初中教案数学(青岛)(9上)

这是一份数学九年级上册本册综合教学设计及反思，共99页。教案主要包含了教师指导等内容，欢迎下载使用。
第1章 图形的相似
课题
1.1 相似多边形
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解相似形及相似多边形的定义,了解相似多边形有关的概念,会求相似多边形的相似比;
(2)会利用定义判断两个多边形是否是相似多边形;
(3)掌握相似多边形的性质,能利用性质求线段的长度或角的度数.
2.过程与方法
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
3.情感、态度与价值观
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
教学
重难点
重点:相似多边形的性质.
难点:利用相似多边形性质求线段或角.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
请观察下列几幅图片,你能发现什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?




探索
新知
合作
探究
自学指导
1. 自学教材P4~5,回答下列问题:
____________________叫做相似形. 
2.两个边数相同的多边形,如果一个多边形的 与另一个多边形的各个角对应相等, 对应 ,那么这两个多边形叫做相似多边形. 
如果四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,用符号表示为_____________. 
3.思考:全等形与相似形有什么关系?举例说明.
合作探究
【例1】 观察下列图形,其中相似形有( )




(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对



续表
探索新知
合作探究
【例2】 如图所示,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求未知边x的长度和∠α的大小.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)判断相似多边形时,忽略“各角对应相等”或“各边对应成比例”,误认为只要各边对应成比例的
多边形就是相似多边形.
(2)用相似符号表示两个多边形相似时,没有把对应顶点的字母按照次序写在对应位置上.
2.归纳小结:
(1)判定:在判定两个多边形相似时,两个多边形的边数要相同.
(2)性质:在利用相似多边形的性质时,一定要找准边的对应关系.
3.方法规律:
所有的正n边形在边数相同的情况下都相似.如:所有的正三角形都相似;所有的正方形都相似等.

当堂训练
1.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,AB=12,CD=15,A1B1=9,则边C1D1的长是( )
(A)10 (B)12 (C) (D)
2.△ABC与△A'B'C'的各角度数与各边长度如图,这两个三角形相似吗?若相似,相似比是多少?说明理由.

板书设计
相似多边形
1.相似形的概念
2.相似多边形的概念:
边数相同;各角对应相等;各边对应成比例
3.相似多边形的性质
教学反思




课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.
(2)使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.
2.过程与方法
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
3.情感、态度与价值观
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
难点:平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图,在△ABC中,D为边AB上任一点,作DE∥BC,交边AC于E,用刻度尺和量角器量一量,判断△ADE与△ABC是否相似.


探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P8~11实验与探究部分,回答下列问题:
(1)平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的 成比例. 
(2)平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 . 
(3)思考:因为m3∥m4∥m5,所以 . 
你最多能写出多少个比例式?
合作探究
【例1】
如图,l3∥l4∥l5,与l1,l2两条直线相交,点A是l1,l2,l3的交点,你能分别得到哪些对应线段的比相等?
=,=,=.
【例2】
如图,△ABC中,DE∥BC.
(1)有哪些边成比例?(2)有哪些角相等?
(3)你能得到什么结论?事实九还可以怎么说.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导1.易错点:
(1)判定四条线段对应成比例时对应不正确.
(2)从较复杂的几何图形中分离出“基本事实9的推论”的基本图形时出错,无法从“A型”或“型”,得到相应的比例式.
2.归纳小结:
(1)题中线段比较多,一定要分清一条线段是哪条直线被哪几条平行线所截而成.
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例.
3.方法规律:(平行线分线段成比例的技巧)
三线截两线,线段共六段;横可比纵可比,就是不能交叉比.

当堂训练

1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则等于( )
(A) (B) (C) (D)1
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=4,AE=3.则AC的长为( )
(A)5 (B)3+2 (C)4+ (D)7

第1题图 第2题图
3.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,直线l4,l5交于点O,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.
(1)求的值;
(2)求AB的长.

板书设计
平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
2.平行线分线段成比例定理的推论
教学反思



课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法.
(2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
2.过程与方法
经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
教学
重难点
重点:三角形相似的判定定理1.
难点:三角形相似的判定定理1的运用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A'B'C',使得∠A和∠A'都等于给定的∠α,∠B和∠B'都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠C与∠C'相等吗?对应边的比,,相等吗?这样的两个三角形相似吗?和同学们交流.

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P12~13实验与探究,回答下列问题:
两角相等及其中某一边分别相等,由于相似三角形对应边的长可以不相等,如果把其中一边相等的条件去掉,仅保留两角分别相等的条件,能判定这两个三角形相似吗?
2.相似三角形的判定定理1:
分别相等的两个三角形相似. 
3.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为∠A=∠A',∠B=∠B',
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图,若∠BEF=∠CDF,则△FEB∽ ,△ABD∽ . 

【例2】 已知:如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,
AE=6,求DF的长.



要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)用符号语言表示两个三角形相似时,没有把对应顶点的字母按照次序写在对应位置上.
(2)不能根据“同角或等角的余角相等”找出相等的角.
2.归纳小结:
常见的相似模型(平行线型和相交线型)


3.方法规律:
进行相似三角形中有关边的计算时,要充分利用对应边成比例构造比例式求解.

当堂训练

1.下列各组图形一定相似的是( )
(A)有一个角相等的等腰三角形 (B)有一个角相等的直角三角形
(C)有一个角是100°的等腰三角形 (D)有一个角是对顶角的两个三角形
2.如图,若∠ACD=∠B,则△ ∽△ ,对应边的比例式为 ,∠ADC= . 

3.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长.


板书设计
相似三角形的判定定理1
1.三角形相似的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思




课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第3课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义,能分清条件和结论,并能用文字、图形和符号语言表示.
(2)会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并解决简单问题.
2.过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的判定方法SAS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
3.情感、态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.
教学
重难点
重点:两个三角形相似的判定方法2及其应用.
难点:探究两个三角形相似的判定方法2的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.两个三角形全等有哪些判定方法?
(SSS,SAS,ASA,AAS定理)
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似)

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P14~15,观察与思考,回答下列问题:
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使∠A=∠A',和都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B',∠C与∠C'是否相等?改变∠A或k值的大小,再试一试,是否具有同样的结论?
2.相似三角形的判定定理2:
两边 ,且 相等的两个三角形相似. 
3.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为∠A=∠A', , 
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点.在下列条件中:①AED=∠B;②=;③=.能够判断△ADE与△ACB相似的是 . 

【例2】 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD=3,BD=4,DE=3,AC=5,若
∠B=∠AED,求BC的长.

续表
探索新知
合作探究

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)利用判定定理2证明三角形相似时把相等的角错认为非成比例的两条边的夹角.
(2)寻找对应边成比例时没有考虑到边的长度.
2.归纳小结:
(1)添加条件证明相似时,先明确已知的条件,再根据判定定理寻找需要的条件.
(2)用相似三角形的判定定理2证明两个三角形相似的两个步骤:一是证明两组边对应成比例,二是证明两组边的夹角相等.
3.方法规律:
利用相似三角形的判定进行边角计算时,应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形,然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.

当堂训练
1.在△ABC中,BC=5 cm,CA=45 cm,AB=46 cm,另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是( )
(A)138 cm (B) cm (C)135 cm (D)不确定
2.一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形 相似.(选填“一定”或“不一定”) 
3.如图,在△ABC和△ACD中,∠A是公共角,找出使△ABC与△ADC相似的有关边的比例式.

4.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D,E,B,C在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.

板书设计
相似三角形的判定定理2
1.三角形相似的判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思






课题
1.2怎样判定三角形相似
课时
第4课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
(2)会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.
2.过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的判定方法SSS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
3.情感、态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.
教学
重难点
重点:两个三角形相似的判定方法3及其应用.
难点:探究两个三角形相似的判定方法3的过程.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
同桌两人分别画一个△ABC,△A1B1C1使AB=3 cm,AC=4cm,BC=5cm;A1B1=1.5cm,
A1C1=2 cm,B1C1=2.5 cm,然后比较,看是否相似?

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P16~17,观察与思考,回答下列问题:
1.相似三角形的判定定理3:
成比例的两个三角形相似. 
2.如图,结合图形用数学符号语言表示:
因为= = , 
所以△ABC∽ . 
合作探究
【例1】 如图所示,已知==.找出图中相等的角,并说明你的理由.


【例2】如图,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,为什么?


要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)当一个三角形的边长变化时,确定两个三角形的对应边时考虑不够全面,有所遗漏.
(2)利用三边成比例判断两个三角形相似时,没有把边长进行排序就去求比值.
2.归纳小结:
利用三边对应成比例判定三角形相似定理解决问题时,一定要注意边与边的对应关系,若题目中没有明确指出对应边,一定要分类讨论.
3.方法规律:
相似三角形判定方法的选择
(1)三边成比例:当给出的边比较多或者有边的比例关系时,选用三边成比例判定.
(2)两角相等:当出现平行线、对顶角、公共角或者给出几个角的大小时,选用两组角对应相等判定.
(3)两边成比例且夹角相等:当已知条件中只有一组角相等时,通过证明夹角的两边成比例判定.

当堂训练
1.已知△ABC的三边分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的最短边长为4 cm,当△DEF其他两边的长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
(A)2 cm,3 cm (B)4 cm,5 cm (C)5 cm,6 cm (D)6 cm,7 cm
2.在△ABC和△A1B1C1中,下列四个命题:
①若AB=A1B1,AC=A1C1,∠A=∠A1,则△ABC≌△A1B1C1;
②若AB=A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,则△ABC≌△A1B1C1;
③若∠A=∠A1,∠C=∠C1,则△ABC∽△A1B1C1;
④若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1,则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数为( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
3.已知一个等腰三角形的三边长分别为6,6,4,另一个三角形的一边为2,且与它相似,则另外两边长为 . 
4.已知,如图,==,那么△ABD与△BCE相似吗?为什么?

板书设计
相似三角形的判定定理3
1.三角形相似的判定定理3
三边对应成比例的两个三角形相似
2.应用判定定理解决简单的问题
教学反思



课题
1.2 怎样判定三角形相似
课时
第5课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)能够运用相似三角形的判定定理来解决有关问题.
(2)通过相似三角形的判定定理归纳过程,提高学生的数学应用能力.
2.过程与方法
通过测量活动,使学生初步学会数学建模的方法,提高综合运用知识的能力.
3.情感、态度与价值观
在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:运用相似三角形的判定定理来解决有关问题.
难点:发现和构造相似三角形.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被誉为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?

探索新知
合作探究
自学指导
1.结合情境导入,自学教材P18~19,我们可以得出测量物体高度的方法主要有以下两种:
(1)利用影子示意图 (2)利用平面镜

通过影子示意图或平面镜构造相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例来测量物体的高度.
合作探究
【例1】 同一时刻物体的高度与它的影长成正比.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?

【例2】 小明为了测量一大楼的高度,在地面上放一平面镜,镜子与楼的距离AE=27 m,他与镜子的距离是2.1 m时,刚好能从镜子中看到楼顶B,已知他的眼睛到地面的高度CD为1.4 m,结果他很快计算出大楼的高度AB,你知道是多少吗?试加以说明.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)无法根据已知条件构造相似三角形.
(2)利用平面镜反射测量高度时,写错对应边.
2.归纳小结:
测量物体高度的基本步骤
(1)画出示意图,利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形.
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长,以及另外一组对应边的长度.
(3)利用相似三角形的性质列出比例式,求出未知量.
3.方法规律:
解答测量问题时,首先要把实际问题转化为数学问题,然后利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解.

当堂训练
1.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得教学大楼在操场的影长为60米,则教学大楼的高度应为( )
(A)45米 (B)40米 (C)90米 (D)80米
2.为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底B 10米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2米,观察者CD=1.6米,则树AB的高度约为 米.

3.为测量湖两岸A,B间的距离,小强选择一点C,测得BC=290 m,延长BC到D,使CD=10 m,过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E,测得DE=30 m,求湖两岸的距离AB.


板书设计
相似三角形的应用
1.利用影子示意图测量物体的高度
2.利用平面镜反射测量物体的高度
教学反思





课题
1.3 相似三角形的性质
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系和相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,来解决简单的问题.
2.过程与方法
在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想.
3.情感、态度与价值观
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
教学
重难点
重点:相似三角形的性质的探究及应用.
难点:利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P22~24,观察与思考,回答下列问题:
(1)相似三角形的性质:
相似三角形对应线段的比等于 ,面积比等于 ; 
(2)用符号语言表示相似三角形的性质:
因为△ABC∽△A'B'C',=k,
所以= . 
合作探究
【例1】 已知:如图,DE∥BC,AB=30 m,BD=18 m,△ABC的周长为80 m,面积为100 m2,求△ADE的周长和面积?





续表
探索新知
合作探究
【例2】 如图,在△ABC中,DEFG为矩形,DG=2DE,且顶点在△ABC各边上,BC=42cm,高28 cm,求矩形边长.



要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)把相似三角形的周长比误认为等于相似比的平方.
(2)相似三角形的面积比误认为等于相似比.
2.归纳小结:
求面积比的两种类型
(1)利用相似:若两三角形相似,先证两三角形相似,再求出两三角形的相似比,则面积比为相似比的平方.
(2)利用同高或同底:若两三角形有共同的高(或高相等),则两三角形的面积比等于它们的底的比;若两三角形有共同的底(或底相等),则两三角形的面积比等于它们的高的比.
3.方法规律:
相似三角形的性质主要用来求解线段的长度和角的度数;计算三角形的周长及面积;证明线段的比例关系、角相等;计算线段的比及线段的平方比.

当堂训练
1.如果两个等腰直角三角形的斜边之比为1∶2,则它们的面积之比为( )
(A)1∶1 (B)1∶ (C)1∶2 (D)1∶4
2.在△ABC中,DE∥BC,AD∶BD=1∶2,则下列结论中正确的是( )
(A)= (B)= (C)= (D)=
3.如果两个相似三角形的面积比为8,周长比为k,那么= . 
4.在△ABC中,AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm,若△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的周长为81 cm,求△A'B'C'各边的长.



板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比
相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比
2.相似三角形的面积的比等于相似比的平方
教学反思



课题
1.4 图形的位似
课时
第1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.
(2)掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
2.过程与方法
经历位似图形的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生动手操作的能力,体验学习的乐趣.
教学
重难点
重点:位似图形的有关概念、性质与作图.
难点:利用位似将一个图形放大或缩小.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
下图各组是经过放大或缩小得到的多边形,它们相似吗?如果相似,观察这种相似什么特征?


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P26~28实验与探究,回答下列问题:
(1)对应边互相 (或 )且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形,这个点叫做 . 
(2)观察下列位似图形的位似中心,你发现了什么?


合作探究
【例1】 如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C',已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积比为( )
(A)1∶3 (B)1∶4
(C)1∶5 (D)1∶9
【例2】 以O为位似中心把△ABC缩小为原来的一半.

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)判断位似图形时忽略对应点的连线交于一点.
(2)确定位似图形的位似中心时没有找准对应顶点.
(3)在位似变换中,不理解任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比.
2.归纳小结:
(1)位似图形是针对两个图形而言的.
(2)位似图形一定是相似图形,而相似图形未必是位似图形,两者的区别在于:位似图形有位似中心,而相似图形不一定有位似中心.
3.方法规律:
画位似图形的一般步骤为:(1)确定位似中心;(2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;(4)顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.

当堂训练
1.下列四图中的两个三角形是位似三角形的是( )

(A)图(3)、图(4) (B)图(2)、图(3)、图(4)
(C)图(2)、图(3) (D)图(1)、图(2)
2.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 . 

3.如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍.




板书设计
位似
1.位似图形的概念
2.位似图形的性质及画法
教学反思



课题
1.4 图形的位似
课时
第2课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
掌握平面直角坐标系下的位似图形的点的坐标的变化特点,能够利用这个特点画出平面直角坐标系下的位似图形.
2.过程与方法
经历探索坐标系中位似图形的顶点坐标之间的关系的过程,进一步发展学生探究交流能力.
3.情感、态度与价值观
培养学生科学严谨的治学态度.
教学
重难点
重点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换.
难点:平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化特点的归纳.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
观察如图所示的坐标系.试着发现坐标系中几个图形间的联系,然后自己作出一个类似的图形.


探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P28~30实验与探究,回答下列问题:
(1)如果一个多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是 , 是它们的位似中心. 
(2)思考:以坐标原点为位似中心的两个位似图形,它们对应点的坐标有什么关系?
合作探究
【例1】 如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为( )
(A)(3,3) (B)(4,3) (C)(3,1) (D)(4,1)
【例2】 如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得△A'B'C'.在图中第一象限内画出符合要求的△A'B'C'.(不要求写画法)

续表
探索新知
合作探究
要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.
教师指导
1.易错点:
(1)混淆图形变换中的坐标变化规律.
(2)以原点为位似中心作图时忽略两种情况中的一种.
2.归纳小结:
(1)平移变换.左右平移:纵坐标不变,横坐标减去或加上平移的长度;
上下平移:横坐标不变,纵坐标加上或减去平移的长度.
(2)以原点为位似中心的位似变换.其中一个图形上的各点横纵坐标是另一个图形上对应点的横纵坐标的k(或-k)倍.
3.方法规律:
关于原点位似作图的两个步骤:一是描点:根据原图形关键点的坐标与相似比确定所作图形对应的坐标描点.二是连线:按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

当堂训练
1.如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,AB=4,则A1B1的长为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8





2.在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为2∶1,将△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是 . 
3.如图,原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心,它们的相似比是1∶2,试在图中画出
△A'B'C'.

板书设计
位似的坐标变化
位似变换的坐标特征:
关于原点位似的两个图形,若相似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化,得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky)
教学反思




第1章 章末复习
主题
图形的相似
课型
新授课
上课时间

教学内容
1.1 相似多边形;1.2 怎样判定三角形相似:第1课时 平行线分线段成比例;第2课时 相似三角形的判定定理1;第3课时 相似三角形的判定定理2;第4课时 相似三角形的判定定理3;
第5课时 相似三角形的应用;1.3 相似三角形的性质;1.4 图形的位似:第1课时 位似;
第2课时 位似的坐标变化.
教材分析
本章是在学习了全等三角形、图形的轴对称、平行四边形等基础上安排的.相似形的内容是进一步学习锐角三角比、解直角三角形、投影等内容的基础,相似的性质在现实生活和生产实际中用处广泛.
教学
重难点
重点:
1.相似多边形的定义.
2.相似三角形的判定和性质.
难点:
1.平行线分线段成比例定理及推论的探索.
2.相似三角形判定定理的证明及应用.
知识点
回顾
知识点1:平行线分线段成比例定理及推论
1.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( A )
(A)5∶8 (B)3∶8 (C)3∶5 (D)2∶5
2.如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知=,则= . 

第1题图 第2题图 第3题图
知识点2:相似三角形的性质和判定
3.如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点P,设△PCD的面积为m,△PEB的面积为,则下列结论中正确的是( B )
(A)m=5 (B)m=4 (C)m=3 (D)m=10
4.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P从B向D运动,问当P离B多远时,△PAB与△PCD是相似三角形?试求出所有符合条件的P点的位置.
解:设BP=x,因为BD=20,则PD=BD-BP=20-x,
分两种情况考虑:
假设△PAB∽△PCD,有=,
又AB=6,CD=16,所以=,即6(20-x)=16x,解得x=.
假设△PAB∽△CPD,有=,所以=,即x(20-x)=96,
续表
知识点
回顾
整理得(x-12)(x-8)=0,
解得x1=12,x2=8,
综上,当P离B的距离为或8或12时,△PAB与△PCD是相似三角形.
知识点3:位似及其性质
5.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为( A )
(A)(3,2) (B)(3,1) (C)(2,2) (D)(4,2)
6.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O位似,BO=3,B'O=6.
(1)若AC=5,求A'C'的长;
(2)若△ABC的面积为7,求△A'B'C'的面积.
解:(1)因为△ABC与△A'B'C'是位似图形,
相似比===,
所以△ABC∽△A'B'C'且相似比为,所以=,即=,所以A'C'=10.
(2)因为=2=,
所以S△A'B'C'=4×7=28.
知识点4:相似的应用
7.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得旗杆的高度为4.5米,则旗杆的影长应为( C )
(A)4米 (B)5米 (C)6米 (D)8米
8.如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会儿抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?

解:如图,设小张与教学楼的距离至少应有x m,才能看到水塔.
连接FD,由题意知,点A在FD上,过E作EG∥FD交AB于H,交DC于G,则四边形FEHA,AHGD都是平行四边形.
因为AB∥CD,所以△EBH∽△ECG,
所以BH∶CG=EB∶EC,
即(20-1.6)∶(30-1.6)=x∶(x+30),解得x=55.2.
经检验x=55.2是所列方程的根.答:小张与教学楼的距离至少应有55.2 m.
第2章 解直角三角形
课题
2.1 锐角三角比
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值固定(即正弦值不变)这一事实;
(2)了解锐角三角比的概念,能够正确应用sin A,cos A,tan A表示直角三角形中两边的比.
2.过程与方法
经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实,发展学生的形象思维,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.
3.情感、态度与价值观
通过学习培养学生的合作意识,提高学生学习数学的兴趣.
教学
重难点
重点:锐角三角比的概念.
难点:引导学生比较、分析并得出:对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
前面我们学过在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么这个角的对边与斜边的比值都等于,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比是否是固定的?

探索新知
合作探究
自学指导
1.自学教材P38~40,回答下列问题:
(1)一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比 (填“变化”或“不变”); 
(2)锐角三角比的概念:
如图,sin A= , 
cos A= , 
tan A= . 
3.思考:互余两角的正弦与余弦有怎样的关系?
合作探究
【例1】 如图,sin A等于( )
(A)2 (B) (C) (D)

【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,求∠A的正弦、余弦、正切的值.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)把sin A误认为sin 与A的乘积;
(2)混淆三角比的三种表示方式:sin A、sin 56°、sin∠DEF,不清楚什么时候省“∠”.
2.归纳小结:
(1)直接求锐角三角比:结合勾股定理,求出要求的角的对边、邻边或斜边,直接利用定义计算结果.
(2)间接求锐角三角比:在直角三角形中,寻找与所求角相等的角,求寻找到的角的三角比.
3.方法规律:
求锐角三角比一定要在直角三角形中求值,当图形中没有直角三角形时,要通过作高,构造直角三角形解答.

当堂训练
1.如果∠α是锐角,且tan α=2,那么sin α的值是( )
(A) (B) (C) (D)

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A=,则边AC的长是( )
(A) (B)3 (C) (D)
4.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sin C的值.



板书设计
锐角三角比
1.锐角三角比的概念
2.已知直角三角形的两边求锐角三角比
教学反思





课题
2.2 30°,45°,60°角的三角比
课时
1课时
上课时间

教学目标
1.知识与技能
(1)经历探索30°,45°,60°角的三角比的过程,知道求出这些特殊角的三角比的值的方法,熟记这些特殊角的三角比的值;
(2)会根据30°,45°,60°角的一个三角比的值,直接求得相应的锐角,会计算含有特殊角三角比的式子的值.
2.过程与方法
通过探索30°,45°,60°角的三角比逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.情感、态度与价值观
积极参与数学活动,体验数学活动中获得成功的乐趣,从而充满探索与创造的信心,形成实事求是的态度及独立思考的习惯.
教学
重难点
重点:熟记特殊角的三角函数值.
难点:熟练应用特殊角的三角函数值.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
两个三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

探索新知
合作探究
自学指导
(1)自学教材P41~43实验与探究部分,填写下面的表格:

sin α
cos α
tan α
30°



45°



60°




(2)思考:从上面填写的表格中,你发现了哪些规律?
合作探究
【例1】 求下列各式的值:
(1)2sin 30°+3tan 30°; (2)cos 45°+tan 60°·cos 30°.




【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则∠B等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
【例3】 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1-tan A)2+sin B-=0,试判断△ABC的形状.


要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
(1)混淆特殊角的正弦、余弦和正切的值;
(2)由锐角三角比的值确定锐角度数时,混淆30°和60°的角,计算过程中出现符号错误.
2.归纳小结:
(1)正弦、正切的值随着角的增大而增大;余弦的值随着角的增大而减小;
(2)同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和等于1;
(3)由三角比求锐角的一般步骤:
先求边长:计算所求角的对边、邻边或斜边;再求三角比:计算所求角的三角比的值;最后求锐角:根据三角比的值确定锐角的度数.
3.方法规律:
(1)口诀记忆法:1,2,3;3,2,1;3,9,27;弦比2,切比3,分子根号别忘添;
(2)特点记忆法:30°,45°,60°的正弦值记为,,,余弦值相反,正切值记为,,.

当堂训练
1.下列等式成立的是 ( )
(A)sin 45°+cos 45°=1 (B)2tan 30°=tan 60°
(C)2sin 60°=tan 45° (D)sin230°=cos 60°
2.若0°0,
所以AO=1.所以☉O的半径为1.
知识点3:切线的性质和判定
5.如图,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,点B是的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF= 2 . 
6.如图,D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)过点B作☉O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,=.求BE的长.
(1)证明:如图,连接OD,
因为OB=OD,
所以∠OBD=∠BDO.
因为∠CDA=∠CBD,
所以∠CDA=∠BDO.
因为AB是☉O的直径,所以∠ADB=90°.
所以∠ADO+∠BDO=90°.
所以∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°.所以OD⊥CD.
因为OD是☉O的半径,所以CD是☉O的切线.


续表
知识点
回顾
(2)解:因为∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,
所以△CDA∽△CBD.
所以=.
因为=,BC=6,
所以CD=4.
因为CE,BE是☉O的切线,
所以BE=DE,BE⊥BC.
所以BE2+BC2=EC2,
即BE2+62=(4+BE)2.
解得BE=.
知识点4:弧长和扇形面积
7.如图,已知正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为( B )
(A)13π cm (B)14π cm (C)15π cm (D)16π cm
8.设计一个商标图案,如图,在矩形ABCD中,若AB=2BC,且AB=8 cm,以点A为圆心,AD长为半径作半圆,则商标图案(阴影部分)的面积等于( A )
(A)(4π+8) cm2 (B)(4π+16) cm2 (C)(3π+8) cm2 (D)(3π+16) cm2
知识点5:正多边形和圆
9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为 8 . 

第7题图 第8题图 第9题图
10.如图,正六边形ABCDEF中,AB=2,点P是ED的中点,连接AP,求AP的长.

解:连接AE,由正六边形的性质知,AE⊥DE,
所以△APE为直角三角形,
又AE==,
所以AP===.


第4章 一元二次方程
课题
4.1 一元二次方程
课时
1课时
上课时间

教学内容
1.知识与技能
(1)通过实际问题情境抽象出一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式.
(2)经历运用“观察—体验”的方法估计一元二次方程解的过程.
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.
3.情感、态度与价值观
通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
教学
重难点
重点:一元二次方程的概念及其一般形式.
难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1. 叫方程. 
2. 叫一元一次方程. 

探索新知
合作探究
自学指导
自学教材P124~P127,回答下列问题:
1.一元二次方程:两边都是 ,只含有 个未知数,并且整理后未知数的最高次数是 的方程. 
2.一元二次方程的一般形式: (a≠0),其中 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数, 是常数项. 
3.求一元二次方程近似值的一般步骤:
(1)根据实际问题确定一元二次方程根的大致范围,并据此合理列表,算出对应的 的值. 
(2)根据表格确定一元二次方程根的范围,当相邻两个数,一个使ax2+bx+c≤0,一个使ax2+bx+c≥0,那么ax2+bx+c=0的根就在这两个数之间.
(3)在上面的取值范围内进一步列表、计算、估计范围,直到符合要求的精确度为止.
合作探究
【例1】方程x2+x-3=0的负数根的范围是( )
(A)-1