的中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；②平行四边形是AMNB，可得到BM中点AN中点坐标，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；若以AB为对角线，平行四边形是AMBN，由此可建立关于n，d的方程组，解方程组求出n，d的值，可得到点N的坐标；综上所述可得到符合题意的点N的坐标.
10．【答案】（1）解：抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
−43+b+c=0c=4 ……1’解得 b=−83c=4 ……2’?抛物线的解析式为y=﹣ 43 x2﹣ 83 x+4
（2）解：E（m，0），B（0，4），PE?x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
P（m，﹣ 43 m2﹣ 83 m+4），G（m，4），?PG=﹣ 43 m2﹣ 83 m+4﹣4=﹣ 43 m2﹣ 83 m
（3）解：由﹣ 43 x2﹣ 83 x+4=0，解得x=1或﹣3，?D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣ 43 x2﹣ 83 x+4=4，得﹣2＜m＜0．
??BGP??DEH，? EH4=m+33 ，即 EH=43m+4
在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与?DEH相似分两种情况：
?如果?BGP??DEH，那么 BGDE = GPEH ，即 −mm+3 = −43m2−83m43m+4 ，解得m=﹣1；
?如果?PGB??DEH，那么 PGDE = BGHE ，即 −43m2−83mm+3 = −m43m+4 ，得m=﹣ 2316 ．
综上所述，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与?DEH相似，
此时m的值为﹣1或﹣ 2316 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A、B两点坐标代入函数解析式，建立方程组，求解即可得出函数解析式。
（2）根据点E、B的坐标分别表示出点P、G的坐标，再用含m的代数式表示出PG即可。
（3）先根据抛物线的解析式求出D（-3，0），则当点P在直线BC上方时，-2 11．【答案】（1）解：依题意，设二次函数的解析式为 y=a(x−1)2+3
将点B代入得 0=a(5−1)2+3 ，得 a=−316
∴二次函数的表达式为： y=−316(x−1)2+3
（2）解：依题意，点 B(5,0) ，点 D(1,3) ，设直线BD的解析式为 y=kx+b
代入得 0=5k+b3=k+b ，解得 k=−34b=154
∴线段BD所在的直线为 y=34x+154 ，
设点E的坐标为： (x,34x+154)
∴ED2=(x−1)2+(−34x+154−3)2
EF2=(34x+154)2
∵ED=EF
∴(x−1)2+(−34x+154−3)2=(−34x+154)2
整理得 2x2+5x−25=0
解得 x1=52 ， x2=−5 （舍去）
故点E的纵坐标为 y=34×52+154=158
∴点E的坐标为 (52,158)
（3）解：存在点G，
设点G的坐标为 (x,t)
∵点B的坐标为 (5,0) ，对称轴 x=1
∴点A的坐标为 (−3,0)
∴设AD所在的直线解析式为 y=kx+b
代入得 0=−3k+b3=k+b ，解得 k=34b=94
∴直线AD的解析式为 y=34x+94
∴ AD的距离为5
点G到AD的距离为： d1=Ax+By+CA2+B2=3x−4t+95
由（2）知直线BD的解析式为： y=34x+154 ，
∵BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为： d2=Ax+By+CA2+B2=3x+4t+155
∴SΔADCSΔBDG=AD⋅d1⋅12BD⋅d2⋅12=3x−4t+93x+4+15=35
整理得 5x−32t+90=0
∵点G在二次函数上，
∴t=316(x−1)2+3
代入得 5x−32[−316(x−1)2+3]+90=0
整理得 6x2−7x=0⇒x(6x−7)=0
解得 x1=0 ， x2=76
此时点G的坐标为 (0,4516) 或 (76,575192)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点式，再代入点B的坐标即可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据点的坐标与图形的性质用含x的式子表示出点E的坐标，根据两点间的距离公式表示出DE与EF，然后根据EF=ED列出方程，求解并检验即可得出点E的坐标；
（3） 存在点G， 设点G的坐标为 (x,t) ，根据抛物线的对称性求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，然后找出点G到AD与BD的距离，根据三角形的面积计算方法，由 ΔADG 的面积是 ΔBDG 的面积的 35 ，列出方程，整理得 5x−32t+90=0 ，根据抛物线上的点的坐标特点用含x的式子表示出t，将t的值代入 5x−32t+90=0，求解即可算出x的值，从而求出点G的坐标。
12．【答案】（1）解：∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得：m＜ 2512 且m≠0.
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2.
∴函数的解析式为y=2x2+x.
（2）解：①抛物线的对称轴为x=﹣ b2a =﹣ 14 .
∵n≤x≤﹣1＜﹣ 14 ，a=2＞0，
∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小.
∴当x=n时，y=﹣3n.
∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）.
∴n的值为﹣2.
②∵y=2x2+x=2（x+ 14 ）2﹣ 18 ，
∴M（﹣ 14 ，﹣ 18 ）.
如图所示：

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值.
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣ 14 k=﹣ 18 ，解得：k= 12 .
∴OM的解析式为y= 12 x.
设点P的坐标为（x， 12 x）.
由两点间的距离公式可知：OP= x2+(12x)2 =5，
解得：x=2或x=﹣2（舍去）.
∴点P的坐标为（2，1）.
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式.
13．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线E：y=−(x−m)2+2m2(m<0)的顶点P的坐标为(m，2m2)，∵点P在抛物线F：y=ax2上，∴am2=2m2，∴a=2．
（2）解：∵直线x=t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴yA=−(t−m)2+2m2=−t2+2mt+m2，yB=2t2，∴s=yA−yB=−t2+2mt+m2−2t2=−3t2+2mt+m2=−3(t−13m)2+43m2，∵−3<0，∴当t=13m时，s的最大值为43m2，∵s的最大值为4，∴43m2=4，解得m=±3，∵m<0，∴m=−3．
（3）解：存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M(n，2n2)，∴Q(2n−m，4n2−m2)，∵点Q在x轴正半轴上，∴2n−m>0且4n2−m2=0，∴n=−22m，∴M(−22m，m2)，Q(−2m−m，0)．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K=∠N=90°，∠QPK+∠PQK=90°，∵∠PQG=90°，∴∠PQK+∠GQN=90°，∴∠QPK=∠GQN，∴ΔPKQ∽ΔQNG，∴PK：QN=KQ：GN，即PK⋅GN=KQ⋅QN．∵PK=−2m−m−m=−2m−2m，KQ=2m2，GN=−2m−m，∴(−2m−2m)(−2m−m)=2m2⋅QN解得QM=32+42．∴G(0，−32+42)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将抛物线E的函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标；再根据点P在抛物线F上，将其代入，可得到关于m的方程，解方程求出a的值.
（2）将x=t代入两个抛物线的解析式，求出对应的y的值；再根据s＝yA﹣yB，代入可得到s与t的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及s的最大值为4，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
（3）设点M的坐标为n，可表示出点M，Q的坐标；利用点Q在x轴的正半轴，可得到关于m的不等式，求出m的取值范围；同时可得到关于n的方程，解方程表示出n，代入可表示出点M，Q的坐标；过点Q作KN⊥x轴，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N，利用余角的性质可证得∠QPK=∠GQN，可得到△PKQ∽△QNG，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，建立关于MQ的方程，解方程求出QM的长，即可得到点G的坐标.
14．【答案】（1）解：把A（﹣1，0）代入 y=12x2+bx−2 得到：0= 12 ×（﹣1）2﹣b﹣2，
解得b=﹣ 32 ，
则该抛物线的解析式为：y= 12 x2﹣ 32 x﹣2．
又∵y= 12 x2﹣ 32 x﹣2= 12 （x﹣ 32 ）2﹣ 258 ，
∴顶点D的坐标是（ 32 ，﹣ 258 ）
（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为：y= 12 x2﹣ 32 x﹣2．则C（0，﹣2）．
又∵y= 12 x2﹣ 32 x﹣2= 12 （x+1）（x﹣4），
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AC= 5 ，BC=2 5 ，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：由（2）知，B（4，0），C（0，﹣2），
由抛物线的性质可知：点A和B关于对称轴对称，如答图1所示：
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 5 ．
∴CM+AM的最小值是2 5

（4）解：如答图2，过点P作y轴的平行线交BC于F．
设直线BC的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．
把B（4，0）代入，得
0=4k﹣2，
解得k= 12 ．
故直线BC的解析式为：y= 12 x﹣2．
故设P（m， 12 m2﹣ 32 m﹣2），则F（m， 12 m﹣2），
∴S△PBC= 12 PF•OB= 12 ×（ 12 m﹣2﹣ 12 m2+ 32 m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，
∴当m=2时，△PBC面积的最大值是4．

【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；（3）根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2 5 ；（4）过点P作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求得直线BC的解析式，可求得点F的坐标，设P点的横坐标为m，可得点P的纵坐标，继而可得线段PF的长，然后利用面积和即S△PBC=S△CPF+S△BPF= 12 PF×BO，即可求出．
15．【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠CAD+∠ADF=180°，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AB=DE，
∴∠BAD+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形；
（尝试应用）
（2）解：当点C、D都在坐标轴正半轴时，如图，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，连接AC，

∵AM∥ON，
∴∠MAC=∠ACN，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠MAD=∠BCN，
在△AMD与△BCN中，
∠AMD=∠BNC∠MAD=∠BCNAD=BC ，
∴△AMD≌△BCN(AAS)，
∴AM=CN=1，MD=BN=1，
∴OD=2，OC=3，
∴C（3，0），D（0，2）；
当点C、D都在坐标轴负半轴时，如图，过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥y轴于Q，

同理可证△APC≌△DQB(AAS)，
∴AP=QD=3，CP=BQ=4，
∴OD=2，OC=3，
∴C（-3，0），D（0，-2）；
综上，点C，D的坐标为C（3，0），D（0，2）或C（-3，0），D（0，-2）；
（拓展提高）
（3）解：存在，理由如下：
解方程组 y=x2−4x+3y=x+3 ，得 x=0y=3 或 x=5y=8 ，
∴C（5，8），D（0，3），
抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为 x=−b2a=2 ，
∵以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形，
显然，点E，F在边CD的上方，
设E（m， m2−4m+3 ），D（2，n），
当DE为对角线时，则D、E与F、C的中点坐标相同，

则 0+m2=2+52 ，
解得： m=7 ，
则 72−4×7+3=24 ，
∴E（7， 24 ）；
当DF为对角线时，则D、F与E、C的中点坐标相同，

则 0+22=m+52 ，
解得： m=−3 ，
则 (−3)2−4×(−3)+3=24 ，
∴E（ −3 ， 24 ）；
综上，点E的坐标为（ −3 ， 24 ）或（7， 24 ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠CAD+∠ADF=180°；利用全等三角形的性质可证得∠BAC=∠EDF，AB=DE，由此可推出∠BAD+∠ADE=180°，可证得AB∥DE，由此可证得四边形ABED.
（2）当点C、D都在坐标轴正半轴时，如图，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，连接AC，利用平行线的性质去证明∠MAD=∠BCN，利用AAS证明△AMD≌△BCN，利用全等三角形的性质可证得AM=CN=1，MD=BN=1，可得到OD，OC的长，即可得到点C，D的坐标；当点C、D都在坐标轴负半轴时，如图，过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥y轴于Q，同理可证△APC≌△DQB，利用全等三角形的性质可证得AP=QD=3，CP=BQ=4，再求出OD，OC的长，可得到点C，D的坐标.
（3）将两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到点C，D的坐标；利用二次函数的解析式求出对称轴；以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形， 点E，F在边CD的上方，设E（m， m2−4m+3 ），D（2，n），当DE为对角线时，则D、E与F、C的中点坐标相同，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到点E的坐标；当DF为对角线时，则D、F与E、C的中点坐标相同，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点E的坐标；综上所述，可得到点E的坐标.
16．【答案】（1）解：∵c（0，﹣1），
∴y= 14 x2+bx﹣1，
又∵AO=2OC，
∴点A坐标为（﹣2，0），
代入得：1﹣2b﹣1=0，
解得：b=0，
∴解析式为：y= 14 x2﹣1
（2）解：假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等，
设D（a， 14 a2﹣1），
则OD= a2+(14a2−1)2 = (14a2+1)2 = 14 a2+1，
点D到直线l的距离： 14 a2﹣1+|t|，
∴14 a2﹣1+|t|= 14 a2+1，
解得：|t|=2，
∵t＜﹣1，
∴t=﹣2，
故当t=﹣2时，直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等
（3）解：作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则EN=y1+2，FH=y2+2，
∵M为EF中点，
∴M纵坐标为： y1+y22 = (EN−2)+(FH−2)2 = EN+FH2 ﹣2，
由（2）得：EN=OE，FH=OF，
∴y1+y22 = EN+FH2 ﹣2= OE+OF2 ﹣2，
要使M纵坐标最小，即 OE+OF2 ﹣2最小，
当EF过点O时，OE+OF最小，最小值为8，
∴M纵坐标最小值为 OE+OF2 ﹣2= 82 ﹣2=2．

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据点C坐标，可得c=﹣1，然后根据AO=2CO，可得出点A坐标，将点A坐标代入求出b值，即可得出函数解析式；（2）假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等，设出点D坐标，分别求出OD和点D到直线l的距离，然后列出等式求出t的值；（3）作EN⊥直线l于点G，FH⊥直线l于点H，设出点E、F坐标，表示出点M的纵坐标，根据（2）中得出的结果，代入结果求出M纵坐标的最小值．