2021届安徽省淮北市高三上学期理数第一次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届安徽省淮北市高三上学期理数第一次模拟考试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期理数第一次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，那么 〔    〕
A. {−2，3}                 B. {−2，2，3}                 C. {−2，−1，0，3}                 D. {−2，−1，0，2，3}
2.假设数列 为等差数列，且 ， ，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
3.函数 的图象大致为〔    〕
A.                                            B. 
C.                                            D. 
4.平面 ， ，直线l，m，且有 ， ，给出以下命题：①假设 ，那么 ；②假设 ，那么 ；③假设 ，那么 ；④假设 ，那么 .其中正确命题的个数是〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
5.在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，假设 ，那么〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
6.某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如以下列图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，那么〔    〕

A.                      B.                      C.                      D. 
7.假设i为虚数单位，复数z满足 ，那么 的最大值为〔    〕
A. 2                                        B. 3                                        C.                                         D. 
8.甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，那么甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为〔    〕
A. 红､黄､蓝                           B. 黄､红､蓝                           C. 蓝､红､黄                           D. 蓝､黄､红
9.过圆 上的动点作圆 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，那么圆 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为〔    〕
A. π                                        B.                                         C. 2π                                        D. 3π
10.函数 ，那么函数 零点的个数为〔    〕
A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
11.双曲线 的左焦点为F，左顶点为A，直线 交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线 与线段 交于点B，假设 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
12.函数 的最大值为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 3
二、填空题
13.假设x，y满足约束条件 ，那么 的最大值为________.
14.二项式 的展开式中的常数项为________．
15.数列 的前n项和为 ，且 ，假设 ，那么数列 的前 项和为________.
16.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，那么三棱锥 外接球外表积的最小值为________.
三、解答题
17.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
〔1〕求角B的大小；
〔2〕假设 ， ，求 的面积
18.如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的正方形， ， ，且 ， ， 面 ， ，N为 中点.

〔1〕假设 是 中点，求证： 面 ；
〔2〕求二面角 的正弦值.
19.甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为 ，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数
〔1〕求比赛结束时甲只获胜一局的概率；
〔2〕求X的分布列和数学期望.
20.函数 ， .
〔1〕假设 是增函数，求实数m的取值范围；
〔2〕当 时，求证： .
21.椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？假设存在，请求出 的值，假设不存在，请说明理由.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
〔2〕设P为曲线 上的动点，求点P到 的距离的最大值，并求此时点P的坐标.
23.不等式 的解集为 .
〔1〕求m，n的值；
〔2〕假设 ， ， ，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意可得： ，那么 .
故答案为：A.
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
2.【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：C。

【分析】利用等差数列通项公式结合条件，求出等差数列的公差，再利用等差数列通项公式结合诱导公式，从而求出的值。
3.【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，故排除C、D；当 时， ，故排除B，
故答案为：A.

【分析】利用偶函数的定义判断函数为偶函数，再利用偶函数图象的对称性，从而排除C,D再利用特殊值代入法排除B，进而找出正确的函数 的大致图象。
4.【解析】【解答】对于①：因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故正确；
对于②：因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故正确；
对于③：因为 ， ，所以 与 可能平行或异面，故错误；
对于④：因为 ， ，所以 或 ，所以 不一定成立，故错误；
故答案为：B.

【分析】利用条件结合线线垂直的判断方法、面面 垂直的判定定理、线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，从而找出正确命题的个数。
5.【解析】【解答】设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
又 ， ，
故答案为：B.

【分析】因为在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，所以设 ，再利用三角形法那么推出，所以 ，再利用条件 ， 从而求出，所以 ， ，从而求出x+y的值和xy的正负，进而找出正确的选项。
6.【解析】【解答】解：由统计图得：
该月温度的中位数为 ，
众数为 ，
平均数为 ，
，
故答案为：A．

【分析】利用统计图结合条件，从而结合中位数公式、众数求解方法、平均数公式，进而求出该月温度的中位数、众数和平均数，进而比较出M,N,P的大小。
7.【解析】【解答】因为 表示以点 为圆心，半径 的圆及其内部，
又 表示复平面内的点到 的距离，据此作出如下示意图：

所以 ，
故答案为：D.

【分析】利用复数的模的几何意义，从而推出 表示以点 为圆心，半径 的圆及其内部，又 表示复平面内的点到 的距离，据此作出图象，再利用图象结合几何法求出 的最大值 。
8.【解析】【解答】丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；
乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴蓝帽的是丙；综上，甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝。
故答案为：B.

【分析】利用实际问题的条件结合演绎推理的方法，从而推出甲､乙､丙所戴帽子的颜色。
9.【解析】【解答】如以下列图所示，过圆 上一动点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，

那么 ， ， ，
那么 ，且 为锐角，所以 ，同理可得 ，
所以， ，那么 为等边三角形，连接 交 于点 ，
为 的角平分线，那么 为 的中点， ，
且 ， ，
假设圆 内的点不在任何切点弦上，那么该点到圆 的圆心的距离应小于 ，
即圆 内的这些点构成了以原点为圆心，半径为 的圆的内部，
因此，圆 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ，
故答案为：A.

【分析】过圆 上一动点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，那么 ， ， 再利用勾股定理求出的值，再利用正弦函数的定义求出和的值，从而求出的值，那么 为等边三角形，连接 交 于点 ，为 的角平分线，那么 为 的中点， ，且 ， ，假设圆 内的点不在任何切点弦上，那么该点到圆 的圆心的距离应小于 ，即圆 内的这些点构成了以原点为圆心，半径为 的圆的内部，从而结合圆的面积公式求出圆 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积。
10.【解析】【解答】因为 的零点个数 与 图象的交点个数，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
又因为当 时， ，且 ，
所以 时， ；
当 时， ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
又当 时， ，当 时， ，
所以 时， ，
作出 的函数图象如以下列图所示：

由图象可知 有 个交点，所以 有 个零点，
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的定义结合函数 ， 求出分段函数y=的解析式，再利用分段函数y=的解析式画出分段函数y=的图像，再画出函数y=1的图象，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数y=和y=1的图象，进而得出函数 零点的个数。
11.【解析】【解答】解：依题意可得 ， ，因为 在第一象限，所以 ，设 ， ，联立直线与双曲线方程 ，消去 得 ，解得 ，所以 ， ，
设 ，由 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 ，
即
因为 、 、 在一条直线上，所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：D。

【分析】利用双曲线标准方程确定焦点的位置，从而求出左焦点F的坐标和左顶点A的坐标，可得 ， ，因为 在第一象限，所以 ，设 ， ，再利用 直线 交双曲线于P､Q两点，联立直线与双曲线标准方程求出交点P,Q的坐标，设 ，由 ，所以 ，再利用共线向量的坐标表示求出点B的坐标，因为 、 、 在一条直线上，再利用三点共线，那么同一直线斜率相等的性质，得出，再利用两点求斜率公式结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而化简求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形，从而求出该双曲线的离心率。
12.【解析】【解答】解：因为
所以
令
那么
那么
令 ，得 或
当 时， ； 时
所以当 时， 取得最大值，此时
所以
故答案为：B

【分析】利用两角和的正弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值，进而求出函数 的最大值。
二、填空题
13.【解析】【解答】画出约束条件 所表示的平面区域，如下列图，

目标函数 ，可化为直线 ，
当直线 过点A时，直线在 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ，
所以目标函数的最大值为 ，
故答案为：8。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最大值。
14.【解析】【解答】由二项式通项公式可得， 〔r=0,1,…,8〕,显然当 时， ，故二项式展开式中的常数项为112。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式 的展开式中的常数项。
15.【解析】【解答】因为 ，当 时， ，
当 时， ，符合 的情况，
所以 ，所以 ，
记 的前 项和为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： 。

【分析】利用递推公式结合与的关系式，从而结合分类讨论的方法，进而求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。
16.【解析】【解答】如以下列图所示，设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，
取圆柱的轴截面，那么该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，那么 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 ，
 
此题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，如以下列图所示：

设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，那么 ，如以下列图所示：

设 ，那么 ， ， ，
，
当且仅当 时， 取得最大值 ，
由 ，可得 ， ，
所以， 的最大值为 ，由正弦定理得 ，即 的最小值为3，
因此， ，
所以，三棱锥 外接球的外表积为 ，
故三棱锥 外接球的外表积的最小值为 。
故答案为：13π。

【分析】设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆柱的外接球半径为 ，取圆柱的轴截面，那么该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 ，那么 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得圆柱的外接球半径，此题中， 平面 ，设 的外接圆为圆 ，可将三棱锥 内接于圆柱 ，设 的外接圆直径为 ， ，该三棱锥的外接球直径为 ，再利用勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，设 ，那么 ， ， ，再利用两角差的正切公式结合均值不等式求出的最大值，再利用同角三角函数根本关系式求出的最大值，再利用正弦定理求出 的最小值，再利用勾股定理求出2R的最小值，再利用球的外表积公式求出三棱锥 外接球的外表积的最小值。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理，从而利用三角形中角A的取值范围，再结合同角三角函数根本关系式，从而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
〔2〕利用条件结合余弦定理，从而求出a的值，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积 。
18.【解析】【分析】〔1〕利用 面 ， 四边形 是边长为 的正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，
，平面 ， 平面 。
〔2〕利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的余弦值，再利用同角三角函数根本关系式，求出二面角 的正弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用实际问题的条件结合分类加法计数原理，再结合独立事件乘法求概率公式，从而求出比赛结束时甲只获胜一局的概率。
〔2〕 根据条件可知：随机变量 可取 ， 再利用条件求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
20.【解析】【分析】〔1〕利用两次求导的方法判断导函数和原函数的单调性，进而求出函数f(x)的导函数的最小值，再结合换元法， ，令 ，那么 ，从而求出函数的最大值， 所以 ，这与 在 时恒成立矛盾， 再利用反证法求出实数m的取值范围。
〔2〕 当 时， ， 再利用两次求导的方法判断导函数和原函数的单调性，进而求出函数f(x)的导函数的最小值，再利用零点存在性定理结合函数的单调性，从而求出函数f(x)的最小值，再利用函数的最小值证出 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， ， 从而求出关于a,c的方程组，解方程组求出a,c的值，进而利用椭圆中a,b,c的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕由〔1〕求出的椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出左顶点为A和右焦点F的坐标，再利用斜截式设出直线 的方程为 ， ， ， 因为 与 关于原点对称，所以 ， 再利用两点求斜率公式求出 ，， 假设存在 ，使得 恒成立，所以 ， 所以 ①，当 时， 与 重合，联立直线 和椭圆的方程结合韦达定理和代入法， 代入①整理得出 的值。


 
22.【解析】【分析】〔1〕利用参数方程与普通方程的转化方法结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程。
〔2) 联立 ，整理可得 ，，所以椭圆 与直线 无公共点，设 ，再利用点到直线的距离公式结合正弦型函数图象求最值的方法，从而求出点P到 的距离的最大值，并求此时点P的坐标。
 
23.【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式求解方法，即零点分段法，从而求出不等式 的解集，再利用不等式 的解集为 ，从而求出 m，n的值 。
(2) 由(1)知 即 ，且 ,再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出的最小值，进而证出 。