2023年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷（含答案解析）

2023年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷

1.  已知集合，集合，则集合(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数的虚部是(    )

A. 2 B.  C. 2i D.

3.  甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知AB是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为(    )

A.  B.  C. 1 D. 0

5.  坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值.如图所示，已知斜面ABCD的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向DE与直线AD的最大夹角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(    )

A. 的最大值为4 B. 的最大值为2
C. 的最小值为 D. 的最小值为

8.  定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是(    )

A. 函数为奇函数 B. 关于直线对称
C.  D. 函数的最小正周期

9.  某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 频率分布直方图中的a的值为
B. 估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟
C. 估计该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多
D. 估计该校约的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时

10.  已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是(    )

A. 其外接球的表面积为 B. 其内切球的半径为
C. 侧面与底面所成角的余弦值为 D. 不相邻的两个侧面所成角的余弦值为

11.  设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是(    )

A.  B.  C. 2 D.

12.  已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是(    )

A. F点坐标为
B. 若，则线段AB中点到x轴距离的最小值为3
C. 若，则直线AB过焦点F
D. 若直线AB斜率为1，则的最小值为2

13.  在的展开式中，含项的系数为______ .

14.  设等差数列的前n项和为，若，，则的值是______ .

15.  已知函数，且对任意实数x都有，则的值为______ .

16.  已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是______ .

17.  已知中，点D在边AB上，满足，且，的面积与面积的比为
求的值；
若，求边AB上的高CE的值.

18.  已知是等差数列的前n项和，是等比数列的前n项和，且，，
求数列和的通项公式；
设，求数列的前n项和

19.  学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女生组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计单位：小时第一段第二段第三段第四段第五段将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；
填写下列列联表，并判断是否有的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？

附：

若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？同一段中的数据用该组区间的中点值代表

20.  如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱SD上，E是侧棱SC的中点.
若，证明：平面PAC；
若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小.
①平面PAC；②P为SD的中点.

21.  已知椭圆C：的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线AD与BD的斜率之积为
求椭圆C的标准方程；
设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线为坐标原点与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值.

22.  已知函数
讨论函数的单调性；
若函数有两个极值点，，且，求证：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，
则
故选：
先通过解一元二次不等式求集合A，再求集合A、B的交集即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：设，
所以，即，，
故，，其虚部为
故选：
设，利用复数得运算法则即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：基本事件总数，事件“两名同学加入同一个社团”包含的基本事件总数，

故选：
可得出基本事件总数，事件“两名同学加入同一个社团”包含的基本事件总数，然后根据古典概型的概率计算公式求出即可．
本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：是圆的圆心，
点P为直线上的任意一点，
又，
当最小时，的取值最小，
的最小值是圆心到直线的距离，
即，

故选：
运用向量加减运算和数量积的性质，可得，再结合点到直线的距离公式即可求解．
本题考查动点的轨迹方程的求解，向量数量积的最值的求解，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：在越野车行驶方向上任取不同于D的点E，作EO垂直于过AD的水平面，垂足为O，再作于F，连接EF，OD，如图，

于是，而，EO，平面EOF，则平面EOF，又平面EOF，
因此，是斜面ABCD与过AD的水平面所成二面角的平面角，，即，
因为越野车的最大爬坡度数是，即直线DE与过AD的水平面所成角的最大值为，
令，在中，EO的最大值为，在中，EF的最大值为，
在中，，而正弦函数在上单调递增，
因此的最大值为，
所以行驶方向DE与直线AD的最大夹角的度数为，B正确．
故选：
根据给定条件，在行驶方向上任取点E，作EO垂直于过AD的水平面，垂足为O，再作于F，确定出二面角、线面角、线线角，即可计算作答．
本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，
，
，
，
，

故选：
利用弦化切先得出，再利用正切的二倍角公式得
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：根据题意，，的坐标为，设点P的坐标为，则，
故，
又，故，
又，故当时，取得最小值，且其没有最大值，
故的最小值为，无最大值．
故选：
设出点P的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：定义在R上的函数，由，得：，即函数为奇函数，A正确；令，
则，
因此函数，即的图象关于直线对称，B正确；
由，得：，由，得：，
于是，即，所以函数的周期，D正确；
由，知，显然由给定条件的值不确定，又，
因此不确定，C错误．
故选：
根据给定条件，利用奇偶函数的定义判断A，B；
探讨函数的周期性判断C，D作答．
本题考查了抽象函数的对称性、周期性、奇偶性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：对于A，频率分布直方图中小长方形的面积之和为1，组距为25，
所以，解得，故A正确；
对于B，该校学生完成课后作业所用的平均时间为，故B错误；
对于C，由频率分布直方图可知该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多，故C正确；
对于D，由该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率为，
所以该校学生完成课后作业所用的时间不超过2小时的频率为，故D错误．
故选：
根据频率分布直方图中小长方形的面积之和为1，组距为25，即可求得a的值，进而即可判断A；根据平均数的计算方法即可判断B；根据频率分布直方图即可判断C；先计算该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率，从而可得到不超过2小时的频率，进而即可判断
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则
在直角三角形ABC中，，
，
在直角三角形PAO中，，
正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为，
正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，
球的表面积，故A正确；
设底面的中心为O，连接CO，PO，则，，
设四棱锥的内切球的半径为r，连接EA，EB，EC，ED，EP，
得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r，

，
即，
解得，故B错误；
解：如图，设正四棱锥的所有棱长均为2，
过S作面ABCD，垂足为O，

过O作，交BC于F，连结PF，
则由三垂线定理知：
是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由题意知，，
故C正确；
正四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，
设不相邻的两个侧面所成角为，
侧面的斜高为：，
，故D正确．
故选：
正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解可判断A；设四棱锥的内切球的半径为r，由题可得，进而可判断B；设正四棱锥的所有棱长均为2，过S作面ABCD，垂足为O，过O作，交BC于E，连结SE，则由三垂线定理知是侧面SBC与底面ABCD所成二面角的平面角，由此可判断C；作出相邻的两个侧面所成的二面角，然后用余弦公式，进行求解可判断
本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间几何体的外接球与内切球，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属中档题．
 

11.【答案】BD 

【解析】解：函数的定义域为，，
因为函数有两个极值点，
则方程，即在内有两个变号零点，
令，，则，
令，
若，即，函数对单调递减，的取值集合是
若，即，函数对单调递增，的取值集合是
当时，，的取值集合是，当时，，
依题意，方程在内有两个不等实根，即直线与函数，的图象有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数，的部分图象，如图，

观察图象知，当或时，直线与函数，的图象有两个公共点，
于是当或时，在内有两个变号零点，
所以实数a的取值范围是或，即a的值可以是，，选项AC不满足，BD正确．
故选：
求出给定函数的定义域及导数，利用导函数有两个不同的零点，求解作答．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解：对于A：抛物线的准线方程为，焦点，故A正确；
对于B：设，当直线AB过交点时，设直线AB：，
联立，整理得，则，，，当且仅当时取等号，
又，即此时直线AB可以过焦点F，，当且仅当直线AB过焦点F时取等号，
，即线段AB中点到x轴距离，即最小值为3，故B正确；
对于C：由题意得，则，设点，则直线PA斜率，直线PB斜率，
，，解得，
又，且，故，则直线AB过焦点F，故C正确；
对于D：，，同理可得，
则，是方程的两个实数根，则，，
设直线AB的方程为，联立，整理得，
则，解得，
，，则，，即，，
，即无最小值，故D错误，
故选：
求出焦点坐标判断A；设出点A，B的坐标及直线AB方程并与抛物线方程联立，结合定义计算判断B；利用导数求出切线斜率，结合向量运算计算判断C；求出点P的坐标关系计算判断D作答．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】448 

【解析】解：由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为
故答案为：
根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：等差数列中，，，
，
，，
故答案为：
利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式求解即可．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知函数，且对任意实数x都有，
则函数的图象关于直线对称，
又函数，其中，
令，，
则函数的对称轴方程为，，
即，，
则
故答案为：
由三角函数的性质，结合二倍角公式求解即可．
本题考查了三角函数的性质，重点考查了二倍角公式，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，
且，
，，
构造，令，则，
，
在上递减，，
，，
综上，，
6个数中，正数有，，负数有，，
只需比较，大小，
又，而，
，
由，
，，，
综上，在，，，，，这6个数中，值最小的是
故答案为：
利用对数的性质得且，构造，并且利用导数研究其在上的单调性可得，进而有，结合6个数的正负只需判断、大小，作商法，，判断与1的大小关系，即可得到答案．
本题考查对数的性质、运算法则、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：点D在边AB上，满足，
为的平分线，

又的面积与面积的比为，
由角平分线定理可知，，
由正弦定理得，且，
又，
，
且B为说角，
；
由知A为锐角，且，
，
，
又，，
在中，，解得，
故 

【解析】由已知条件可得，CD为的平分线，再结合角平分线定理，以及正弦定理，二倍角公式，即可求解；
先求出，再结合余弦的两角和公式，求出，并运用余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，即，
设数列的公差为d，数列的公比为，
则，解得，，
所以，
由知，，
所以，
所以，
因此，
所以 

【解析】利用等差、等比数列的通项公式求得公差d和公比，即可得解；
由等差数列的前n项和公式，推出，再采用裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和公式，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得，
女生共有人，“体育迷”有人，
男生有人，“体育迷”有人．
估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为
根据题目所给数据得到如下的列联表：

，
故没有的把握认为是否为“体育迷”与性别有关．
由题意可知，男生的锻炼时间在每组的频数分别为，，，，；
故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为，，，，；
所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：，
因为，
所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平． 

【解析】由折线图的性质可求m，由频数统计图求女生人数，再求男生人数，和男生和女生中的体育迷的人数，由此可求该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；
由已知数据填写列联表，由公式求的值，与临界值比较大小，确定结论；
由已知数据求该校高一年级学生的周平均锻炼时间的估计值，由此确定结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

20.【答案】解：证明：连接BD，设交点为O，连接BQ，QE，OP，
在中，点E是SC的中点，点Q是线段SP的中点，，
又平面PAC，且平面PAC，
平面PAC，
在中，点O是线段BD的中点，点P是线段DQ的中点，所以，
又平面PAC，且平面PAC，
平面PAC，又，且BQ，平面BEQ，
平面平面PAC，又平面BEQ，
平面PAC；
若选①平面PAC，连接SO，
为正方形，点O分别为AC与BD的中点，
又易知，，同理，
又，平面ABCD，
以OC，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
设，则，，，，
，，，
，，，
平面PAC，平面PAC的一个法向量为，
显然平面DAC的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
，；
若选②P为SD的中点，连接SO，
为正方形，点O分别为AC与BD的中点，
由题意，同理，
又，平面
以OC，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
设，则，，，，
，，，
，，，
则，，
设平面APC的法向量为，
则，取，
显然平面DAC的一个法向量为，
设二面角的平而角为，
， 

【解析】连接BD，设交点为O，连接BQ，QE，OP，先证明平面平面PAC，进而即可证明平面PAC；
选①或②，都是先证明平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：由已知得，且，即，
因此有，得
因此，得，，所以椭圆的标准方程为
显然直线MN经过x轴上的定点，设，，
则由椭圆的对称性得，
联立，消去x得恒成立，
所以，，
所以
令，显然有，于是，当，即时取等号．
因此的面积S的最大值为 

【解析】根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案；
由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由已知得函数的定义城为，
，当且仅当，即时，取等号，
当时，在上恒有，
所以在是增函数，
当时，方程有两个不等的正根，，
由，即，解得，或，
由，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在是增函数，
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
证明：由知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以有两个极值点，，且，，
又因为，
所以，，
所以，且，
令，
所以，
当时，，单调递增，
所以当时，，
所以，即，
，且，
令，，
所以，
令，
所以，
令得或，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以在上，
所以在单调递减，
所以当时，，
于是，即，
所以 

【解析】求导得，当且仅当，即时，取等号，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．
由知，当时，有两个极值点，，且，满足，，计算，，分析单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．