吉林省长春市2023届高三理数四模试卷含答案

 高三理数四模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则集合（　　）

A． B．

C． D．

2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（　　）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

3．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（　　）

A． B． C． D．

4．已知长方形的长与宽分别为3和2，则分别以长与宽所在直线为旋转轴的圆柱体的体积之比为（　　）

A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9

5．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（　　）

A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃

6．设表示直线，表示平面，使“”成立的充分条件是（　　）

A．，

B．，

C．，

D．，，，

7．已知随机变量，下列表达式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

8．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（　　） 

A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3.2

9．对于函数 ，下列结论正确的是（　　） 

A．图象关于点 对称

B．在区间 上单调递增

C．与函数 相等

D．在区间 的最大值为2

10．已知数列满足，，则数列的前2022项积为（　　）

A． B． C．-6 D．

11．已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数 ， ，若 恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若公差不为0的等差数列 满足 ， ， ， 成等比数列，则 　     　． 

14．　     　． 

15．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足 等于　     　 .

16．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为　     　.

三、解答题

17．在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，的面积为S，且.

（1）求角A；

（2）若，，求的面积.

18．已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为.

（1）求证：平面；

（2）求直线BC与平面所成角的正弦值.

19．

参考数据：

表中，

附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②若随机变量，则有，.

（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；

（2）根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；()

（3）通过文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，所以需提升化肥的有效利用率，经统计得，化肥有效利用率，那么这种化肥的有效利用率超过56%的概率为多少？

20．已知函数，.

（1）证明：；

（2）若数列满足，，证明：，.

21．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线被所截得的弦长为16.

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点F，且与直线相交于两点，求的取值范围.

22．如图，在极坐标系Ox中，方程表示的曲线是一条优美的心脏线．在以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数，且）．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）当时，与交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转，交于点B，求的值．

23．设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）设a，b是两个正实数，若函数的最小值为m，且．证明：．

1．B

2．A

3．B

4．B

5．B

6．C

7．C

8．B

9．D

10．A

11．B

12．A

13．1

14．

15．

16．

17．（1）解：由，可得，

则，即，则，

∵，∴；

（2）解：在中，由余弦定理得，，即，

可得或(舍)，

则．

18．（1）证明：连接交于O，连接，显然是的中点，

因为E为AB的中点，所以，

而平面，平面，

所以平面；

（2）解：设的中点为，连接交于，

因为为正三角形，所以也是正三角形，

所以有，因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面，而平面平面，

所以平面，

因为三棱柱是直三棱柱，

所以侧面是矩形，因此平面，

于是建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

所以，

设平面的法向量为，

，

所以有，

因为平面，

所以设平面的法向量为，

因为二面角的大小为，

所以有（负值舍去），

则，

设直线BC与平面所成角的正弦值为，

所以.

19．（1）解：更适宜．

∵根据散点图可知y与x的关系不是线性的关系．

（2）解：∵，∴，令，，

则，，，

∴，，，

∴，当时，(百公斤).

（3）解：根据Z服从正态分布可知，，

∴这种化肥的有效利用率超过的概率为0.15865．

20．（1）证明：先证，即证，

令， ，即证g(x)<0，

∵，在上单调递减，

．

再证，即证，即证，

令，即证h(x)>0，

∵，

在上单调递增，

；

（2）解：由(1)得，则，

∴，即，

∴，

当n=1时，，故，．

21．（1）解：由抛物线方程得：，可设过点F且倾斜角为的直线为：，

由得：，

由抛物线焦点弦长公式可得：，解得：，

抛物线的方程为：.

（2）解：

由（1）知：，准线方程为：；

设，圆的半径为，则，，

，又，；

由抛物线定义可知：，即，，

即的取值范围为.

22．（1）解：因为曲线的参数方程为（t为参数，且）

所以（），又，所以，即（），

即曲线的极坐标方程为（）；

（2）解：当时，则，

再由，可得，

所以

23．（1）解：由已知得：，

又，所以或或，

解得或或

综上，不等式的解集为；

（2）证明：由（1）可知，所以的函数图象如下所示：

所以当时取值最小值2，所以，

即，又、，

由柯西不等式：，

所以，当且仅当时取等号．