2021届吉林省长春市高三理数四模试卷及答案

这是一份2021届吉林省长春市高三理数四模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数四模试卷
一、单项选择题
1.集合 那么 〔    〕
A. {6}                                  B.                                   C.                                   D. 
2.在复平面内，复数 与 对应向量 与 ，那么向量 对应的复数是〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
3.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直鼓励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏.在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
观看人数占调查人数的百分比
2%
2%
4%
6%
m%
12%
8%
10%
12%
16%
12%
10%
从表中可以得出正确的结论为〔    〕
A. 表中m的值为8                                                    B. 估计观看比赛不低于5场的人数是860人
C. 估计观看比赛场数的众数为8                              D. 估计观看比赛不高于3场的人数是280人
4.如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是〔    〕

A. ①                                         B. ②                                         C. ③                                         D. ④
5.给出一个程序框图，输出的结果为s=132，那么判断框中应填〔   〕

A. ?                              B. ?                              C. ?                              D. ?
6.等比数列 中， ，那么其前5项的积为〔    〕
A. 64                                       B. 81                                       C. 192                                       D. 243
7.圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，那么该球与圆柱的体积之比为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲〞系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，那么该名女同学来自高三年级的概率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
9.等差数列 的前n项和为 ，假设 ，那么数列 的通项公式可能是〔    〕
A.                    B.                    C.                    D. 
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要 .在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度 关于时间 的函数关系式为 ，假设甲､乙两人的座舱之间有7个座舱，那么甲､乙两人座舱高度差的最大值为〔    〕

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
11.F是椭圆 的一个焦点，假设直线 与椭圆相交于 两点，且 ，那么椭圆离心率的取值范围是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
12.定义域为 的函数 满足 〔 为函数 的导函数〕，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
二、填空题
13.x2dx=________．
14.双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为 ，且过点 ，那么该双曲线的方程为________.
15.在直三棱柱 中(侧棱与底面垂直的三棱柱)， ， ，四边形 为正方形，M为 中点，那么直线 与直线 所成角的余弦值为________.
16.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 和 ( )，屡次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ________；屡次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 近似满足 ，为使误差 在 的概率不小于0.9973，至少要测量________次.参考数据：假设占 ，那么 .

三、解答题
17.在① ；② 这两个条件中任选一个作为条件，补充到下面的横线上并作答.
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________.
〔1〕求角A；
〔2〕假设 ，求 的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在A处每投中一球得3分，在B处每投中一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否那么投第三次.某同学在A处投中的概率为0.25，在B处投中的概率为b，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投.用 表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为

0
2
3
4
5
p





〔1〕求b的值；
〔2〕求随机变量 的数学期望 .
19.如图，四面体 中， .

〔1〕指出四面体各面中与平面 垂直的面，并加以证明；
〔2〕假设 ，二面角 的大小为 ，当 长度变化时，求 取值范围.
20.函数 .
〔1〕求函数 的最小值；
〔2〕假设对任意的 ，有 恒成立，求实数a的取值范围.
21.过抛物线 的焦点F作不平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线相交于C点，直线 交抛物线于D，E两点.
〔1〕求 的值；
〔2〕证明： .
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)．假设以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
〔1〕求出曲线 的极坐标方程;
〔2〕假设射线 〔不包括端点〕与曲线 和直线 分别交于 两点，当 时，求 的取值范围.
23.函数 ， ，且 的解集为 .
〔1〕求 的值；
〔2〕假设 ， ， 是正实数，且 ，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由题意， ，
故答案为：A.

【分析】利用补集和交集的定义，即可得出答案。
2.【解析】【解答】设向量 与 对应的复数分别为 和 ，那么 ， ，
所以 对应的复数为 ，
所以向量 对应的的复数是 ，
故答案为：C.

【分析】首先由复数代数形式的几何意义整理得出以及， 再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】估计观看比赛不高于3场的人数是 人.
故答案为：D.

【分析】结合题意由图表中的数据，利用随机抽样的定义以及样本容量的性质对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】解：由对数函数图象特征及 与 的图象关于 轴对称，
可确定②不是函数图象.
故答案为：B.

【分析】利用对数函数的图象与性质即可得出答案。
5.【解析】【解答】运行程序， ，判断是， ，判断是， ，判断否，输出 .故填 ?，
故答案为：A.

【分析】根据题意由程序框图中的循环特点，结合题意代入数值验证即可求出输出值的大小。
6.【解析】【解答】由题意 ，解得 ，又 ，所以 ， ，
故答案为：D.

【分析】根据题意由等比数列的通项公式整理得到q的值，再由条件代入计算出首项，集合等比数列项的性质即可计算出结果。
7.【解析】【解答】如图，由题意得， ， ， .

故答案为：C.

【分析】由球和棱柱的体积公式代入数值计算出结果即可。
8.【解析】【解答】设事件A为“30人中抽出一名女同学〞，事件 为“30人中抽出一名高三同学〞，
那么 ， ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】首项由条件分别求出事件A和事件B的概率，再由条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
9.【解析】【解答】因为 是等差数列，且 ，得 ，
对于A， ，故错误；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故错误；
对于D， ，故错误.
故答案为：B.

【分析】根据题意利用等差数列的通项公式以及数列前n项和公式，整理得出， 结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】设甲位置对应的时间为 ，转到乙位置时对应的时间为 ，
那么 ，
所以甲､乙两人座舱高度差为


，
因为 ，所以 ，
所以当 或 ，即 时，
甲､乙两人座舱高度差取得最大值 .
故答案为：D.

【分析】根据题意设出甲位置对应的时间， 转到乙位置时对应的时间， 那么得出， 利用函数的关系式整理得出H， 结合余弦函数的作差即可求出结果。
11.【解析】【解答】如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接 .

根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上.
所以等号不能成立,即即 ，所以
故答案为：A
【分析】将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
12.【解析】【解答】解：由 ，
当 时，可得 ，
即 ，
即 ，
构造函数 ，所以函数 递增，
那么 ，此时 ，即 满足；
当 时，可得 ，
由函数 递增，那么 ，此时 或 ，即 满足；
当 时， ，即 满足 .
综上， .
故答案为：C.

【分析】 根据题意构造函数， 对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再对x分情况讨论，利用函数g(x)的单调性即可求出不等式的解集。
二、填空题
13.【解析】【解答】解： x2dx= = ．
故答案为： ．
【分析】由定积分的概念和性质知 x2dx= ，由此能求出结果．
14.【解析】【解答】设双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ，
因为其中一条为 ，所以 ，
又点 在双曲线上，代入双曲线方程得 ，
联立解得 ， ，即双曲线的方程为 .
故答案为：

【分析】根据题意由双曲线的性质即可得出， 再由点的坐标代入双曲线的方程整理得出和， 由此得出双曲线的方程。
15.【解析】【解答】不妨设 ，因为 ， ，所以 ，
取 中点 ，连结 ， ，所以 ，所以 或其补角为异面直线所成角，
 
因为三棱柱为直三棱柱，所以 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
那么 .
故答案为：

【分析】首先设出边的大小，再由三棱柱的几何性质以及中点的性质得出线线平行，由此得出 或其补角为异面直线所成角，结合线面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可得出线线垂直，由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
16.【解析】【解答】〔1〕在 中， ， ，

在 中， .
(结果还可以是 )
〔2〕由于 ，因此 ，
至少要测量72次.

【分析】(1)根据题意由正弦定理整理得出， 再由三角形中几何计算关系即可得出答案。
(2)利用分布的性质，结合条件， 即可得到， 从而得出答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1) 选择①，利用余弦定理整理得出cosA的值，由此即可求出角A的大小。
选择② ，利用余弦定理代入数值计算出cosA的值，由此得出角A的大小。
(2)根据题意由正弦定理和余弦定理代入数值整理计算出b与c的值，由此即可求出三角形的周长的值。
 
18.【解析】【分析】 〔1〕根据独立事件的概率公式可得出关于b的等式，由此可解得b的值；
(2)根据题意求出的取值，再由概率公式计算出对应每个的概率值，由此即可得出 的分布列， 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
19.【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的代数式结合根本不等式就求出最大值，由此得到即可求出， 从而得出的取值范围 。
20.【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数f(x)的导函数，再由导函数的性质得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最小值。
(2)由条件即可得出原不等式等价于 ， 令对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出，当 时， 成立。由此得到a的取值范围。
21.【解析】【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的公式得出由此求出直线的方程，联立求出点C的坐标，从而得出即可。
(2)首先设出直线的方程，由此得出点C的坐标，再设出点D、E的坐标，利用弦长公式整理得出、、、，
故要证明 即证 ，整理化简即可得出， 由此得证出结论。
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；〔2〕利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
23.【解析】【分析】 (1)由结合， 可得-m≤x≤m，再由f(x-2)≥0的解集为[-3，3]，可得m值；
(2)把(1)中求得的m代入，然后利用柯西不等式证明即可。