2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】根据两直线平行，由直线的方程，可直接得出结果.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得，

此时直线与直线显然平行，满足题意，故.

故选：D.

2．等差数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得的值.

【详解】由等差数列的求和公式可得，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用等差数列求和公式以及等差数列基本性质求值，考查计算能力，属于基础题.

3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知，，

因为，，，，

所以.

故选：A.

4．等比数列的前项和为，若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出、的值，进而可求得、的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】在等比数列中，，，则为递增数列，，

由已知条件可得，解得，，，

因此，.

故选：A.

5．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；

C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．

【答案】D

【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.

B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，

B选项结论正确.

C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，

C选项结论正确.

D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于

在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率

D选项结论错误.

故选：D

6．已知数列是递增数列，且对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列是递增数列，结合数列的函数特性，即可求得的取值范围.

【详解】因为，递增，且对任意都有成立，

所以，．

故选：D．

7．已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算得圆心，，再利用计算即可.

【详解】圆：，即，

则圆心，，

由题知直线过圆心，

则，，则，

故选：C．

8．数列满足，则数列的前2022项的乘积为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据递推公式求得数列的周期，结合数列的周期即可求得结果.

【详解】根据题意可得，

故该数列是以为周期的数列，且，

故数列的前2022项的乘积为.

故选：C.

二、多选题

9．已知点是抛物线上一动点，则（    ）

A．C的焦点坐标为（2，0） B．C的准线方程为

C． D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据抛物线方程直接求出焦点和准线，即可判断A、B；

利用抛物线的定义即可判断选项C；

根据抛物线方程消元，得到构造基本不等式求出最小值.

【详解】抛物线，所以焦点坐标为，C的准线方程为，故A错误；B正确；

根据抛物线的定义可得P到焦点的距离等于P到准线的距离，即.故C正确；

因为，所以，

（当且仅当，即时，等号成立.）故的最小值为.故D正确.

故选：BCD.

10．数列为等比数列，下列命题正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．若，则

C．若，则单调递增 D．若该数列前项和，则

【答案】AC

【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误.

【详解】设等比数列的公比为；

对于A，，所以数列为等比数列，A正确；

对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确；

对于C，因为，所以；当时，由可得，此时；

当时，由可得，此时；所以单调递增，C正确；

对于D，因为，所以，，，

因为为等比数列，所以，即，D不正确.

故选：AC.

11．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27

【答案】BC

【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.

【详解】∵，，∴，，

∴，，∴，A选项错误；

又∵，即，

∴ ，解得，B选项正确；

∵，故C选项正确；

因为等差数列的前n项和为，所以，即，

由，

∴数列为等差数列，设，

因为当时，，当时，，

所以当时，，当时，，

所以，，

因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．

故选：BC．

12．已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（    ）

A．

B．面积的最大值为

C．周长的最小值为12

D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A,设，则，设,利用点差法推出，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D.

【详解】对于A,设，则，设 ,

由题意可知 ，

则 ，两式相减得，

即，即 ,

由 ,

则，即，故A正确；

对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则，

所以，当且仅当时取等号，

故 ，故B正确；

对于C，由题意知左焦点为,设右焦点为，，

则根据椭圆的对称性可知,故周长为 ,

而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合，

故周长大于，C错误；

对于D，由C的分析可知， ，

故

,当且仅当时取等号，D正确，

故选：ABD

【点睛】本题综合考查了椭圆的定义的应用以及几何性质的应用，涉及到线段的垂直和三角形面积以及周长的最值得求法，解答时要注意综合利用椭圆的相关知识以及基本不等式的知识解决问题，属于较难题，计算量较大.

三、填空题

13．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．

【答案】3

【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.

【详解】由导数的几何意义可得，，

又在切线上，

所以，则=3，

故答案为：3

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.

14．已知在单调递增的等比数列中，，，则_______．

【答案】62

【分析】先根据条件求出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列求和公式可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以且，

解得或（舍）；

所以

.

故答案为：.

15．已知点F是双曲线的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为_________.

【答案】

【分析】由题意不妨设点在第一象限，又，得，代入双曲线方程化简可得离心率.

【详解】由题意不妨设点在第一象限，又，得，代入双曲线方程得，结合，

所以，两边同除以整理得，解得或（舍）

从而离心率.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出点的坐标，二是化简求值.

16．在三棱锥中，顶点P在底面的投影为O，点O到侧面，侧面，侧面的距离均为d，若，．，且是锐角三角形，则三棱锥体积的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据点O到三个侧面的距离相等，从而得出点O到底面三条边的距离相等，从而得到，三棱锥的体积关于d的表达式，再通过底面三角形为锐角三角形，得到d的范围，即可得出三棱锥体积的范围.

【详解】解析：如图，过点O作于点D，连接．作于点E，则有，同理，点O到边的距离都为，所以

由可知，点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，如图，当是锐角三角形时，点C横坐标取值范围为，则，所以，

所以；

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列的公差，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；

（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.

【详解】（1）成等比数列，，即，

，解得：，

.

（2）由（1）得：，，，

数列是首项为，公比为的等比数列，

．

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.

18．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+m=0．

（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C2的相交弦长为2，求实数n的值．

【答案】（1）5；（2）n=﹣3或n=﹣3．

【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，根据两圆相外切，列出方程，即可求解；

（2）由（1）得圆的方程为，圆心，半径为,在结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

圆的圆心坐标为，半径为，

因为圆与相外切，所以，即，解得.

（2）由（1）得，圆的方程为，可得圆心，半径为,

由题意可得圆心到直线的距离，

又由圆的弦长公式，可得，即，

解得，或.

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及合理利用直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19．已知数列的前n项和.

(1)求；

(2)令，若对于任意，数列的前n项和恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）考虑和两种情况，根据得到通项公式.

（2）计算，时，，解得答案.

【详解】（1）当时，；

当时，.

不满足上式，故.

（2）当时，，即，；

当时，，

，

恒成立，，

综上所述：实数m的取值范围为.

20．已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.

【答案】（1）；（2）直线会过定点；定点为.

【解析】（1）根据抛物线的定义可知,求出后可得抛物线方程；

（2）直线，与抛物线方程联立得和，求出，由得，化简可解得，从而可得过定点.

【详解】（1）由可知抛物线的准线方程为，

因为，根据抛物线的定义可知，所以，

所以抛物线的方程为.

（2）设，直线，

联立，消去并整理得

所以，

所以

由得，

所以，

所以，

所以，

所以，

，恒过．

【点睛】关键点点睛：设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简,求出是解题关键.

21．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.

(1)求证：平面平面；

(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果.

【详解】（1）在图中取中点，连接，，

，，，，，

，，，四边形为矩形，，

，又，为等边三角形；

又，为等边三角形；

在图中，取中点，连接，

为等边三角形，，，

，又，，，

又，平面，平面，

平面，平面平面.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设棱上存在点且满足题意，

即，解得：，即，

则，

设平面的法向量，

则，令，则，

，

到平面的距离为，解得：，

，

又平面的一个法向量，

，

又二面角为锐二面角，二面角的大小为.

22．如图，已知椭圆，，分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线上有两个点，，且．

①求面积的最小值；

②连接交椭圆于另一点（不同于点），证明：、、三点共线．

【答案】(1)

(2)①9；②证明见解析

【分析】（1）由题意，联立关于的方程组求解即可得答案；

（2）①设，，由，可得，又，利用基本不等式即可得答案；

②求出直线的方程，联立椭圆方程可得，利用韦达定理求出P点坐标，然后结合，可得，从而得证、、三点共线.

【详解】（1）解：由题意可知，，∴，

∵，∴，，

∴椭圆的方程为．

（2）解：①如图，设，，由于，因此，，

∵，∴，

，

当且仅当时，即，的面积最小为9．

②∵，直线的斜率为，∴直线的方程为，

联立椭圆方程得，即，

设，∴，∴，

代入直线的方程得，∴，

∴直线的斜率为，直线的斜率为，

∵，

∴，又有公共点，

所以、、三点共线.