2023年江苏省南通市基地大联考高考数学诊断试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2023年江苏省南通市基地大联考高考数学诊断试卷（3月份）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了 已知函数f同时满足下列条件， 下列命题中，正确的命题是等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南通市基地大联考高考数学诊断试卷（3月份）1.  设集合，则满足的集合B的个数为(    )A. 2 B. 3 C. 4 D. 82.  在等差数列中，若，，则(    )A. 16 B. 18 C. 20 D. 223.  命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是(    )A.  B.  C.  D. 4.  任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.则(    )A. 1 B.  C.  D. i5.  已知函数同时满足下列条件：①定义域为R；②；③为偶函数；④，则(    )A.  B. 0 C. 1 D. 26.  在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(    )A. 1 B.  C.  D. 27.  如图1所示，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  在正方体中，点P满足，则(    )A. 若，则AP与BD所成角为 B. 若，则
C. 平面 D. 10.  下列命题中，正确的命题是(    )A. 若事件A，B满足，，则
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 若事件A，B满足，，，则A与B独立
D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为11.  已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则(    )A. C的方程为 B.
C. 的周长为 D. 的内切圆半径为12.  已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则(    )A.  B.
C. 的最大值为0 D. 当时，13.  已知函数，则当时，的展开式中的系数为______ .14.  中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，如图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为20cm，10cm，侧棱长为10cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积为______
15.  已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是______ .16.  在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是______ .17.  设数列的前n项和为，已知
证明：数列是等比数列；
若数列满足，，求数列的前14项的和.18.  如图，在平面四边形ABCD中，，，，
若，求；
记与的面积分别记为和，求的最大值.
19.  2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩统计数据显示，中国队主力队员A能够胜任小前锋大前锋和得分后卫三个位置，且出任三个位置的概率分别为，同时，当队员A出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，队员A参加所有比赛均分出胜负
当队员A参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积分.本轮比赛球队一共进行5场比赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮，已知队员A每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为X，求X的数学期望.20.  如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，
求证：平面平面ACD；
若，，五面体ABCDE的体积为，求平面CDE与平面ABED所成角的余弦值.
21.  已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点
若A为线段DM的中点，求点A的坐标；
设，的面积分别为，，若，求线段OA的长.22.  已知函数
当时，证明：在区间上单调递增；
若函数存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围.
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：对于集合A，，
，，
，2，即，
又，
可取，，，，共4个．
故选：
先求出集合A的元素，再根据推导出集合
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 2.【答案】B 【解析】解：因为是等差数列，设其公差为d，
所以，解得，
所以
故选：
利用等差数列的通项公式得到关于，d的方程组，解之即可得解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
 3.【答案】D 【解析】解：“充分不必要条件”的定义是由结论可以推导出条件，但由条件不能推导出结论，
其中“，”为真命题是结论，可以推出，，，
其中是条件，由不能推出“，”为真命题，
对于A，B选项，可以推出“，”为真命题，是充分条件；
对于C选项，是既不充分也不必有的条件；
故选：
根据“充分不必要条件”的定义推导．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 4.【答案】B 【解析】解：，

故选：
现将复数表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
 5.【答案】A 【解析】解：解法一：由①知，的定义域为R，
由③为偶函数，则，即
由④知函数满足，
所以，，即
所以，即函数为周期函数，周期为，
因为，
所以，令得，令得，即，
所以
故选：
解法二：由③知，图象关于对称，由④知，关于对称，
故选取三角函数，由于①定义域为R；②，
故令，满足①②③④，
所以
故选：
法一：根据题意得函数为周期函数，周期为，再结合，求得，，再根据周期性计算即可．
法二：根据题意令，满足条件，再进行计算即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数奇偶性与周期性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 6.【答案】C 【解析】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
，当且仅当时等号成立．
因为，
所以，
，
故选：
由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
 7.【答案】C 【解析】解：如图所示，建立直角坐标系，

设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或舍，
又，化为：，
解得或舍，
故选：
建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得x，根据，解得p与d的关系，即可得出
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：构造，则，
令，解得：；令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
，，
，，
，，
则，，，，
比较与大小，先比较与大小，
构造函数，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，，
所以，所以，
，
综上
故选：
构造，对求导，得出的单调性，可知，可求出m，n的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案．
本题主要考查了三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出a的大小，即可判断m，n的大小，p，n的大小，最后构造函数，比较p与m的大小即可得出答案，属于中档题．
 9.【答案】BCD 【解析】解：对选项A：时P与重合，与BD所成角为与所成角，为等边三角形，则AP与BD所成角为，错误；

对选项B：如图建立空间直角坐标系，

令，，，，，，，正确；
对选项C：，平面，平面，
故平面，
同理可得平面，，
故面面，平面，平面，正确；

对选项D：，，则，正确．
故选：
与BD所成角为与所成角，为，A错误，建系得到，B正确，故面面，C正确，，D正确，得到答案．
本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 10.【答案】AC 【解析】解：对于A：因为，，
所以，
所以，故选项A正确．
对于B：因为，，
所以，，故选项B错误．
对于C：若，
则A与独立，则A与B独立，故选项C正确．
对于D：设男生成绩为，，，，，
，，

设女生成绩为，，，，，
，，

所以，
则，故选项D错误．
故选：
根据条件概率公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据方差公式判断
本题考查条件概率，正态分布，相互独立事件以及平均数，方差等知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 11.【答案】ABD 【解析】解：，是C上一点，C的离心率为，
则，解得，
双曲线，故A正确；
，，，
，，，
，故B正确；
，，，周长，故C错误；
令，
则，，
在中，，
，
设的周长为l，内切圆半径为r，
则，
，
，故D正确；
故选：
根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 12.【答案】AB 【解析】解：因为，所以，又，
所以，
切线方程为，即，
因为，所以，又，所以，
切线：，即，
由题意切线重合，所以，
所以，即，A正确；
当时，两切线不重合，不合题意，
所以，，，
所以，，B正确；
，
当时，，，则，当时，，，
则，，所以，C错误；
设，，则，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，
，
记，，则，
所以函数在上单调递增，则，
所以，D错误．
故选：
先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断
本题综合考查了导数几何意义，向量数量积的性质，导数与单调性关系的应用，属于中档题．
 13.【答案】270 【解析】解：时，，，
展开式第项，
故时，，
的系数
故答案为：
由分段函数解析式可得，应用二项式定理求出的系数即可．
本题主要考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：上下底面对角线的长度分别为：，
高，
上底面的面积，下底面的面积，
四棱台的体积；
故答案为：
先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算．
本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：在是增函数，，
，，
又，，令，
则在的函数图像如下：

所以欲使得是增函数，则必须或者，
对于，即，
对于函数，在时 的值域是，，
对于，即，
对于函数在时的值域是，即 ，与矛盾，无解；
故答案为：
先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设，OP中点，D也是AB中点，，
也是AB中点，
，，
在圆内，

，
又，，
，
，
在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
两圆有且仅有一个公共点，
或，或或0或2，所以a的取值集合
故答案为：
设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案．
本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 17.【答案】解：①，则②，
②-①，得，即，，即，
令中，得，解得，则，
是首项为1，公比为2的等比数列．
由知，则，
，且，
当n为偶数时，，即，


 【解析】根据已知得出，结合前n项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；
根据得出，结合已知即可得出当n为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：，
，

，
，
，
，
；
设，，
，
，
①，
，
当且仅当，时取最大值，
综上，，的最大值是 【解析】先求出BD，再运用余弦定理求出，再利用两角和公式求解；
先运用余弦定理求出与的关系，再根据三角形面积公式求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：根据题意，队员A参加比赛时，比赛获胜的概率为
根据题意，可得A赢3场，负两场积分7；A赢4场负一场积分10；A赢5场，积分15，
所以随机变量X的所有可能取值为7，11，15，
记表示第一轮比赛最终积分为，D表示“A所在的球队顺利晋级第二轮”，
可得，，，
则，
所以，，，
所以随机变量X的分布列如下表：X71115P期望为 【解析】根据题意，结合相互独立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解；
根据题意，得到随机变量X的所有可能取值，结合独立重复事件的概率计算公式和条件概率的计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的计算公式，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列及其期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 20.【答案】解：证明：取AC中点M，连接BM，
，
，
又平面ABC，平面ABC，
，
又，AC，平面ACD，
平面ACD，取CD中点F，连接MF，EF，

且，
又且，
且，
四边形BMFE为平行四边形，

平面ACD，
又平面CDE，
平面平面
过点C作，则
设，，
由可知MB，MF，MC两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
如图，，


设平面CDE与平面ABED的一个法向量分别为，
则，则可取，
同理可得，
设平面CDE与平面ABED所成角为，
，即平面CDE与平面ABED所成角的余弦值为 【解析】利用中位线定理证明线线平行，得到平行四边形，进而根据线面垂直的判定即可证明；
建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面CDE与平面ABED的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：设，，
由A，M均在椭圆C上，，解得，，
；
设DA方程为，，，，，
联立直线与椭圆方程，得，，
，

同理，
，，；
而，， 【解析】由于A是M，D的中点，设，由此推出M的坐标，再根据A，M都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；
设直线DA的方程，再根据A，B的对称性设DB的方程，与椭圆方程联立，求出M，N点的坐标与A，B点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行．
 22.【答案】解：，令，
则，
当时，，递减；当时，，递增，
，
在R上单调递增．
因为，
所以，
存在两个不同的极值点，
存在两个不同的变号零点，
令，则，
令，，则在R上单调递减，
注意到，
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，

要使有两个不同的变号零点，则，解得
且当时，，当时，，

综上：，即m的取值范围为 【解析】求导，再令，利用导数法判断的正负即可；
求导，由存在两个不同的极值点，得到存在两个不同的变号零点，再令，用导数法研究其零点即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．