新疆乌鲁木齐市多校2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)

2023年中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每题的选项中只有一项符合题目要求）

1. 实数﹣2023的绝对值是（　　）

A. 2023 B. ﹣2023 

C.  D.

2. 下列命题中，假命题是（　　）

A. 对顶角相等

B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

D. 如果a>c，b>c，那么a>b

3. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）

A.  B.  

C.  D.

4. 如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的的两边上，分别截取，使．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，则射线就是的平分线．其作图原理是：，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（    ）

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定

6. 已知在中，，，那么以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的位置关系是（    ）

A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含

7. 如果将抛物线 向上平移 个单位，那么平移后抛物线顶点坐标是(　　)

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（　　）

A. 点C在圆A内，点B在圆A外

B. 点C在圆A上，点B在圆A外

C. 点C、B都在圆A内

D. 点C、B都在圆A外

9. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（    ）

A. 对称轴 B. 开口方向 C. 和y轴的交点 D. 顶点．

10. 如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在的三边上，如果六边形是正六边形，下列结论中不正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（共5小题，请把答案填在答卷中的相应位置处）

11. 抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 ___．

12. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．

13. 如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．

14. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．

15. 正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________．

三、解答题

16. 计算：

（1）；

（2）；

（3）．

17. 如图，直线l与a、b相交于点A、B，且．

（1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；

（2）若，求的度数；

（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为________cm．

18. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．

（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．

19. 动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：

（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；

（2）过点D作BC的平行线，交AB于点E；

（3）写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；

（4）写出一对相等的线段_______________．

20. 已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．

（1）求直线的解析式；

（2）若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下

①求的取值范围；

②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．

21. 如图是由边长为1小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．

（1）在图1中画出以AB为边且周长为的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；

（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．

22. 请仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．

（1）图是由边长为的小等边三角形构成的网格，为格点三角形．在图中，画出中边上的中线；

（2）如图，四边形中，，，画出边的垂直平分线．

23. 下面是小李设计“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．

已知：如图1，线段，，及．

求作：矩形，使，．

作法：如图2，

①在射线，上分别截取，；

②以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；

③连接，．

∴四边形就是所求作的矩形．

根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；

（2）完成下面证明．

证明：，      ，

四边形是平行四边形(      )(填推理的依据)．

，

四边形是矩形(      )(填推理的依据)．

答案

1. A

解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，﹣2023的绝对值等于2023．

故选：A．

2. D

解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；

B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题，不符合题意；

C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，不符合题意；

D、如果a>c，b>c，那么a与b的大小关系不确定，是假命题，符合题意；

故选D．

3. C

解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：．

故选：C．

4. D

解：由作图可知，，

在和中，

，

∴，

∴，

即射线就是的平分线，

故选：D．

5. B

解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，

设CD=x，

∵．

∴BD=2x，BC=3x，

∵．

∴AC=4x，

∴AB=5x，

∵，

∴，．

∴BE=2AE，，

∴EF=AE=，

∴，

∴CD=DE，

∵经过点，且与外切，

∴的半径为x，

∵，即AC⊥BC，

∴与直线相切．

故选：B

6. C

解：如图，取边的中点D，连接，

中，，，

∴，

可设，

∴，

∴，，

∴即以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的两圆心的距离等于两圆的半径之和，

∴以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的位置关系是内切．

故选：C

7. D

解：∵抛物线 向上平移 个单位，得到

平移后抛物线的顶点坐标为

故选：D．

8. A

解：如图，在中，，

∴，即，

∴，

∴，

∴点C在的内部，

∵，

∴，

∴点B在的外部，

故选A．

9. B

的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0）

将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为：

∴平移后对称轴为，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2）

∴开口方向不变

故选：B

10. C

解：∵六边形DEFGHI是正六边形，

∴∠IDE=∠FED=120°，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴∠A=60°，A正确；

∴△ADE、△IBH、△FGC都是正三角形，

∴三个正三角形的边长都等于正六边形的边长，

∴，B正确；，C不正确；

如图，分别连接DG、IF、HE，

则六边形被分成和△ADE全等的六个三角形，

∴，

∴D正确，

故选C．

11.

令

则

抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为

故答案为：

12. 或

解：∵D为AB中点，

∴，即，

取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，

∴，

在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，

∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠C=60°，BC＝，

∵DE1∥BC，

∴∠DE1E2=60°，

∴△DE1E2是等边三角形，

∴DE1＝DE2＝E1E2＝，

∴E1E2＝，

∵，

∴，即，

综上，的值为：或，

故答案为：或．

13. 或．

解：中，，，，

，，

，

为直角三角形，

①当点位于点左侧时，如图：

设直线交于点，

，

，，

又四边形是正方形，且，

，，

即，

解得：，

，，

，

，

，

解得：，

，

，

，

，

，

，

，

解得：；

②当点位于点右侧时，如图：

与①同理，此时，

，

解得：，

综上，的长为或，

故答案为：或．

14. （1）（3）（4）．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴，．

又∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即H是FK的中点；故结论（1）正确；

（2）过点H作交BC于N，交AD于M，

由（1）得，则．

∵，

∴．

∵四边形ABCD是正方形，，

∴．

∴四边形ABNM是矩形．

∴，．

∵，

∴．

即．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

即．

解得．

则．

∵，．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∴与不全等，故结论（2）错误；

（3）∵，

∴．

即．

解得．

由（2）得，．

∴；故结论（3）正确；

（4）由（1）得，H是FK的中点，

∴．

由勾股定理得．

∴；故结论（4）正确．

故答案为：（1）（3）（4）．

15. 2

根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1：

∵正方形ABCD中AB=，M为中点

∴CM=BM=，

∵∠MPC＝45°

∴半径为1

作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：

根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，

∴，∠NOP=∠AOP

∴△OPN∽△OAP

∴即PN=PA

∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）

连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：

∵CN=OC+CN=1+=，

∴NG=CG=，

∴BG=，

根据勾股定理可得，BN=,

∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．

故答案为：．

16. （1）

解：原式

；

（2）

解：原式

（3）

解：原式

17. （1）

解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的的角平分线，如图所示：

（2）

解：∵，

∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC＝24°，

∴∠ADB=∠CBD＝24°．

（3）

解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示：

根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，

∵点D到直线b的距离为3cm，

∴DE＝3cm，

∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l，

∴DE＝DF，

∴DF＝3cm，

∴DP的最小值为3cm．

故答案为：3．

18. （1）

解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；

②作直线OE，记OE与交点D；

③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；

（2）

解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：

∵OD⊥AC，

∴F为AC中点，

∴OF是△ABC的中位线，

∴OF=BC=3，

∵OF⊥AC，

∴OF的长就是点O到AC的距离；

Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴OD=OA=AB=5，

∴DF=OD-OF=5-3=2，

∵F为AC中点，

∴CF=AC=4， 

Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，

∴CD=，

则，

∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是．

19. （1）

解：如图所示，

（2）

解：如图所示，

（3）

解：由题意知，（答案不唯一）；

（4）

解：由题意知，．

20. （1）

解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），

∴，

解得，

∴直线解析式为：；

（2）

解：①设G：（），

∵点P（，）在直线上，

∴；

∴G：（）

∵（0，-3）不在直线上，

∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，

而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），

∴点P必须位于直线的上方，

则，，

另一方面，点P不能在轴上，

∴，

∴所求取值范围为：，且 ；

②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，

∴点Q横坐标为，

而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；

∵Q'（，）在G：上，

∴， ，

∴ G：，或．

∵抛物线G过点（0，-3），

∴，

即，

， ；

当时，抛物线G为，对称轴为直线，

对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，

此时，函数值随着的增大而减小，如图，

∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；

当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，

∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．

21. （1）

解：如图，四边形即为所作；

（2）

解：如图，四边形即为所求作的正方形．

22. （1）

如图中，线段即所求．

（2）

如图中，直线即为所求．

证明：

∴点在的垂直平分线上

∴点在的垂直平分线上

所以是的垂直平分线

23.（1）解：如图，矩形即为所求；

（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形