章末检测卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1.已知U＝{2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5，7}，N＝{2，4，5，6}，则(　　)

A.M∩N＝{4，6}   B.M∪N＝U

C.( ∁UN)∪M＝U   D.( ∁UM)∩N＝N

答案　B

解析　由U＝{2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5，7}，N＝{2，4，5，6}知，M∪N＝U，故选B.

2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

答案　B

解析　∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆B⇒a＝3，

∴“a＝3”是“A⊆B的充分而不必要条件”.

3.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合(∁UA)∩B＝(　　)

A.{x|0<x<2}   B.{x|0<x≤2}

C.{x|0≤x<2}   D.{x|0≤x≤2}

答案　C

解析　先求出∁UA＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得(∁UA)∩B＝{x|0≤x<2}.

4.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a<1}   B.{a|a≤1}

C.{a|a>1}   D.{a|a≥1}

答案　B

解析　因为綈p是假命题，

所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.

当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.

当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，

则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0，

综上两种情况a≤1.

5.已知命题p：∀x∈R，≤1，则(　　)

A.綈p：∃x∈R，≥1

B.綈p：∀x∈R，≥1

C.綈p：∃x∈R，>1

D.綈p：∀x∈R，>1

答案　C

解析　根据全称命题的否定方法，当命题p：∀x∈R，≤1时，綈p：∃x∈R，>1.故选C.

6.已知p：－4<x－a<4，q：2<x<3，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|－1≤a≤6} B.{a|a≤－1}

C.{a|a≥6} D.{a|a≤－1或a≥6}

答案　A

解析　p：－4<x－a<4，

即a－4<x<a＋4；q：2<x<3.

所以綈p：x≤a－4或x≥a＋4，綈q：x≤2或x≥3；

而綈p是綈q的充分条件，所以

解得－1≤a≤6.

7.满足“a∈A，且8－a∈A，a∈N”的有且只有2个元素的集合A的个数是(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

答案　D

解析　由题意可知，满足题设条件的集合A有{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共4个.

8.设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为(　　)

A.4   B.5 

C.19   D.20

答案　C

解析　由题意知集合P*Q的元素为点，

当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素.

同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个，

当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个.

因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.给出下列四个选择项其中正确的是(　　)

A.∈R   B.Z∈Q

C.0∈∅   D.∅⊆{0}

答案　AD

解析　AD正确；

对于B，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；

对于C，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选AD.

10.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集可以为(　　)

A.∅   B.{1} 

C.{2，3}   D.{1，3}

答案　ABD

解析　易知P＝M∩N＝{1，3}，

故P的子集可以为∅，{1}，{3}，{1，3}.

11.下列特称命题是真命题的是(　　)

A.存在x∈Q，使2x－x3＝0

B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

答案　ACD

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.

12.设集合P＝{x|x＝n，n∈Z}，Q＝，S＝，

则下列各项中不正确的是(　　)

A.QP   B.QS

C.Q＝P∪S   D.Q＝P∩S

答案　ABD

解析　P＝{x|x＝n，n∈Z}，Q＝，

S＝.

由Q＝，可知x＝，n∈Z.

当n＝2m，m∈Z时，则x＝m，m∈Z；

当n＝2m＋1，m∈Z时，则x＝m＋，m∈Z.

∴P∪S＝Q，PQ，SQ，所以不正确的是ABD项.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.命题：存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立的否定是_______________________________.

答案　对任意实数对(x，y)，2x＋3y＋3≥0恒成立

解析　特称命题的否定是全称命题.

14.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.

答案　{0，－1，1}

解析　由题意知A为单元素集合，

当a＝0时，A＝{0}满足题意，

当a≠0，则Δ＝4－4a2＝0得a＝±1.

15.设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是________.

答案　{a|－3<a<－1}

解析　借助数轴可知

∴－3<a<－1.

16.当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝________，∁R(M－N)＝________(第一空3分，第二空2分).

答案　{x|x<0}　{x|x≥0}

解析　画出数轴如图：

∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}，∁R(M－N)＝{x|x≥0}.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}.

求：(1)A∩B；

(2)A∪B；

(3)∁R(A∩B).

解　由已知得B＝{x|x≥－3}，

(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}.

(2)A∪B＝{x|x≥－4}.

(3) ∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}.

18.(12分)写出下列命题的否定，并判断其真假性.

(1)∀x∈Z，|x|∈N；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

(3)有些三角形是直角三角形；

(4)∃x∈R，x＋1≤0；

(5)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.

解　(1)∃x∈Z，|x|∉N，假命题.

(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.

(3)所有三角形都不是直角三角形，假命题.

(4)∀x∈R，x＋1>0，假命题.

(5)∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.

19.(12分)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值.

(1)9∈(A∩B)；

(2){9}＝A∩B.

解　(1)∵9∈(A∩B)，

∴2a－1＝9或a2＝9，

∴a＝5或a＝3或a＝－3.

当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}符合题意；

当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；

当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}符合题意，

所以a＝5或a＝－3.

(2)由(1)可知，

当a＝5时，A∩B＝{－4，9}，不合题意，

当a＝－3时，A∩B＝{9}，所以a＝－3.

20.(12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且满足下列三个条件：

①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)，求实数a的值.

解　B＝{2，3}，∵A∪B＝B，∴A⊆B，

∵A≠B，∴AB.

又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，

∴A＝{2}或A＝{3}，

∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解，

由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，

∴a＝4或a＝－4.

当a＝4时，

集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合；

当a＝－4时，

集合A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}(舍去).

综上，a＝4.

21.(12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

证明　(1)充分性：∵－<m<0，

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，且x1x2＝－3m>0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，

则有解得－<m<0.

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是

－<m<0.

22.(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解　(1)A＝{1，2}.∵A∩B＝{2}，

∴2∈B，代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，

所以a＝－1或a＝－3.

当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件.

综上，a的值为－1或－3.

(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.

①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，

B＝A＝{1，2}才能满足条件，经检验不可能成立.

综上可知a的取值范围是{a|a≤－3}.