安徽省淮北市2023届高三上学期理数一模试卷含答案

 高三上学期理数一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则（　　）

A． B． C． D．

3．“”是“”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．直线与圆的位置关系是（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

5．函数 的部分图象大致为（　　） 

A． B．

C． D．

6．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（　　）

A． B． C． D．

7．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（　　）

A． B． C． D．

8．下列说法正确的有（　　）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0

B．若是随机变量，则.

C．已知随机变量，若，则

D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则

9．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（　　）

A． B． C． D．

10．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

11．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．　     　.

14．展开式中的常数项是　     　.

15．关于函数与有下面四个结论：

①函数的图像可由的图像平移得到

②函数与函数在上均单调递减

③若直线与这两个函数的图象分别交于两点，则

④函数的图像关于直线对称；

其中正确结论的序号为　     　（请写出所有正确结论的序号）.

16．已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则　     　.

三、解答题

17．在中，已知，是的中点.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

18．已知数列中，，成等差数列.

（1）求的值和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为.

19．如图，已知圆的直径长为4，点是圆弧上一点，，点是劣弧上的动点，点是另一半圆弧的中点，沿直径，将圆面折成直二面角，连接.

（1）若面时，求的长；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角正切值.

20．如图，点是周长为圆形导轨上的三个等分点，在点处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动.现投郑一枚质地均匀的股子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动，反复操作.

（1）求珠子在点停留时恰好滚动一周的概率；

（2）求珠子第一次在点停留时恰好滚动两周的概率.

21．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若是线段的中点，求直线的方程；

（3）设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.

22．设函数，为函数的导函数.

（1）讨论函数的单调性并写出单调区间；

（2）若存在，使得函数不存在零点，求的取值范围；

（3）若函数有两个不同的零点，求证：.

1．A

2．B

3．B

4．B

5．C

6．D

7．C

8．D

9．A

10．C

11．A

12．D

13．10

14．-160

15．①②④

16．615

17．（1）解：由题意得：

故

即

∴

又∵

∴.

（2）解：∵

∴①

又

∴

∴

∴②

由②－①得：

∴

18．（1）解：∵，，成等差数列

即，得

又∵，∴，从而

所以

（2）解：由（1）得，

∴

两式相减，得

∴，

19．（1）解：平面，平面OPC，平面平面

∴

又，，所以△OPC为等腰直角三角形.

∴.

（2）解：∵二面角为直二面角，且，平面ABD

∴平面OPC

∴

当时等号成立.

此时，，两两垂直，且长度相等，则

取PD的中点E，连接，则，，

∴为二面角的平面角，

直角三角形中，

∴二面角的正切值为.

20．（1）解：设掷出3的倍数为事件，掷出不是3的倍数记为事件，

则，

珠子恰好转一周回到点包含的事件为，，且这三种情况互斥

故所求概率为

（2）解：珠子滚两周回到点，则必须经历以下三个步骤：①②③

①A至C：此时概率为

②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为

③B至：概率与①相同

又以上三个步骤相互独立，故所求概率为

21．（1）解：由题意得：，，.

解得，，所以双曲线的标准方程为

（2）解：方法1：设，则

依题意有解得，

所以直线的方程为或.

方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：

.

当时

设，，得，.

又因为，所以，，解得.

此时，所以直线MN的方程为或.

（3）解：方法1：设，，

直线PM的方程为，直线ON的方程，

联立两方程，可得①

结合（2）方法2，可得

代入①得

故.

所以直线PM与QN的交点在定直线上.

方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：

.

设，，，，由根与系数的关系，得

，.

：，：，联立两方程，可得：

，

解得

所以直线PM与QN的交点在定直线上.

22．（1）解：.

当时，，函数的单调递增区间是.

当时，令，得，令，得.

所以，函数的单调增区间为，单调减区间是

（2）解：当时，由（1）知，的单调增区间是，

易知.又，故可得

又，且函数的图像连续，所以存在一个零点，不满足题意.

当时，因为，函数的图像不间断，若存在，使函数不存在零点，则对任意恒成立.

由（1）知，能成立，即能成立令，则，

，则，令，得，

当时，，单调递减，时，，单调递增.

所以，所以

综上，的取值范围是.

另：当时，有零点，不满足；

当时，由，得

记，再讨论的单调性也可得.

（3）证明：因为函数有两个不同的零点，

则由（1）知，且，，消去得.

设，则，可解得，.

方法1：.

设，，则，

所以在上单调递增，所以，

故，

所以，所以.

又因为.

设，，则

所以在上单调递增，所以，所以.

综上，.

方法2：，，

.

设，，则.

设，，

则，在上单调递减，所以，在上单调递增，

所以.

设，，则，所以在上单调递增，

所以.

所以，故.