2023届辽宁省抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟数学试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则集合（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过解一元二次不等式求集合A，再求集合A、B的交集即可.
【详解】，
则.
故选：C.
2．已知复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用复数得运算法则即可.
【详解】设，所以，
即
故的虚部是2
故选：A
3．甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两名同学分别从四个社团中随机选取一个社团加入，计算样本空间的样本点数量,再算这两名同学加入同一个社团的样本点数量，即可求出概率作答.
【详解】依题意，甲乙两名同学各自等可能地从四个社团中选取一个社团加入，基本事件总数，
这两名同学加入同一个社团的事件包含的基本事件个数为4，
则这两名同学加入同一个社团的概率是.
故选：B
4．已知是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得，再结合点到直线的距离公式即可求解．
【详解】由点P是圆的圆心，
则点P为直线上的任意一点，
又，
所以当最小时，的取值最小，
所以的最小值是圆心到直线的距离，即，
所以．
故选：D．
5．坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向与直线的最大夹角的度数为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】根据给定条件，在行驶方向上任取点E，作垂直于过的水平面，垂足为O，再作于F，确定出二面角、线面角、线线角，即可计算作答.
【详解】在越野车行驶方向上任取不同于D的点E，作垂直于过的水平面，垂足为O，再作于F，连接，如图，

于是，而平面，则平面，又平面，
因此，是斜面与过的水平面所成二面角的平面角，，即，
因为越野车的最大爬坡度数是，即直线与过的水平面所成角的最大值为，
令，在中，的最大值为，在中，的最大值为，
在中，，而正弦函数在上单调递增，
因此的最大值为，
所以行驶方向与直线的最大夹角的度数为，B正确.
故选：B
6．已知，若，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用弦化切先得出，再利用正切的二倍角公式得.
【详解】∵
∴
∴
∵，∴，∴
故选：C
7．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ）
A．的最大值为4 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则，
故，
又，故，
又，故当时，取得最小值，且其没有最大值，
故的最小值为，无最大值.
故选：D
8．定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是（    ）
A．函数为奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．函数的周期
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义判断AB；探讨函数的周期性判断CD作答.
【详解】定义在R上的函数，由得：，即函数为奇函数，A正确；
令，则，
因此函数，即的图象关于直线对称，B正确；
由得：，由得：，
于是，即，所以函数的周期，D正确；
由知，，显然由给定条件的值不确定，又，
因此不确定，C错误.
故选：C

二、多选题
9．某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．频率分布直方图中的a的值为0.010
B．估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟
C．估计该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多
D．估计该校约85%的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时
【答案】AC
【分析】根据频率分布直方图中小长方形的面积之和为1，组距为25，即可求得a的值，进而即可判断A；根据平均数的计算方法即可判断B；根据频率分布直方图即可判断C；先计算该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率，从而可得到不超过2小时的频率，进而即可判断D．
【详解】对于A，频率分布直方图中小长方形的面积之和为1，组距为25，
所以，解得，故A正确；
对于B，该校学生完成课后作业所用的平均时间为
，故B错误；
对于C，由频率分布直方图可知该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多，故C正确；
对于D，由该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率为，
所以该校学生完成课后作业所用的时间不超过2小时的频率为，故D错误．
故选：D．
10．已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（    ）
A．其外接球的表面积为
B．其内切球的半径为
C．侧面与底面所成角的余弦值为
D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】连接，，且交于，连接，根据题意可得是四棱锥外接球的球心，是其半径，代入即可计算其外接球的表面积，从而即可判断A；利用等体积公式，即可求内切球的半径，从而即可判断B；取的中点，连接，，先证明是侧面与底面所成角，即可求得侧面与底面所成角的余弦值，从而即可判断C；再取的中点，连接，，显然是平面与平面所成的角，再结合余弦定理求解即可判断D．
【详解】对于A，连接，，且交于，连接，
又四棱锥的各条棱长均为2，
则，
所以四棱锥的外接球的球心，半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；

对于B，设内切球的半径为，
则，
即，解得，故B错误；
对于C，根据题意不妨求侧面与底面所成角的余弦值，
取的中点，连接，，
结合选项A，可知，且平面平面，
所以是侧面与底面所成角，
又，，所以，
即侧面与底面所成角的余弦值为，故C正确；

对于D，根据题意不妨求平面与平面所成的角的余弦值，
过点作，且作的中点，
结合A选项，再取的中点，连接，，
则，，
又平面平面，
所以是平面与平面所成的角，
又，，
所以根据余弦定理得，
所以不相邻的两个侧面所成角的余弦值为，故D正确．

故选：ACD．
【点睛】本题考查几何体的“内切”，“外接”球问题，二面角，余弦定理等，其中选项B是根据等体积法求得四棱锥内切球的半径，选项C，D是根据找到二面角的平面角来求解，具有一定的综合性．
11．设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】BD
【分析】求出给定函数的定义域及导数，利用导函数有两个不同的零点，求解作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数有两个极值点，则方程，即在内有两个变号零点，
令，，则，令，
当时，，的取值集合是，当时，，
若，即，函数对单调递增，的取值集合是，
若，即，函数对单调递减，的取值集合是，
依题意，方程在内有两个不等实根，即直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
于是当或时，在内有两个变号零点，
所以实数a的取值范围是或，即a的值可以是，，选项AC不满足，BD正确.
故选：BD
12．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是（    ）
A．F点坐标为
B．若，则线段中点到x轴距离的最小值为3
C．若，则直线过焦点F
D．若直线斜率为1，则的最小值为2
【答案】ABC
【分析】求出焦点坐标判断A；设出点A，B的坐标及直线AB方程并与抛物线方程联立，结合定义计算判断B；利用导数求出切线斜率，结合向量运算计算判断C；求出点P的坐标关系计算判断D作答.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点，A正确；
对于B，设，当直线AB过交点时，设直线，
由消去y得：，有，
，当且仅当时取等号，
而，即此时直线AB可以过焦点F，
，当且仅当直线AB过焦点F时取等号，
于是，所以线段中点到x轴距离，即最小值为3，B正确；
对于C，由求导得：，设点，则直线斜率，直线斜率，
，
，解得，，
因为，即有，因此直线过焦点F，C正确；
对于D，由整理得：，同理，
则是方程的二根，于是，
设直线，由消去y得：，由，得，
有，从而，即，
所以，即无最小值，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

三、填空题
13．在的展开式中，含项的系数为__________．
【答案】448
【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.
【详解】由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为.
故答案为：.
14．设等差数列的前n项和为，若，，则的值是__________．
【答案】##
【分析】根据等差数列前n项和公式和等差数列的性质即可求解．
【详解】依题意有，
又，所以．
故答案为：．
15．已知函数，且对任意实数x都有，则的值为__________．
【答案】##0.96
【分析】由得函数的图象关于直线对称，结合正弦函数的性质得，求出，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为对任意实数x都有，则函数的图象关于直线对称，
而，其中锐角由确定，
因此当时，函数取得最值，即为的极值点，又，
于是，即，解得，
所以.
故答案为：
16．已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是__________．
【答案】
【分析】首先利用对数的性质得到且，构造并利用导数研究其在上的单调性可得，进而有，结合6个数的正负只需判断、大小，作商法判断与1的大小关系，即可得答案.
【详解】由，
且，
所以，故，
构造，令，则，则，
所以在上递减，故，故，即；
综上，，
6个数中，正数有、，负数有、，
所以只需比较、大小，又，而，
所以，
由，故，即，.
综上，值最小的是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由对数的性质得到且，利用对数均值不等式确定的范围，结合不等式性质找到最小数.

四、解答题
17．已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
(1)求的值；
(2)若，求边上的高的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由得为的平分线，再根据正弦定理得，从而解得；
（2）由已知及（1）可得，再由余弦定理求得的长，最后根据求得结果.
【详解】（1）∵，
∴为的平分线，
在与中，根据正弦定理可得：
两式相比可得：
又的面积与面积的比为，
∴，
即，且，
由得，
∴且为锐角，∴．
故答案为：
（2）由（1）知为锐角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案为：

18．已知是等差数列的前n项和，是等比数列的前n项和，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用已知条件建立方程从而求得，，再利用等差数列、等比数列的通项公式可得；
（2）由的通项公式，求出，再根据裂项求和可得.
【详解】（1）因为，所以
即，即，因为，解得，．
所以，．
（2）由（1）知
得，
所以．
因此，所以．
19．学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段，第二段，第三段，第四段，第五段．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

(1)求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；
(2)填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？

体育迷
非体育迷
合计
男



女



合计




附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

(3)若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）
【答案】(1)，
(2)列联表见解析，没有
(3)达到了

【分析】（1）由折线图的性质可求，由频数统计图求女生人数，再求男生人数，和男生和女生中的体育迷的人数，由此可求该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；
（2）由已知数据填写列联表，由公式求的值，与临界值比较大小，确定结论；
（3）由已知数据求该校高一年级学生的周平均锻炼时间的估计值，由此确定结论.
【详解】（1）由频率折线图可得
由频数折线图可知女生共有人，其中“体育迷”有人，
故男生共有人，其中“体育迷”有人．
因此估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为．
(2)
体育迷
非体育迷
合计
男
30
45
75
女
15
10
25
合计
45
55
100

因为，而，
故没有95%的把握认为是否为“体育迷”与性别有关．
（3）由频率折线图可知男生的锻炼时间在每组的频数分别为
，，，，；
故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为
，，，
，．
所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：．
因为，
所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平．
20．如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．

(1)若，证明：BE∥平面；
(2)若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．
①平面；②P为的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)若选①，二面角为；若选②，二面角为

【分析】（1）连接，设交点为O，连接，，，先证明平面平面，进而即可证明平面；
（2）选①或②，都是先证明平面，进而建立空间直角坐标系,根据二面角的向量公式求解即可．
【详解】（1）连接，设交点为O，连接，，，

在中，点E是的中点，点Q足线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
在中，点O是线段的中点，点P是线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
又因为，且，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）若选①平面，连接，
因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以，同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设，则，，，，
所以，，，，，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
显然平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，所以，所以．
若选②P为的中点，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以．同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设，则，，，，
所以，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
显然平面的一个法向量为，
设二面角的平而角为，所以，所以．
21．已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案；
（2）由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）显然直线经过x轴上的定点，设，，
则由椭圆的对称性得，
联立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，显然有，于是，当，即时取等号．
因此的面积S的最大值为．
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
【答案】(1)当时，在是增函数；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，按照导函数在定义域内的零点个数讨论即可；
（2）首先利用函数两个极值点，满足的关系将其统一为单变量，再通过作差构造函数并求导判断单调性以求得最值的方式，分别证明和.
【详解】（1）由已知得函数的定义城为，
．当且仅当时，等号成立，
当时，恒有，所以在是增函数；
当时，方程有两个不等的正根，，
由，即，解得，或．
由，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在是增函数；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以有两个极值点，，且，满足，，
所以，．
，且；
令，则，
当时，，所以在单调递增，，
于是，即，
，且，
令，则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因此，即，所以在单调递减，当时，，
于是，，因此，．
【点睛】关键点睛：此题在证明时属典型的导数中的双变量问题，核心在于利用导函数对应的二次方程根系关系将双变量统一为单变量，再构造函数证明.