湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、命题“，，使得”的否定形式是(   )

A.，，使得 B.，，使得

C.，，使得 D.，，使得

3、若是上的增函数，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、设每门高射炮命中飞机的概率是0.6.今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少的概率命中它(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

5、一支医疗小队由3名医生和8名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有(   )

A.252种 B.540种 C.792种 D.684种

6、某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点的残差为(   )

A.-5 B.-6 C.3 D.2

7、下列说法正确的是(   )

A.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

B.一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“恰有一次中靶”互为对立事件

C.在经验回归方程中，当变量x每增加1个单位时，变量平均减少0.5个单位

D.两个分类变量x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的的值越小

8、已知定义域是R的函数满足，当时，若时，有解，则实数t的取值范围是(   )

A. B.

C. D.

二、多项选择题

9、下列说法正确的是(   )

A.命题“，”的否定是“，”

B.命题“，”的否定是“，”

C.“”是“”的必要条件

D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

10、下列既是奇函数，又是增函数的是(   )

A.  B.

C. D.

11、下列结论正确的是(   )

A. B.

C. D.

12、设，，，则下列结论正确的是(   )

A.

B.当时，

C.若，，则

D.当，时，则

三、填空题

13、已知集合，，若，则_________.

14、已知甲盒装有3个红球，m个白球，乙盒装有3个红球，1个白球，丙盒装有2个红球，2个白球，这些球除颜色以外完全相同.先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是，假设取到每一个盒子是等可能的，则____________.

15、设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则_________.

16、设实数x，y满足，则代数式的最小值为__________.

四、解答题

17、已知数列为等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，满足，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18、某小型企业在前半年的利润情况如表所示：

设第i个月的利润为y万元.

(1)根据表中数据，求y关于i的回归方程(系数精确到0.01)；

(2)由(1)中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元?(结果精确到整数部分，如98.1万元万元)

(3)已知y关于i的样本相关系数为0.8834.从相关系数的角度看，y与i的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由.

参考数据：，，，，取.

附：样本的样本相关系数，

经验回归方程中的系数，.

19、在四棱锥中，，，.

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)求二面角的余弦值.

20、足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需再踢第5轮了；

③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.

(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望；

(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中(需要分出胜负)相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为3，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.

21、定义在区间上的函数满足：对任意的都有，且当时，.

(1)判断在区间上的单调性并证明；

(2)求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在区间上恒成立.

22、已知点为中心在坐标原点的椭圆C的焦点，且椭圆过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F作直线l与椭圆C交于A，B两点，设，若，点，求的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：全集，集合，，

，则.故选C.

2、答案：D

解析：由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“，，”的否定形式为“，，”.故选D.

3、答案：A

解析：由于函数是上的增函数，

则函数在上是增函数，所以，解得；

且有，即，解得，

因此实数a的取值范围是，故选A.

4、答案：D

解析：设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“命中飞机”这一事件，用表示“第i门高射炮命中飞机”，则，，…，相互独立，且有.

，依题意，

，，又，，则n应取6.故选D.

5、答案：D

解析：先安排医生，再安排护士.安排医生，方法数有种.

安排护士，护士6名，可分为2，2，2或者1，2，3两类.由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，

故方法数有种.其中表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数，

表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数.

所以总的方法数有种，故选D.

6、答案：B

解析：令，则，

，

所以，，所以，

当时，，所以残差为.故选B.

7、答案：C

解析：对于A，根据样本相关系数r的意义，可知在线性回归模型当中，样本相关系数r表示解释变量x对于预报变量y变化的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，故A错误；

对于B，“至少有两次中靶”的对立事件应该为“一次都末中靶或只中一次靶”，所以B错误；

对于C，在经验回归方程中，当变量x每增加1个单位时，变量平均减少0.5个单位，故C正确；

对于D，x，y关系越紧密，则由观测数据计算得到的值越大，所以D错误.故选C.

8、答案：B

解析：定义域是R的函数满足，函数是R上的奇函数，

又当时，

利用函数的奇偶性画出函数在上的大致图象，如图所示，

当时，，

若时，有解，

，即，解得或.故选B.

9、答案：BD

解析：对于A选项，命题“，”的否定是“，”，故A选项错误；

对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；

对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；

对于D选项，关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确.故选BD.

10、答案：ABD

解析：根据函数单调性和奇偶性的定义，，，，且这三个函数均是R上的增函数，

对于D，由，由复合函数单调性，

易得为R上的增函数；

C中，，，显然C不满足条件.故选ABD.

11、答案：AD

解析：对于A，由全概率公式得，故A正确；

对于B，由全概率公式得，故B错误；

对于C，由条件概率得，故C错误；

对于D，由贝叶斯公式得，故D正确.故选AD.

12、答案：ACD

解析：根据题意，在中，令可得，令可得，

又由，则，A正确；

对两边求导，

得到，

再两边求导得到，

令，可得，故B错误；

根据题意，，，

则，若，，则

解可得，则.故C正确；

当，时，

.故D正确.故选ACD.

13、答案：-1

解析：集合，，且，，

则且，或且，

若且，则，，此时满足条件；若且，则不满足条件，

综上所述，，.所以.

14、答案：4

解析：记事件为分别取到甲、乙、丙盒，事件B为取到白球，

则，

解得.

15、答案：

解析：当时，，

因为为奇函数，则，

令，则，故，则，令，则，

又因为为偶函数，则，令，则，

因为，所以，联立解得

所以当时，.

又因为，

即，则，

所以函数是以4为周期的函数，

故.

16、答案：

解析：由题意，得，

令，，

，要使实数x满足此一元二次方程，即一元二次方程有实根，

即，解得，

，则，

故的最小值为.

17、

（1）答案：；

解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，

由题意可得即

解得，，，

又解得，

，.

（2）答案：

解析：由(1)知，

，

，

两式相减可得

，

.

18、答案：(1)

(2)可预测第7个月的利润约为114万元或115万元

(3)y与i的拟合关系式更适合用

解析：(1)y关于i的回归方程，

设，，，

则，

所以，

故y关于i的回归方程为.

(或：所以，故y关于i的回归方程为.)

(2)当时，，

故可预测第7个月的利润约为114万元.

(或：当时，，

故可预测第7个月的利润约为115万元.)

(3)由(1)知，y关于t的样本相关系数

因为，

所以y与i的拟合关系式更适合用.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.

由对称性知，O为BD中点，且，，

易知，，由知，

又，，平面ABCD，

又平面，平面平面ABCD.

(2)平面，，，.

以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则，，.

易知平面PBD的一个法向量为.

设平面PCD的法向量为，

则，，

，，

令，得，，

，

，

设二面角的大小为，由图可知为锐角，则.

20、答案：(1)分布列见解析，数学期望为

(2)

解析：(1)由题意可得，，X所有可能的取值为0，1，2，3，

，，

，，

故X的分布列为：

故.

(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，

由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，

甲乙两队进球数之比为：“甲VS乙：”记为事件，或：“甲VS乙：”记为事件，

则，且与互斥，

，

，

故.

21、答案：(1)在区间上单调递增

(2)实数t的取值集合为

解析：(1)令，则，得，

再令，则，

，为奇函数，

对任意，则，

令，，

则，

当时，，

，，

从而，

在区间上单调递增.

(2)为奇函数，

即为，

在区间上单调递增，且，

在区间上单调递增，

由题意得且在上恒成立，

，得；

，，得，，

即实数t的取值集合为.

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)设，由对称性设它的另一个焦点，半焦距，

于是，，因此，

于是，，所以.

(2)由题意设直线l的方程为.

将直线l的方程代入中，得.

设，，，可得，①.②

将上面①式平方除以②式，得.

因为，所以，且.

则，

由，

所以.

因为，，所以.

又，所以，

故

，

令，因为，

所以，即，

所以，

而，所以，

所以.