2022-2023学年湖南师范大学附属中学高一上学期第一次大练习（月考）数学试卷

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习

数  学

时量：120分钟    满分：150分

得分：           

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（       ）

A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形

2．集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．下列各式正确的个数是（       ）

 ①； ②； ③；

 ④； ⑤； ⑥．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知a，b，，那么下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

5．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．不等式成立的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

7．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

8．在R上定义运算：．已知时，存在x使不等式成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知集合A={1，2，}，B={1，}，若，则a的可能取值为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

10．若，，则下面四个不等式成立的有（       ）

A． B． C． D．

11．下列说法正确的有（       ）

A．命题“若，则”的否定是“若，则”

B．命题“，”的否定是“，”

C．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为

D．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围为

12．已知，，，则的可能取值有（       ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________．

14．已知，则的最大值是________．

15．已知函数．若对于，恒成立，则实数m的取值范围为________．

16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

 ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；

 ③教师人数的两倍多于男学生人数．

（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；

（2）该小组人数的最小值为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本大题满分10分）

 设a，，集合P={1，}，Q={，}，若P=Q．

（1）求的值；

（2）集合，，若，求实数c的取值范围．

18．（本大题满分12分）

（1）设，试比较与的大小；

（2）已知a，b，x，y都是正数，且，，求证：．

19．（本大题满分12分）

 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为．定义变换T，变换T将集合A变换为集合．

（1）若A={0，1，2}，求，；

（2）若集合A={，，，…，}，…，，证明：“”的充要条件是“…”．

20．（本大题满分12分）

 已知．

（1）当，时，求的最大值；

（2）当，时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．

21．（本大题满分12分）

 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．

（1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）

（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？

22．（本大题满分12分）

 已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若对任意，恒成立，求的最大值；

（3）已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．

答案

1D 2A 3B 4C 5D 6D 7C 8C 9BD 10ACD 11BCD 12AB

13.存在两个全等三角形，它们的面积不相等

14.    15.   16.6,12

17. 解：（1）设，，，，，，若，则，，故；

（2）由（1）可知：，则在上恒成立，

记，则只需要，．

18. （1）解：方法一：

；

因为，所以，，

所以，

所以；

方法二：，所以，，，

所以，；

所以，

所以；

（2）证明：，

因为且，，

所以；

又因为，所以，

所以．

19. 解：（1）若集合，1，，则（A）（A），1，2，3，．

（2）令，，．不妨设．

充分性：设是公差为的等差数列．

则，

且．所以共有个不同的值．即（A）．

必要性：若（A）．

因为，，2，，．

所以（A）中有个不同的元素：，，，，，，，．

任意的值都与上述某一项相等．

又，且，，2，，．

所以，所以是等差数列，且公差不为0

20. 解：（1）∵，，．

∴

当且仅当时取等号，即，时取等号，

所以的最大值为；

（2）因为，，，

即，

所以

，

当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值，

因为不等式恒成立，

所以，

解得，，

∴实数m的取值范围：为．

21. 解：（1）当时，，

当时，，

故．

（2）当时，，

故当时，取得最大值，且最大值为128，

当时，

，

当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136，

由于，

所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．

22. 解：（1）的解集为，

，，，，

，

解集为；

（2）对任意，恒成立，

△，即，

又，，

故，

，当，时取“”，

的最大值为1，

（3）由对于一切实数恒成立，可得即，由存在，使得成立可得△，

△，

，

，

当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为8．