2023年海南省海口市第九中学中考二模数学试题

2023年海南省海口市第九中学中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．实数的倒数是（    ）

A． B． C． D．

2．2022年5月，神舟十三号搭载的万粒作物种子顺利出舱，其中万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“梦”字所在面相对的面上的汉字是（    ）

A．青 B．亮 C．点 D．想

4．在直角坐标系中，点向右平移两个单位得到的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）

A．4 B． C．3 D．

7．如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（    ）

A．5 B．4 C．6 D．8

10．在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（　　）

A． B． C． D．

11．在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3

二、填空题

13．因式分解：__________．

14．方程的解为___________．

15．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，，若，则______．

16．如图，正方形中，点是边中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于点，若，则长度为______，的长度为______．

三、解答题

17．（1）计算．

（2）求不等式组的整数解．

18．“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树，经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元：购买3棵柏树和2棵杉树共需900元，求柏树和杉树的单价各是多少元．

19．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用）．将数据进行整理后，给制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次抽取学生共有______人，扇形统计图中A所对的圆心角度数是______；

(2)请直接补全条形统计图；

(3)该校共有名学生，根据调查结果求出偶尔使用公筷的人数约有多少人．

20．年月日，神舟十四号载人航天飞船搭载明星机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，，机械臂端点到工作台的距离．

(1)、两个机械臂的夹角______；

(2)、之间的距离(结果保留根号)；

(3)求长结果精确到，参考数据：，，，)

21．如图①，点为正方形内一动点，且，将绕点按顺时针方向旋转，得到，连结，延长交于点，连接．

(1)求证．

(2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

(3)如图①，若，，求出的长．

(4)若正方形边长为，直接写出的最小值用含的代数式表示．

22．如图①，已知抛物线的图象经过点，．过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，连结．

(1)求抛物线的关系式并写出点的坐标；

(2)若动点在轴下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出此时点横坐标；

(3)若将抛物线向上平移个单位，且其顶点始终落在的内部或边上，写出的取值范围；

(4)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】根据倒数的定义求解即可， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数．

【详解】的倒数是

故选：D．

【点睛】本题考查了实数的性质，倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：万．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

3．A

【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．

【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，

∴在此正方体上与“梦”字相对的面上的汉字是“青”．

故选：A．

【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．

4．B

【分析】根据平移的方式可得横坐标加2个单位即可求得答案

【详解】解：点向右平移两个单位得到的点的坐标是

故选B

【点睛】本题考查了根据平移方式求点的坐标，掌握平移的规律是解题的关键．平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

5．D

【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．

6．B

【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．

【详解】解：关于x的方程的一个根为，

所以，

解得．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．

7．A

【分析】先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可．

【详解】解：∵AB=BC，

∴∠BAC=∠C=25°，

∵，

∴∠ABD=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD=180°-25°-25°-60°=70°，

故选A．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD和∠ABD的度数是解题的关键．

8．D

【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．

【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误；

点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；

b在a的右边，故b>a，故C选项错误；

由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．

9．A

【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．

【详解】解：在中，，，，

．

又为中线，

．

为中点，即点是的中点，

是的中位线，则．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．

10．D

【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状图进行求解即可．

【详解】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，

则两人恰好选中同一主题的概率为．

故选：D．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键．

11．A

【分析】如图，利用网格特征可知，利用勾股定理求出，，根据余弦的定义即可求得答案．

【详解】解：如图，由网格特征可知，，

在中，，，

∴，

故选：A

【点睛】此题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

12．C

【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．

【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBE＝90°，

∵∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠OAB＝∠CBE，

∵点A的坐标为（4，0），

∴OA＝4，

∵AB＝5，

∴OB＝＝3，

在△ABO和△BCE中，，

∴△ABO≌△BCE（AAS），

∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，

∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，

∴点C的坐标为（﹣3，1），

∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，

∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，

故选：C．

【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．

13．x(y+1)(y－1)

【分析】提公因式与平方差公式的逆应用相结合解题．

【详解】解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得：

，

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式的逆应用，是重要考点，难度较易，此类题第一步一般是提取公因式．

14．x=5

【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．

【详解】解：

方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.

故答案为：x=5.

【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.

15．

【分析】连接，根据半径相等得出，根据等边对等角以及圆周角定理得出，进而即可求解．

【详解】解：连接，如图所示，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握是解题的关键．

16．         

【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题．

【详解】解：连接，如图所示，

四边形为正方形，

，，

点是的中点，

，

由翻折可知：，，，

，，

在和中，

，

，

，

设，则，＋＋，

在中，根据勾股定理得：，

，

解得，

则的长度为，

故答案为：，．

【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

17．（1）；（2）

【分析】（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，求一个数的绝对值，进行计算即可求解．

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：（1）

；

（2）

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，求一个数的绝对值，解一元一次不等式组是解题的关键．

18．柏树每棵元，杉树每棵元

【分析】设柏树每棵元，杉树每棵元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．

【详解】解：设柏树每棵元，杉树每棵元，根据题意，得，

解得：

答：柏树每棵元，杉树每棵元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．

19．(1)，

(2)见解析

(3)

【分析】（1）的人数除以所占百分比即可求出本次抽取的学生总人数，由的人数占抽取学生总人数的百分比乘以即可得到扇形统计图中A所对的圆心角度；

（2）求出的人数，补全条形统计图即可；

（3）用该校共有的学生数乘以占抽取学生总人数的的百分比即可．

【详解】（1）解：本次抽取的学生总人数共有：(人)，

扇形统计图中所对的圆心角度是：，

故答案为：，；

（2）解：的人数为：(人)，

条形统计图补全如下：

（3）解：由题意得(人)，

答：估计偶尔使用公筷的人数是人．

【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．(1)

(2)、两点之间的距离约

(3)的长为

【分析】（1）过点作于点，根据题意得出，根据平行线的性质结合已知条件，得出；

（2）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题；

（3）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．

【详解】（1）解：如图，过点作于点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：．

（2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，

，

∴，

，

∴，

在中，m，，

根据勾股定理得，

答：、两点之间的距离约．

（3）如图，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，，，

所以，

在中，，，

根据勾股定理得．

．

答：的长为．

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据正方形的性质得，，根据旋转的性质得，即可证明；

（2）过点作于点，根据三线合一得出，进而证明，四边形是正方形，即可得证；

（3）过点作于点，在中，勾股定理求得，同（2）可得，进而求得，勾股定理即可求解；

（4）取的中点，以为圆心，为半径作圆，根据，得出点在上运动，进而可得的最小值为，勾股定理求得，即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，

∴

∴，

即

∴

（2），

证明：如图所示，过点作于点，

则

四边形是正方形，

∵

，

∵，

∴四边形是矩形，

又∵

∴四边形是正方形，

∴,

∴,

（3）解：如图所示，过点作于点，

在中，且

∴

解得或（舍去）

同（2）可得

（4）解：如图所示，

取的中点，以为圆心，为半径作圆，

∵，

∴点在上运动，

∴的最小值为

∵

∴的最小值为．

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，求圆外一点与圆的距离，综合运用以上知识是解题的关键．

22．(1)；

(2)的横坐标为；

(3)；

(4)存在，点P的坐标是：或或或

【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）过作轴，交于点，设，，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；

（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出的取值范围；

（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明，根据，列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．

【详解】（1）解：抛物线：的图象经过点，，

，

解得，

抛物线的解析式为：；

平分，，

，

是等腰直角三角形，

，

，

（2）如图1，过作轴，交于点，

设，

设直线的解析式为，把点，代入得，

，

解得，

直线的解析式为：，

，，

，

，

，

当时，面积最大，

的横坐标为

（3）由，得抛物线的对称轴为直线，顶点为，，

抛物线向上平移个单位长度后顶点为，．

设直线交于点，交于点，则，，如图，

直线的解析式为：，

，，

点在内包括的边界，

，

解得；

（4）设，分四种情况：

①当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

，

，

则，

解得：或，

，不合题意，舍去，

，

此时，

的坐标为；

②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，

同理得：，

解得：或，

，不合题意，舍去，

，

此时，

的坐标为；

③当在对称轴的右边，且在轴下方时，如图，过作轴于，过作于，

同理得，

，

则，

解得：或，

，不合题意，舍去，

，

此时，

的坐标为；

④当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，

同理得，

解得：或舍，

的坐标为：；

综上所述，点的坐标是：或或或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．